Основные формулы и законы динамики

Второй закон Ньютона .

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории (для тел с постоянной массой) ; .

Радиус-вектор центра масс системы частиц

или в координатной форме

Скорость центра масс системы

Ускорение центра масс системы

Теорема о движении центра масс

 

Примеры решения задач

 

Задача 2.1. На санки m, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени как  где k – постоянная Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти: скорость санок в момент отрыва от плоскости и путь, пройденный санками к этому моменту.

 

Решение

Выясним, с какими телами взаимодействуют санки в процессе движения. Это будут веревка, c помощью которой тянут санки, Земля и ее поверхность.

Тогда на санки со стороны окружающих тел действуют следующие силы:

· сила тяги F (со стороны веревки);

· сила тяжести mg (со стороны Земли);

· сила реакции опоры N (со стороны поверхности Земли) (см. рис. 2.1).

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для тела:

Выберем систему отсчета, как показано на рис. 2.1, направив одну из осей параллельно вектору ускорения.

Рис. 2.1

 

Спроецировав полученное уравнение на координатные оси, решим систему уравнений.

Условием отрыва санок от плоскости является равенство нулю силы реакции опоры

Отсюда получим время движения санок по плоскости до отрыва:

Найдем ускорение санок и скорость движения по плоскости как функции времени

.

Определим скорость в момент отрыва и путь, пройденный санками к этому моменту

Задача 2.2. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m ₁ и m₂ (см. рис. 2.2). Такая установка называется машиной Атвуда и служит для экспериментального изучения законов динамики. Найти ускорения грузов и силу натяжения нити. Найти ускорение центра масс.

 

Решение

В данной задаче рассматривается одновременное движение двух грузов. Очевидно, что каждый груз притягивается к Земле (сила тяжести), Кроме этого, действует сила упругости (сила натяжения) со стороны. Запишем для каждого груза второй закон Ньютона:

;

.

Обычные идеализации, которые используют при решении подобных задач, заключаются в том, что пренебрегают массами нити и блока, трением в оси блока и растяжимостью нити. На этих идеализациях основана простейшая модель рассматриваемой системы.

 

Рис. 2.2

 

Рассмотрим следствия из этих идеализаций.

Из нерастяжимостинити вытекает, что ускорения грузов одинаковы по модулю

.

Невесомость нити приводит к тому, что сила натяжения в любом сечении правого и левого участков нити одинакова, хотя на разных участках силы натяжения могут различаться между собой.

Если масса блокапренебрежимо мала, а трение в его оси равно нулю, то силы натяжения нити одинаковы по обе стороны от блока

Проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого груза на вертикальную ось и учитывая невесомость нити и блока, нерастяжимость нити и отсутствие трение в оси блока, получаем:

Решая систему уравнений, находим ускорение грузов

и силу натяжения нити

Данное решение справедливо, если m ₁ > m ₂. Если же m ₁ < m ₂, то ускорение грузов отрицательно. Это означает, что ускорения грузов направлены в противоположную сторону. Если же массы грузов одинаковы, то грузы покоятся либо движутся с постоянной скоростью.

Найдем ускорение центра масс с помощью выражения

Для нашей задачи

Задача 2.3. Автомобиль движется с постоянным тангенциальным ускорением  по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. Какой путь пройдет машина без скольжения, если начальная скорость ее была равна нулю.

 

Решение

Разгон автомобиля и движение по закруглению обеспечивается силой трения покоя между шинами и дорожным полотном. По мере увеличения скорости будет расти как нормальное, так и полное ускорение автомобиля. Из второго закона Ньютона следует, что будет расти и сила трения покоя :

                                          (2.1)

                                          (2.2)

Когда она достигнет своего максимального значения, начнется проскальзывание.

 

При движении без начальной скорости с постоянным тангенциальным ускорением скорость автомобиля связана с тангенциальным ускорением и пройденным путем соотношением

                                        (2.3)

Нормальное ускорение автомобиля с учетом (2.3) будет

                                        (2.4)

Полное ускорение с учетом (2.4) равно

                            (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.1) и учитывая (2.2), получаем

                            (2.6)

При достижении равенства начинается проскальзывание. Максимальный путь, который может пройти автомобиль без проскальзывания, равен

Решение имеет смысл при условии .

 

Задача 2.4. На тело, движущееся в вязкой среде (жидкости) под действием постоянной силы F ₀ = const, действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения тела F = kv. Определить зависимость скорости движения тела от времени.

 

Решение

Рассмотрим медленное движение тела под действием постоянной силы F ₀ = const в жидкой среде. В проекциях на направление силы второй закон Ньютона для тела имеет вид

Пусть тело начинает двигаться без начальной скорости

Интегрируя уравнение второго закона Ньютона, получим

или

откуда зависимость скорости тела от времени принимает вид:

На рис. 2.3 представлена графически зависимость скорости тела от времени.

 

Рис. 2.3

 

Видно, что скорость тела с течением времени стремится к предельному значению – скорости установившегося движения.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Закон сохранения импульса

Основные формулы и законы

Импульс тела

Импульс системы

Закон сохранения импульса

 

Примеры решения задач

 

Задача 3.1. Два шарика, массы которых равны m ₁ = 200 г и m ₂ = 600 г, висят, соприкасаясь, на одинаковых нитях длиной l = 80 см. Первый шар отклонили на 90° и отпустили. На какой угол поднимутся шарики удара, если удар считать абсолютно неупругим?

 

Решение

Найдем с помощью закона сохранения механической энергии скорость первого шарика непосредственно перед ударом

Отсюда скорость шарика будет

В процессе неупругого столкновения закон сохранения энергии не выполняется. Однако выполняется закон сохранения импульса

откуда скорость совместного движения после удара будет

После удара выполняется закон сохранения энергии

Решая систему уравнений, находим высоту подъема шариков

Подставляя числовые значения, получаем

 

Задача 3.2. На одном конце тележки стоит длиной l = 5 м человек массой m = 40 кг. Масса тележки М = 60 кг. На какое расстояние относительно пола передвинется тележка, если человек перейдет на другой ее конец? Массой колес и трением пренебречь.

 

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с полом. Поскольку трение пренебрежимо мало, то система «человек + тележка» является изолированной. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса

Здесь M, u - масса и скорость тележки относительно пола, m, v - масса и скорость человека относительно пола. Скорость человека выразим через скорость тележки

Скорость человека относительно тележки равна v + u. За время t человек преодолеет расстояние L

Отсюда время движения равно

Расстояние, на которое передвинется тележка, будет

Подставляя числовые значения, получаем