Системы как объект исследований

В.В. Шелгунов

 

Математические  методы в  

Теплоэнергетике

 

 

Курс лекций

 

 

Тверь 2017

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее времяневозможно представить проведение научных исследований без широкого использования математических методов. Сущность этого методов познания окружающего мира и его составляющих состоит в замене исследуемого объекта абстрактным символом – математической моделью – и дальнейшем ее изучении
с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Математическое моделирование сочетает в себе многие достоинства теории и экспе-римента. Работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение
в любых условиях; в то же время компьютерные, симуляционные
и имитационные эксперименты на моделях, учитывая современные возможности электронно-вычислительной техники, позволяют подробно
и глубоко изучить объекты в достаточной полноте, недоступной
при теоретических исследованиях.

В настоящее время математическое моделирование находится на
новом этапе развития, становясь элементом информационного общества. Прогресс средств получения, переработки, передачи и хранения информации приводит к усложнению и взаимопроникновению различ-
ных сфер человеческой деятельности. Однако информации как таковой
не всегда достаточно для анализа, прогноза и принятия решений,
а также для контроля их исполнения. Необходимы надежные
способы переработки первичной информации в готовое знание.
Как показывает история развития науки и техники, математичес-
кое моделирование является одним из них.

Технические, экологические, информационные, экономические и другие системы на современном этапе развития науки уже не могут быть исследованы в необходимой полноте и точности традиционными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над совре-менными системами в большинстве случаев является дорогостоящим, сложным, либо его проведение невозможно; цена ошибок и просчетов при этом недопустимо высока. Поэтому математическое моделирование является важным достижением и средством научно-технического прогресса.

Технологические процессы (в т.ч. и применяемые в теплоэнергетике)– это сложные физико-химические системы, имеющие двойственную детерминированно-стохастическую природу, переменные в пространстве и времени. На каждой стадии процесса могут происходить явления переноса массы, энергии, импульса. Процесс в целом реализуется в оборудовании с определенными техническими характеристиками, оказывающими влияние на характер его протекания.

При изученни дисциплины « Математические методы в теплоэнергетике»

Рассматриваются основные принципы и методы создания математического описания технологических процессов, планирования исследований, обработки и анализа полученных результатов.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Как уже было указано, математическое моделирование служит
для исследования, разработки и оптимизации современных техно-
логических процессов. Иными словами, под математическим модели-рованием понимают изучение свойств объекта на математической
модели путем абстрактного описания какого-либо явления или процесса внешнего мира, выраженного с помощью математической символики – уравнением, системой уравнений, формула и тому подобное. Структур-
ная схема «классической» математической модели представлена на рис. 1.1.

Математическая модель

Уравнения равновесия равновесия

Уравнения теплового баланса теплового баланса

Уравнение начальных и граничных условий

Уравнения материального баланса баланса

Уравнения гидродинамики

Рис. 1.1. Структурные составляющие математической модели

 

Математические модели технологических процессов можно кратко классифицировать следующим образом:

1) простые и системные (по сложности объекта моделирова-
ния);

2) линейные, нелинейные (по оператору модели);

3) описывающие состояние и поведение совокупности тех или иных параметров объекта:

управляемых входных,

неуправляемых входных внешних,

внутренних (собственных),

выходных;

4) дискретные (описательные), оптимизационные, управленческие
(по   целям   моделирования).

Процесс математического моделирования включает в себя:

составление математического описания изучаемого объекта (выявле-ние сущности описываемого объекта, выбор теоретических известных закономерностей, пригодных для описания объекта, выбор числа определяющих параметров;

выбор метода решения математического описания и возможности его реализации – аналитические способы, численные методы, использование прикладных программ ЭВМ и т. п.;

установление соответствия (адекватности) модели объекту – сравне-ние результатов измерений с рассчитанными по модели;

Все этапы математического моделирования являются взаимо-связанными и должны корректироваться с целью соответствия друг
другу.

 

Таблица 1.1. Классификация систем

Системы	Простые	Сложные	Очень сложные
Детерминированные	Выключатель; калькуляция себестоимости	ЭВМ	–
Вероятностные (стохастические)	Подбрасывание монеты; броуновское движение; спортлото; статистический контроль качества продукции	Система управления запасами; транспортная система города; механизм условных рефлексов; резание тестовых заготовок	Человеческий мозг

Рис. 1.3. Схема обратной связи

Обратные связибывают положительными и отрицательными. Обратная связь, увеличивающая влияние входного воздействия на выходную величину системы, называется положительной; уменьшающая это влияние  – отрицательной.

Отрицательная обратная связь способствует восстановлению
равновесия в системе, нарушаемого внешними воздействиями. Положительная же обратная связь развивает еще большее отклонение,
чем при отсутствии обратной связи. Система, содержащая обратную
связь, называется замкнутой системой. В замкнутых системах можно обеспечить достижение цели управления, даже при множестве возмущающих воздействий, не все из которых могут быть измерены,
и при непредсказуемости влияния возмущений на управляемую величину.

Одним из наиболее важных понятий кибернетики является понятие «черного ящика», определяющего механизм управления системой.

Для описания и моделирования кибернетических систем, а также
для управления ими требуется метод, который всесторонне учиты-
вает сложность этих систем.

Поведение «черного ящика» исследуется путем выявления логических и статистических связей между информацией, поступающей на вход   ящика, и воздействиями  на его выходе (рис. 1.4)

Рис. 1.4. Схема исследований объекта

Таким образом, «черным ящиком» будем называть систему, в которой для наблюдения доступны лишь входные и выходные величины,
а внутренняя структура остается неизвестной. Такие системы изучают путем экспериментов и наблюдений за входными и выходными величинами. В конечном счете накапливается информация, достаточная для предсказаний выходных величин по известному набору значений входных величин.

 

Общие сведения

Целью большинства экспериментальных исследований в промыш-ленности является изучение влияния различных воздействий на объект моделирования. Эти воздействия называют факторами. Факторы могут быть основными и побочными.

Основные факторы участвуют в эксперименте. Одни из них варьируются при исследовании технологического процесса (варьируемые факторы). Другие стабилизируются на определенном уровне. Побочные, посторонние факторы желательно устранять, однако все побочные факторы устранить невозможно. Поэтому результат единичного измерения представляет собой случайную величину, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Результат измерения по той же причине всегда отличается
от истинного значения (истинного результата), т. е. такого значения измеряемой величины, которое можно было бы получить при воздействии на объект исследования только основных факторов.

Случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно пронумеровать, называется дискретной. Случайную величину, возможные значения которой непрерывно запол-няют некоторый промежуток, называют непрерывной. Отклонение результата измерения от истинного результата называется ошибкой
опыта. Ошибка опыта, как и результат измерения, является случайной величиной. Для того чтобы избавиться от ошибок, экспериментатор пытается по возможности устранить, учесть или компенсировать действие тех или иных мешающих факторов, стабилизирует условия опытов, калибрует измерительные приборы и т. д. Однако таким путем можно избежать только систематических ошибок, т. е. таких, которые повторяются по всей серии наблюдений и связаны в основном с нали-
чием факторов, действующих постоянно и в одном направлении.

Наряду с систематическими в любом эксперименте присутствуют случайные ошибки, обусловленные действием многочисленных факторов, причины возникновения которых неизвестны, а проявления нерегулярны. Такие факторы (их называют случайными) по-разному сказываются
на результатах эксперимента. Вклад каждого из них в случайную ошибку незначителен, поэтому выявление их бесполезно и к тому же затруд-нительно.

Кроме систематических и случайных различают грубые ошибки,
или промахи, совершаемые экспериментатором при повторении
опытов. Грубые ошибки связаны с резким нарушением условий экспериментов или просчетом экспериментатора при отдельном наблюдении. Результаты таких наблюдений должны быть отброшены
на основании проверки по специальным критериям, которые будут рассмотрены ниже.

Опыты, проводимые в одинаковых условиях при постоянных значениях основных факторов, называются однородными. Однородность испытаний является одним из важнейших условий правильного применения статистических методов обработки наблюдений. Для обеспе-чения однородности опытов необходимо, чтобы каждая серия проводилась одними и теми же исследователями, на одной и той же установке,
по неизменной методике и в реальный срок. При этом следует учитывать, что многие факторы существенно меняются во времени, вызывая «дрейф» выходной измеряемой величины.

Таким образом, единичный опыт не может дать точного и ис-черпывающего представления о связи изучаемого явления с вызвавшими его обстоятельствами. Многократные наблюдения дают более надежный результат. И от того, насколько профессионально будут обработаны полученные результаты, зависит объективность, точность, надежность определения истинного значения измеряемой характеристики и, следо-вательно, правильность всех дальнейших заключений и выводов. Отсюда логически вытекает необходимость научного подхода к обработке результатов опытов, что и составляет предмет изучения математической статистики.

Математическая статистика– это наука о математических методах обработки, систематизации и использовании результатов наблюдения
для научных и практических выводов. Роль математической статистики при моделировании технологических процессов весьма велика, так как исходными данными для разработки математических моделей в большин-стве случаев являются статистически обработанные результаты опытов. Рассматриваемые в данной главе простые статистические процедуры широко применяются при исследованиях в промышленности. Они могут представлять самостоятельный интерес при решении конкретных задач
и, кроме того, входят в комплекс методов, используемых при стати-стической обработке результатов многофакторных экспериментов.

 

Таблица 2.1. Статистический ряд

№ интервала	Граница интервала	Середина интервала	Число наблюдений в интервале	Относительная частота
1
1	2	3	4	5
2
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
i
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
k

 

График, построенный по данным статистического ряда, называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс отклады-
вают значения границ интервалов и на каждом из них, как на осно-
вании, строят прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте, соответствующей данному интервалу. Высота каждого прямо-угольника равна относительной частоте, деленной на длину интер-
вала.

Пусть, например, в результате измерения шероховатости поверхно-сти деталей получено n = 140 значений высот неровностей разруше-
ния на поверхности детали (мкм), приведенных в табл. 2.2.

 

 

Таблица 2.2 Высоты неровностей разрушения

Высота микронеровностей на поверхности детали, у (мкм)
760	940	1 110	766	615	502	708	618	560	552	960	1 210
760	1 010	850	790	535	517	629	618	428	560	1 260	825
460	454	847	795	500	720	605	535	485	860	613	825
460	685	844	892	740	730	725	510	652	864	1 070	860
430	910	942	1 120	758	619	775	734	675	560	412	952
651	950	1 236	835	785	623	780	741	602	565	1 160	1 264
668	910	545	830	802	510	880	717	610	495	452	660
602	554	852	900	1 034	702	1 117	740	523	456	552	950
605	558	860	910	1 146	800	1 180	710	503	680	684	960
545	428	902	1 210	801	767	816	752	730	692	570	960
521	660	910	626	845	862	844	890	710	630	560	960
750	675	910	560	842	1 074	1 060	452

 

Из табл. 2.2 видно, что высота микронеровностей у изменяется
в диапазоне от 400 до 1 300 мкм. Разобьем этот диапазон на интервалы длиной по 100 мкм.Получится всего девять интервалов, границы которых приведены во втором столбце табл. 2.3 (формула 2.11) дает близкое
к принятому значение числа интервалов . Результаты подсчета значений   и относительных частот   приведены в четвертом
и пятом столбцах таблицы.

 

Таблица 2.3 Статистические интервалы

 

№ интервала	Граница интервала	Середина интервала	Число наблюдений в интервале	Относительная частота
1	400–500	450	13	0,093
2	500–600	550	22	0,157
3	600–700	650	25	0,179
4	700–800	750	26	0,186
5	800–900	850	23	0,164
6	900–1 000	950	15	0,107
7	1 000–1 100	1 050	5	0,036
8	1 100–1 200	1 150	6	0,04
9	1 200–1 300	1 250	5	0,036

 

Изображенная на рис. 2.1 гистограмма соответствует статистическому ряду, приведенному в табл. 2.3. Поскольку сумма всех относительных частот составляет единицу, то площадь гистограммы также равна единице. С увеличением числа опытов  значение каждой частоты становится все ближе к соответствующей вероятности . Это утверждение, выражающее требование статистической устойчивости частот, является важнейшей предпосылкой применения статистических методов.

Если одновременно с увеличением числа опытов n увеличивать
и количество интервалов, то ломаная, ограничивающая гистограмму сверху, приближается к некоторой кривой, называемой кривой рас-пределения или кривой плотности вероятности. Она является графиком соотношения между значениями данной случайной величины и их вероятностями. В теории вероятностей это соотношение называется статистическим распределением.

Для случайных величин, имеющих разную природу, статистические распределения могут быть различными. Известны, например, распре-деления Пуассона, Пирсона, биноминальное и многие другие. Среди них существует распределение, называемое нормальным (или гауссовским), которое применяется наиболее часто и играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Основанием для этого служит центральная предельная теорема теории вероятностей, согласно которой сумма достаточно большого числа произвольно распределенных случайных величин распределена приблизительно по нормальному закону и тем точнее, чем больше слагаемых в ней содержится. При этом предполагается, что среди рассматриваемых случайных величин нет такой, влияние которой на сумму существенно превалирует над другими. Таким условиям, как правило, удовлетворяет измеряемая величина в однородной серии опытов, подверженная влиянию большого числа случайных факторов. Поэтому распределение случайной величины обычно считается нормальным. Кривая плотности нормального распределения изображена на рис. 2.2.

 

Рис. 2.1. Гистограмма распределения     Рис. 2.2. Кривая плотности

                                                         нормальногораспределения

                                                                                           

Далее будем исходить из предположения, что результаты наблюдений свободны от систематических ошибок, а случайные ошибки (а значит,
и результаты наблюдений) подчинены нормальному закону распределения.

Коэффициент корреляции

Во многих случаях целью экспериментальных исследований является установление и изучение зависимости между некоторыми величинами. Если каждая из них является случайной, то используют методы корреляционного анализа. Так, методами корреляционного анализа можно оценить степень взаимосвязи между пределом прочности материала
при статическом изгибе и сжатии, выявить наличие статистической
связи между уровнем специализации промышленных предприятий
по сортаменту деталей и себестоимостью их производства и т. д.

Между двумя случайными величинами имеется статистическая связь, если при изменении одной из них меняется распределение другой. Для оценки статистической связи по данным эксперимента широко использу-ется выборочный коэффициент корреляции. Пусть проведено п наблюде-ний и в каждом из них определились значения параметров (признаков) х
и у. Следовательно, имеются две одновременно получаемые выборки:

По каждой из них найдем среднее арифметическое   и , а также выборочный стандарт  и . Выборочный коэффициент корреляции r рассчитывается по формуле

                                                                         (2.26)

которую можно переписать в виде, более удобном для вычислений:

                                        (2.27)

При расчетах полезно иметь в виду, что выборочный коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения х и y.

Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах –1  1
и характеризует не всякую, а только линейнуюзависимость между случайными величинами. При положительном r можно предполагать, что
свозрастанием одной, из случайных величин другая в среднем тоже возрастает. При отрицательном r с ростом одной из них другая вели-
чина будет в среднем убывать. Чем ближе величина r к (+1) или к (–1),
тем больше степень линейной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами. Значение r, равное нулю, свидетельствует
об отсутствии линейной статистической связи между ними. Такие случайные величины называются некоррелированными. Обычно вели-
чина r оказывается не равной нулю. Для выяснения того, будут ли некор-релированными в этом случае признаки х и y, вычисляют величину

                                                                                   (2.28)

и сравнивают ее с табличным значением t -критерия Стьюдента, найден-ным при выбранном уровне значимости q и числе степеней свободы . Если  принимается гипотеза о некоррелированности величин х и у. В противном случае коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т. е. между величинами х и у существует линейная статистическая связь.

 

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Основные сведения

Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей некоторыми оптимальными свойствами. При этом необходимо:

стремиться к минимизации числа опытов;

одновременно варьировать все факторы, определяющие протекание процесса по специальным алгоритмам (правилам);

использовать математический аппарат, формализующий ряд действий экспериментатора;

иметь четкую стратегию, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой проведенной серии опытов.

Таким образом, планирование эксперимента – это комплекс приемов, позволяющих исследователю оптимально поставить эксперимент, со-образуясь с целью исследования (со стремлением получить максимум информации) при необходимости экономить средства (число опытов),
и наконец, позволяющих исследователю обработать и интерпретировать результаты исследований.

Планирование эксперимента базируется на кибернетическом подходе к объекту исследований. Для описания объекта исследований модели-рования используется неизвестная система (рис. 3.1), подверженная различным воздействиям.

 

 

Рис. 3.1. Схема описания объекта моделирования

 

Используя планирование эксперимента, исследователь априори (до постановки опыта) может назвать виды входных и выходных внешних воздействий, связанных с объектом исследований, но содержание «черного ящика» пока остается нераскрытым. При рассмотрении «черного ящика» различают два основных вида параметров: входные управляемые
() и выходные (). Некоторые из них могут быть приняты в качестве критериев оптимизации. Кроме того, на объект воздействуют неуправляемые параметры. Одни из них () могут контролироваться в процессе постановки опытов без их целе-направленного изменения, другие () являются неконтроли-руемыми (из-за недостатка информации) и относятся к возмущающим воздействиям.

Выходные параметры часто называют параметрами оптимизации, целевыми функциями, выходными величинами и т. д.

 

6.2. Назначение планирования эксперимента

Требования, предъявляемые к варьируемым факторам

1. Управляемость.

Фактор является управляемым, если исследователь имеет воз-можность задавать нужное значение данного фактора в диапазоне варьирования и поддерживать его постоянным в течение всего отдельного опыта. Каждый фактор должен быть точной характеристикой определенного воздействия на объект исследований, которым можно управлять. Эксперименты, проводимые с управляемыми факторами, называются активными.

1. Независимость.

2. Данное требование означает возможность устанавливать
любое значение данного фактора в диапазоне варьирования безотносительно к уровням варьирования остальных факторов, т. е. некоррелированность факторов между собой. Этот вопрос заслуживает особого внимания, поскольку при наличии линейной корреляции между факторами нельзя планировать эксперимент.

3. Однозначность.

Факторы должны непосредственно воздействовать на процесс
(объект исследований), не являясь при этом функцией других факто-
ров, и точно фиксироваться во всей выбранной области определе-
ния факторов. Точность замера должна быть возможно более высо-
кой.

4. Совместимость.

Все комбинации факторов, возможные при планировании и про-ведении эксперимента, должны быть реализуемы на практике и безопасны. При несовместимости факторов часто приходится переформулировать постановку задачи исследований, исключать некоторые из факторов
или изменять области их определения.

5. При наличии качественных факторов принимается одно из ре-шений: а) проводить исследование отдельно для каждого фактора,
затем сопоставлять полученные результаты; б) проводить эксперимент
при одновременном варьировании и количественных, и качественных факторов.

 

6.4.2. Нормирование обозначений варьируемых факторов

Рассмотрим многофакторные планы (эксперименты), когда на объект исследований воздействуют сразу несколько (k) факторов; в натуральных обозначениях запишем .

Пусть некоторый фактор  варьируется в диапазоне . Основной уровень варьирования . Для упрощения записи условий эксперимента и обработки данных имеет смысл перейти к безразмер-ным (нормализованным) обозначениям факторов, т. е. от   к   по формулам:

                                                                                        (3.4)

.

Следовательно, нижнему уровню фактора соответствует значение
(–1), основному (0) и верхнему (+1). Таким образом, в нормализованных обозначениях любой фактор может меняться в пределах от –1 до +1,
и это безразмерные величины.

Выбор регрессионной модели

Как уже отмечалось, под математической моделью подразумевается вид функции отклика

.

Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать
ее уравнение. Затем спланировать и поставить эксперимент для
отыскания численных значений коэффициентов этого уравне-
ния.

Для того чтобы выбрать одну из множества разнообразных
моделей, следует исходить из предъявляемых к ней требования.
Главное требование к модели – это способность предсказывать направление дальнейших опытов с требуемой точностью. Поскольку
до получения модели неизвестно, какое направление нам пона-
добится, то естественно требовать одинаковой точности пред-
сказания во всех возможных направлениях. Это значит, что в некото-
рой подобласти, включающей и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно от-
личаться более, чем на некоторую заранее заданную величину.
Модель, удовлетворяющая такому условию, называется адекват-
ной.

Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует выбрать ту из них, которая является самой простой.

Логарифмическая функция, представленная на рис. 3.3, на некото-
ром отрезке  с достаточной точностью описывается уравне-ниями:

                                                                                             (3.5)

                                                                                               (3.6)

В уравнении (3.6) b – коэффициент, который можно оценить, например, по результатам опытов. Какое из уравнений проще – (3.5)
или (3.6)? Простота – вещь относительная. Если не условиться заранее,
что считать простым, а что сложным, то выбор произвести невозможно. Поэтому в дальнейшем при прочих равных условиях будем всегда отдавать предпочтение степенным рядам, точнее, их отрезкам – алгебраическим полиномам. Исходя из этого можно утверждать,
что уравнение (3.6) проще, чем (3.5). Таким образом, полиномы –
это выбранный класс моделей. Построение полинома возможно в окрест-ностях любой точки факторного пространства, так как предполагалось,
что функция является аналитической.

 

Рис. 3.2. Графики линейной и логарифмической функций

 

Выпишем полиномы для случая двух факторов, различающиеся
по максимальным степеням входящих в них переменных:

полином нулевой степени: полином первой степени: полином второй степени: полином третьей степени:

Итак, мы представили неизвестную нам функцию полиномом. Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией называется аппроксимацией. Следовательно, мы аппроксимировали неизвестную нам функцию полиномом. Эксперимент необходим для получения численных значений коэффициентов поли-номов, и чем больше коэффициентов, тем больше опытов нужно поставить, что само по себе затруднительно. Поэтому следует найти полином, содержащий как можно меньше коэффициентов и при этом удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к модели. При заданном числе факторов чем ниже степень полинома, тем меньше в нем коэффициентов. Нужно, чтобы модель предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называют градиентом.

В этом случае лучше использовать полином первой степени, так как он содержит информацию о направлении градиента и минимальное число коэффициентов при данном числе факторов.

Единственное опасение заключается в том, всегда ли линейная модель будет адекватна. Однако почти у любой точки имеется такая окрестность,
в которой линейная модель адекватна. Размер этой области не известен заранее, но адекватность можно проверить по результатам эксперимента. Следовательно, выбрав сначала произвольную подобласть, мы рано или поздно найдем ее требуемые размеры. Как только это случится, воспользуемся движением по градиенту. Затем находим линейную модель в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение
по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что мы попали
в область, близкую к оптимуму, где линейная модель уже не нужна.
Для более подробного описания области оптимума следует перейти
к полиномам более высокой степени.

Кроме задачи оптимизации, возникает задача построения математической модели, когда нужно предсказать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. С этой целью последовательно увеличивают степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной.

Таким образом, на первой стадии экспериментальных исследований при отсутствии сведений о модели разумно выбирать модель первогo порядка. Если же есть сведения о нелинейности, то принимается модель второго порядка.

После выбора модели определяется диапазон варьирования факторов (D), который во всех случаях должен быть не шире, чем область опре-деления факторов (О), т. е. D  О.

Особое внимание следует уделить выбору центра эксперимента (нулевой точки). Желательно, чтобы она была в области оптимума или как можно ближе к ней, тогда ускоряется поиск оптимальных решений. Если имеются сведения о значении параметра оптимизации по результатам предшествующих исследований, то за нулевую точку принимается та,
в которой значение параметра оптимизации было наилучшим.

При выборе интервала варьирования следует исходить из того,
что он должен превышать удвоенную квадратичную ошибку фикси-
рования данного фактора, т. е. не быть меньше той ошибки, с которой фиксируются уровни факторов (иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимы) и в то же время не должен быть настолько велик, чтобы верхний и нижний уровни выходили за пределы исследуемой области.

Следует учитывать:

точность фиксирования факторов – чем она меньше, тем больше должен  быть  интервал  варьирования;

кривизну поверхности откликов – при большей кривизне следует сужать  интервал  варьирования;

диапазон изменения параметра оптимизации в различных точках – чем он уже (в сравнении с его изменением в повторных опытах), тем шире должен быть интервал варьирования.

6.6. Основные виды планов эксперимента