Понятие дифференцируемой функции

 

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функция , определенная в окрестности точки , называется дифференцируемой в точке , если существует число  такое, что приращение функции в точке может быть записано в виде

  ,                                                    (2)

где  - бесконечно малая функция при .

   Заметим, что функция , и равенство (2) может быть переписано в виде

                          при .             (3)      

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Линейная функция (относительно )   называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается

                                                                                                 (4)

   Замечание. Заметим, что дифференциал функции является линейной функцией, зависящей от .

     Кроме того, дифференциал является главной частью приращения функции, то есть  при .        

щджз Более того, приращение функции   в точке ,  и дифференциал функции в точке ,  являются эквивалентными бесконечно малыми функциями при .                                          

 

ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы функция  была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы функция имела производную в этой точке , при этом . 

 

      Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда, по определению,  такая, что

           при .                  (5)

Тогда   .

 По определению это означает, что существует производная , и дифференциал функции в точке  равен

                              .                                           (6)

        Достаточность. Пусть существует производная . Тогда

, причем  - бесконечно малая функция при . Отсюда получаем          .

Так как    при , то это означает, что функция   дифференцируема в точке , число .

  Замечание. Из равенства (6) следует, что

                                       .

Мы получаем еще одно обозначение производной.

 

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Приращение независимой переменной  называется дифференциалом независимой переменной и обозначается .

СЛЕДСТВИЕ. Если функция   дифференцируема в точке , то

                               .                                        (7)

      

ТЕОРЕМА 2. Если функция   дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

  Доказательство. Пусть функция   дифференцируема в точке , тогда .

           .

По определению это означает, что функция непрерывна в точке . Теорема доказана.

 

     Обратное утверждение неверно. Непрерывность функции в точке не гарантирует дифференцируемость функции в точке.

ПРИМЕР 1.              .

Функция непрерывна в точке , так как , , функция непрерывна слева и непрерывна справа.

  Однако , , то есть односторонние производные не равны, следовательно производная в точке  не существует.

ПРИМЕР 2.        .

Функция непрерывна в точке . Так как , справедливо неравенство , .

 не существует, то есть не существует производная функции в точке .

 

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

   Понятие производной связано с понятием касательной. Определим понятие касательной к графику функции в точке .

   Пусть функция   определена на интервале  и непрерывна в точке , , . Пусть , , .

    Проведем секущую . Секущая имеет уравнение

                                         ,                                 (8)

где .

       Покажем, что при    длина отрезка  стремится к нулю, то есть точка   стремится к точке .

     В силу непрерывности функции  в точке  имеем , тогда .

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует , то прямая, уравнение которой  получается и уравнения секущей , называется наклонной касательной к графику функции  в точке .

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если , то прямая , которая получается из уравнения секущей (8), если мы поделим обе части равенства (8) на

                               

и перейдем к пределу при , называется вертикальной касательной к графику функции  в точке .

  Существование конечного предела . То есть, если функция  имеет производную в точке , то уравнение касательной к графику функции имеет вид

                                  , где .

    Если , то уравнение касательной      

                                      .

      Известно, что , тангенс угла между касательной к графику функции в точке  и осью .

 

    Так как , с другой стороны на касательной , получаем, что дифференциал функции в точке равен приращению линейной функции, задающей касательную к графику функции.

  

  Если в точке   (то есть  или ) будем говорить, что существует бесконечная производная (  или ).

Если в точке  предел , но не равен или , то график функции имеет следующий вид          

В таких случаях точка  называется точкой возврата.