Решение задач на определение ускорения

Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости   и ускорения  какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­статочно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.

План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):

1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.

2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.

3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.

6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.

При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:

«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол  в сторону углового ускорения, равны».

Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны  и  – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускорения этого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела. 

Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:

1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).

3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.

Пример 11. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость  и ускорение  (рис. 43). Найдем ускорение точки А.

Рис.43

 

Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей:

Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что , а точка С движется по прямой, получим                  

Если С – полюс, то , где

.

Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси х и у:

Рис. 9.30.

Тогда .

Ускорение мгновенного центра скоростей ,

 где . 

И, так как , ускорение и .

Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю.

Пример 12. Вернёмся к примеру 9 (рис. 44). 

Рис.44

 

Найдём ускорение точки А, полагая  т.е.

Имеем:

,         (1)

Где , но направление вектора  неизвестно, неизвестно и угловое ускорение .   

Предположим, что вектор  направлен перпендикулярно АВ, влево.

Ускорение , конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси х и у, получим:

и .

Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А

Положительное значение  указывает на то, что направление вектора  выбрано правильно.

Из первого уравнения можно найти ускорение  и угловое ускорение  (направления  и  также угаданы верно).

 

Мгновенный центр ускорений.

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение  какой-нибудь точки А фигуры и величины  и , следующим путем:

1) находим значение угла , из формулы ;                

2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от  в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный                 

Рис.45

 

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно . Подставляя сюда значение AQ  находим, что . Кроме того, вектор  должен образовывать с ли­нией AQ угол , следовательно, вектор  параллелен , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому  и .             

Если точку Q выбрать за полюс, то так как , ускорение любой точки М тела, будет

При этом численно

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна (), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р (), но при этом, как было показано ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

                                       

Рис.46                                                         Рис.47

 

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

 

Вопросы для самопроверки

- Какое движение твердого тела называется плоским? Приведите примеры звеньев механизмов, совершающих плоское движение.

- Из каких простых движений складывается плоское движение твердого тела?

- Как определяется скорость произвольной точки тела при плоском движении?

- Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?

- Какими уравнениями задается плоскопараллельное движение?

- Как по уравнениям движения плоской фигуры найти скорость полюса и угловую скорость вращения вокруг полюса?

- Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

- Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры.

- Какие способы применяют для определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении?

- Что такое мгновенный центр скоростей? Как определяется величина и направление скорости произвольной точки тела при известном положении мгновенного центра скоростей и угловой скорости?

- Из каких составляющих складывается ускорение точки при плоском движении?

- Запишите формулы для вычисления касательной и нормальной составляющих относительного ускорения точки при плоском движении тела.

- Приведите определение мгновенного центра ускорений.

- При плоском движении тела в некоторый момент времени оказалось, что его точки А и В отстоят от мгновенного центра ускорений на расстояниях 5 и 10 см. Чему равен модуль ускорения точки В, если модуль ускорения точки А равен 3 м/с²? 

- Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее поворот от выбора полюса?

- Как определяется скорость любой точки плоской фигуры?

- Покажите, что проекции скоростей точек неизменяемого отрезка на ось, совпадающую с этим отрезком, равны между собой.

- Что представляет собой отрезок, соединяющий две вершины плана скоростей?

- Какие минимальные данные необходимы для построения плана скоростей?

- Какую точку плоской фигуры называют называют мгновенным центром скоростей и каковы основные случаи определения его положения?

- Что представляет собой распределение скоростей точек плоской фигуры в данный момент?

- Как построить центр поворота плоской фигуры, зная ее начальное и конечное положения?

- Что представляет собой неподвижная и подвижная центроиды и что происходит с центроидами при действительном движении плоской фигуры?

- Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры?

- Сформулируйте теорему об ускорениях точек плоской фигуры.

- Почему проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проходящую через эту точку из полюса, не может быть больше проекции ускорения полюса на эту ось?

- Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром ускорений и может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным центром скоростей?

- Перечислите известные вам способы определения положения мгновенного центра ускорений?

- Что представляет собой картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени в трех случаях

а) ;

б) ;

в) .

- Как производят определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев плоского механизма?