Раздел I . Методические указания К решению задач по механике

РАЗДЕЛ I. Методические указания к решению задач по механике

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Основные формулы и законы кинематики

 

Вектор средней скорости частицы .

Вектор мгновенной скорости .

Вектор мгновенного ускорения .

Модули вектора мгновенной скоростиивектора мгновенного ускорения

.

Тангенциальное (касательное) ускорение .

Нормальное (центростремительное) ускорение .

Путь, пройденный частицей .

Средняя путевая скорость .

Мгновенная угловая скорость .

Мгновенное угловое ускорение .

Связь линейной скорости частицы с угловой скоростью .

Связь линейного ускорения частицы с угловым ускорением .

Модуль полного ускорения .

Таблица 1.1

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Равномерное движение вдоль ОХ	Равномерное вращение
Равноускоренное движение вдоль ОХ	Равноускоренное вращение

Примеры решения задач

 

Задача 1.1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид , где А = 4 м, В = 2 м/с, С = -0,5 м/с². Для момента времени t ₁ = 2 c определить координату точки, мгновенную скорость и мгновенное ускорение.

 

Решение

Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения заданное значение времени t ₁ = 2 c.

.

Мгновенную скорость определим продифференцировав координату Х по времени .

В заданный момент времени .

Знак «минус» указывает на то, что в момент времени t ₁ = 2 c точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

Мгновенное ускорение найдем, взяв вторую производную от координаты Х по времени .

Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно

.

Задача 1.2. Вращается диск радиусом R = 20 см = 0.2 м. Зависимость угла поворота от времени описывается уравнением , где А = 3 рад, В = -1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 1 c.

 

Решение

Угловую скорость находим дифференцированием .

Нормальное ускорение .

В момент t = 1 c .

Линейная скорость точек на краю диска .

Тангенциальное ускорение .

В момент t = 1 c .

Полное ускорение в тот же момент времени .

 

Задача 1.3. Материальная точка начинает движение по окружности радиуса R без начальной скорости с постоянным угловым ускорением . Через какое время вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол ? Какой путь за это время пройдет частица? На какой угол повернется ее радиус-вектор?

Решение

При движении по окружности вектор скорости и вектор тангенциального ускорения направлены по касательной к ней, а вектор нормального ускорения – вдоль радиуса к центру (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

 

Тангенс угла между полным ускорением и скоростью тела, как видно из рис. 1.1 равен                        

.                                     (1.1)

Скорость частицы выражается через угловую скорость:

.                                       (1.2)

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением соотношением

,                                      (1.3)

а нормальное ускорение может быть выражено через скорость частицы:

.                                      (1.4)

Поскольку частица движется с постоянным угловым ускорением без начальной скорости, то ее угловая скорость равна

,                                        (1.5)

а угол поворота радиус-вектора зависит от времени по закону

.                                        (1.6)

Подставим (1.5) в (1.2) в (1.4): 

.                                    (1.7)

Подставим (1.7) и (1.3) в (1.1) и получим уравнение относительно t:

,

откуда

.

Из (1.6) находим угол поворота радиус-вектора .

Путь, пройденный частицей, выражается через угол поворота радиус-вектора

.                                           (1.8)

Подставляя выражение для угла поворота в (1.8), получим путь, пройденный частицей .

Задача 1.4. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время t =10 с достиг частоты вращения 300 об/мин. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов N, которое он сделал за это время.

 

Решение

При решении задачи следует воспользоваться законами равнопеременного движения применительно к вращению тела вокруг неподвижной оси. Так как движение равноускоренное, то угловая скорость зависит от времени по линейному закону:

(в момент t = 0 маховик начал свое вращение). Разделив ее на угол 2p, соответствующий одному обороту, мы получаем, что в момент t скорость вращения диска составляет

оборотов в единицу времени. Нам дано значение n(10)=300 об/мин = 5 об/с. Находим тогда

Если N(t) - число оборотов, которые диск совершил к моменту времени t, то производная этой функции dN/dt и дает нам скорость вращения диска

Отсюда получаем

К моменту t = 10 с тело совершит

 

Задача 1.5. Камень брошен горизонтально со скоростью v ₀ = 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через время t = 1 с после начала движения. Найти радиусы кривизны траектории в момент броска и через 1 с после начала движения.

 

Решение

Рассмотрим свободное падение камня как суперпозицию двух независимых движений: по горизонтали и вертикали. При движении в поле тяжести земли горизонтальная составляющая скорости камня остается постоянной  (по х – равномерное движение), а по вертикали возрастает  (по у – равноускоренное движение с ускорением свободного падения), при этом полное ускорение камня также равно ускорению свободного падения . Разложим полное ускорение на тангенциальную и нормальную составляющие, а полную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Полная скорость и полное ускорение равны ,

.

Из рис. 1.2 видно, что

Рис. 1.2

 

Из этих соотношений легко получить

.

Для момента броска запишем выражение для нормального ускорения , откуда найдем радиус кривизны траектории . Аналогично, нормальное ускорение через t = 1 с после начала движения

,

откуда найдем искомый радиус кривизны

.

 

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Примеры решения задач

 

Задача 2.1. На санки m, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени как  где k – постоянная Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти: скорость санок в момент отрыва от плоскости и путь, пройденный санками к этому моменту.

 

Решение

Выясним, с какими телами взаимодействуют санки в процессе движения. Это будут веревка, c помощью которой тянут санки, Земля и ее поверхность.

Тогда на санки со стороны окружающих тел действуют следующие силы:

· сила тяги F (со стороны веревки);

· сила тяжести mg (со стороны Земли);

· сила реакции опоры N (со стороны поверхности Земли) (см. рис. 2.1).

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для тела:

Выберем систему отсчета, как показано на рис. 2.1, направив одну из осей параллельно вектору ускорения.

Рис. 2.1

 

Спроецировав полученное уравнение на координатные оси, решим систему уравнений.

Условием отрыва санок от плоскости является равенство нулю силы реакции опоры

Отсюда получим время движения санок по плоскости до отрыва:

Найдем ускорение санок и скорость движения по плоскости как функции времени

.

Определим скорость в момент отрыва и путь, пройденный санками к этому моменту

Задача 2.2. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m ₁ и m₂ (см. рис. 2.2). Такая установка называется машиной Атвуда и служит для экспериментального изучения законов динамики. Найти ускорения грузов и силу натяжения нити. Найти ускорение центра масс.

 

Решение

В данной задаче рассматривается одновременное движение двух грузов. Очевидно, что каждый груз притягивается к Земле (сила тяжести), Кроме этого, действует сила упругости (сила натяжения) со стороны. Запишем для каждого груза второй закон Ньютона:

;

.

Обычные идеализации, которые используют при решении подобных задач, заключаются в том, что пренебрегают массами нити и блока, трением в оси блока и растяжимостью нити. На этих идеализациях основана простейшая модель рассматриваемой системы.

 

Рис. 2.2

 

Рассмотрим следствия из этих идеализаций.

Из нерастяжимостинити вытекает, что ускорения грузов одинаковы по модулю

.

Невесомость нити приводит к тому, что сила натяжения в любом сечении правого и левого участков нити одинакова, хотя на разных участках силы натяжения могут различаться между собой.

Если масса блокапренебрежимо мала, а трение в его оси равно нулю, то силы натяжения нити одинаковы по обе стороны от блока

Проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого груза на вертикальную ось и учитывая невесомость нити и блока, нерастяжимость нити и отсутствие трение в оси блока, получаем:

Решая систему уравнений, находим ускорение грузов

и силу натяжения нити

Данное решение справедливо, если m ₁ > m ₂. Если же m ₁ < m ₂, то ускорение грузов отрицательно. Это означает, что ускорения грузов направлены в противоположную сторону. Если же массы грузов одинаковы, то грузы покоятся либо движутся с постоянной скоростью.

Найдем ускорение центра масс с помощью выражения

Для нашей задачи

Задача 2.3. Автомобиль движется с постоянным тангенциальным ускорением  по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. Какой путь пройдет машина без скольжения, если начальная скорость ее была равна нулю.

 

Решение

Разгон автомобиля и движение по закруглению обеспечивается силой трения покоя между шинами и дорожным полотном. По мере увеличения скорости будет расти как нормальное, так и полное ускорение автомобиля. Из второго закона Ньютона следует, что будет расти и сила трения покоя :

                                          (2.1)

                                          (2.2)

Когда она достигнет своего максимального значения, начнется проскальзывание.

 

При движении без начальной скорости с постоянным тангенциальным ускорением скорость автомобиля связана с тангенциальным ускорением и пройденным путем соотношением

                                        (2.3)

Нормальное ускорение автомобиля с учетом (2.3) будет

                                        (2.4)

Полное ускорение с учетом (2.4) равно

                            (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.1) и учитывая (2.2), получаем

                            (2.6)

При достижении равенства начинается проскальзывание. Максимальный путь, который может пройти автомобиль без проскальзывания, равен

Решение имеет смысл при условии .

 

Задача 2.4. На тело, движущееся в вязкой среде (жидкости) под действием постоянной силы F ₀ = const, действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения тела F = kv. Определить зависимость скорости движения тела от времени.

 

Решение

Рассмотрим медленное движение тела под действием постоянной силы F ₀ = const в жидкой среде. В проекциях на направление силы второй закон Ньютона для тела имеет вид

Пусть тело начинает двигаться без начальной скорости

Интегрируя уравнение второго закона Ньютона, получим

или

откуда зависимость скорости тела от времени принимает вид:

На рис. 2.3 представлена графически зависимость скорости тела от времени.

 

Рис. 2.3

 

Видно, что скорость тела с течением времени стремится к предельному значению – скорости установившегося движения.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Закон сохранения импульса

Основные формулы и законы

Импульс тела

Импульс системы

Закон сохранения импульса

 

Примеры решения задач

 

Задача 3.1. Два шарика, массы которых равны m ₁ = 200 г и m ₂ = 600 г, висят, соприкасаясь, на одинаковых нитях длиной l = 80 см. Первый шар отклонили на 90° и отпустили. На какой угол поднимутся шарики удара, если удар считать абсолютно неупругим?

 

Решение

Найдем с помощью закона сохранения механической энергии скорость первого шарика непосредственно перед ударом

Отсюда скорость шарика будет

В процессе неупругого столкновения закон сохранения энергии не выполняется. Однако выполняется закон сохранения импульса

откуда скорость совместного движения после удара будет

После удара выполняется закон сохранения энергии

Решая систему уравнений, находим высоту подъема шариков

Подставляя числовые значения, получаем

 

Задача 3.2. На одном конце тележки стоит длиной l = 5 м человек массой m = 40 кг. Масса тележки М = 60 кг. На какое расстояние относительно пола передвинется тележка, если человек перейдет на другой ее конец? Массой колес и трением пренебречь.

 

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с полом. Поскольку трение пренебрежимо мало, то система «человек + тележка» является изолированной. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса

Здесь M, u - масса и скорость тележки относительно пола, m, v - масса и скорость человека относительно пола. Скорость человека выразим через скорость тележки

Скорость человека относительно тележки равна v + u. За время t человек преодолеет расстояние L

Отсюда время движения равно

Расстояние, на которое передвинется тележка, будет

Подставляя числовые значения, получаем

Основные формулы и законы

Работа силы на траектории L ₁₂

Мощность силы

Теорема об изменении кинетической энергии

Работа консервативной силы

Теорема об изменении полной механической энергии системы частиц

Закон сохранения механической энергии

Примеры решения задач

Задача 3.3. Вертолет массой m = 3 т висит в воздухе. Определить мощность, развиваемую мотором вертолета, если диаметр ротора равен         d = 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. Плотность воздуха 1,29 кг/м³.

Решение

Пусть v - скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. За время D t частицы воздуха проходят расстояние D h = v D t. Иными словами, за время D t винт вертолета придает скорость v всем частицам воздуха, находящимся в цилиндре с площадью основания p d2/4 и высотой D h. Масса воздуха D m в этом объеме равна

а его кинетическая энергия D К дается выражением

Поскольку мотор передает воздуху кинетическую энергию D К, то такова и совершаемая им работа. Поэтому развиваемая мотором мощность равна

В этом выражении нам надо еще найти скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. Импульс D р, передаваемый частицам воздуха за время D t, равен

Из второго закона Ньютона следует, что средняя сила, действующая на отбрасываемый вниз воздух равна F = D р/ D t. По третьему закону Ньютона такая же сила действует на вертолет со стороны воздуха. Эта сила компенсирует вес вертолета:

Отсюда получаем уравнение

позволяющее найти скорость струи воздуха:

Подставляя найденную скорость в выражение для мощности двигателя вертолета, получаем окончательный результат:

Подставляя числовые данные, находим

 

Задача 3.4. Для измерения скорости полета пули применяют баллистический маятник, состоящий из деревянного бруска, подвешенного на невесомом стержне. При выстреле в горизонтальном направлении пуля массой m попадает в брусок и застревает в нем. Какова была скорость пули, если стержень отклоняется от вертикали на угол a? Масса бруска равна M. Трение в подвесе, сопротивление воздуха и массу стержня не учитывать. Масса бруска много больше массы пули.

Рис. 3.1

Решение

Если масса маятника , то в процессе застревания пули в маятнике он не успевает заметно отклониться от положения равновесия. Систему «пуля + маятник» в этом случае можно считать изолированной, поскольку внешними силами здесь являются: сила тяжести (действует на пулю и на маятник) и сила натяжения нити. Если нить не отклоняется от вертикали, то сумма внешних сил равна нулю. Поэтому для процесса столкновение пули с маятником справедлив закон сохранения импульса. В конце удара пуля и брусок будут двигаться как единое целое.

Запишем для момента столкновения закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

откуда скорость маятника непосредственно после столкновения будет равна

После удара систему «пуля + маятник» можно считать консервативной, поскольку действием сил трения пренебрегаем. Для процесса движения маятника справедлив закон сохранения механической энергии.

Пренебрегая трением в подвесе и сопротивлением воздуха, применим закон сохранения энергии к процессу отклонения маятника после удара:

откуда высота подъема маятника будет

.

Учитывая, что

находим скорость пули:

Основные формулы и законы

 

Момент инерции тела относительно оси

Значения моментов инерции некоторых тел приведены в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1

Тело	Положение оси	Момент инерции
1. Материальная точка
2. Полый тонкостенный цилиндр	ось цилиндра
3. Сплошной цилиндр (диск)	ось цилиндра
4. Полый цилиндр с внутренним радиусом r и внешним радиусом R	ось цилиндра
5. Шар	ось проходит через центр шара
6. Тонкостенная сфера	ось проходит через центр сферы
7. Тонкий стержень	ось перпендикулярна стержню и проходит через центр масс
8. Тонкая прямоугольная пластина	ось перпендикулярна пластине и проходит через центр масс
9. Куб	ось проходит через центр масс и перпендикулярна одной из граней
10. Прямой конус	ось конуса

 

Теорема о параллельных осях (теорема Гюйгенса-Штейнера)

Момент инерции плоского тела, лежащего в плоскости хоу

Теорема о трех взаимно перпендикулярных осях

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

 

Аналогия между поступательным и вращательным движениями видна из табл. 4.2.

Таблица 4.2

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение	Угол поворота
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Масса m	Момент инерции I
Импульс	Момент импульса
Сила	Момент силы
Основное уравнение динамики поступательного движения	Основное уравнение динамики вращательного движения
Работа	Работа
Мощность	Мощность
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Примеры решения задач

Задача 4.1. Найти момент инерции тонкого стержня длиной  и массой  относительно оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню.

Рис. 4.1.

Решение

Используя теорему Штейнера для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр, учитывая, что  получим

Задача 4.2. Найти момент инерции тонкого диска радиуса R и массой m относительно оси x (см. рис. 4.2)

 

Решение

В силу симметрии ясно, что .

Рис. 4.2

Момент инерции диска относительно оси z будет:

Используя , получим

.

 

Задача 4.3. На однородный сплошной цилиндр массы m ₁ радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m ₂. В момент времени t = 0система пришла в движение. Найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра.

Рис. 4.3

Решение

Рассмотрим движение двух тел: вращающегося цилиндра и тела m ₂, совершающего поступательное движение. На это тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. Второй закон Ньютона для тела имеет вид:

Основное уравнение динамики вращательного движения для цилиндра

Момент инерции цилиндра относительно его оси будет равен

Угловое ускорение блока связано с ускорением груза соотношением

Тогда , откуда  

Подставив Т в уравнение второго закона Ньютона, получим

Линейное ускорение тела и точек на ободе цилиндра равно

Угловое ускорение

Угловое ускорение не зависит от времени, следовательно, вращение равноускоренное, поэтому зависимость угловой скорости цилиндра от времени будет иметь вид:

Задача 4.4. В установке, показанной на рисунке, известны масса блока, являющегося однородным цилиндром m, его радиус R, массы грузов  и . Нить движется по блоку без проскальзывания, трение в оси блока отсутствует. Найти угловое ускорение блока и силы натяжения в вертикальных участках нити.

Рис. 4.4

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов  и , а также блока. Грузы движутся поступательно в вертикальном направлении. Для описания их движения воспользуемся вторым законом Ньютона.

На грузы действуют силы, показанные на рис. 4.5.

 

Рис. 4.5

Положим для определенности, что  тогда ускорения грузов будут иметь направления, показанные на рис. 4.5.

Уравнения второго закона Ньютона для грузов в проекции на направление ускорения имеют вид

                                       (4.1)

                                      (4.2)

Блок вращается вокруг неподвижной оси. Его движение описывается с помощью основного уравнения динамики вращательного движения.

Найдем моменты сил, действующих на блок, относительно оси блока. Моменты сил  и  относительно этой оси будут равны нулю. Моменты сил натяжения будут равны соответственно

 и                                   (4.3)

Из условия невесомости нити вытекают равенства

 и                                        (4.4)

Момент инерции блока относительно его оси будет

                                       (4.5)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для блока относительно оси вращения с учетом (4.4) и (4.5), а также правила знаков для моментов сил:

                                 (4.6)

Поскольку нить предполагается нерастяжимой, то ускорения грузов равны по величине. Отсутствие проскальзывания нити по блоку приводит к тому, что угловое ускорение блока связано с ускорением грузов соотношением

                                        (4.7)

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что силы натяжения нити по разные стороны блока принимают различные значения, за счет чего блок приводится во вращательное движение.

Решая систему уравнений, определяем угловое ускорение блока

                             (4.8)

Подставив (4.8) в (4.7), находим ускорение грузов, подставив значение которого поочередно в (4.1) и (4.2), определяем силы натяжения вертикальных участков нити:

Если масса блока пренебрежимо мала, то из (4.8) следует

а силы натяжения будут равны

Задача 4.5. Найти угловое ускорение маятника Обербека, представляющего собой крестовину с грузами, насаженную на ось, и могущую вращаться вокруг нее (см. рис. 4.6).

Решение

На барабан крестовины радиуса r намотана нить, к концу которой привязан груз массой m. Под действием силы тяжести груз m опускается и приводит крестовину во вращение. Второй закон Ньютона для груза имеет вид

Запишем уравнение вращательного движения для крестовины

.

Момент силы натяжения нити будет

Если нить нерастяжимая, то

Рис. 4.6

 

Решая систему уравнений, получим:

,

Отсюда  и

Основные формулы и законы

Момент силы

Момент импульса частицы