Сравнение функций. О-символика.

Сравнение функций. О-символика.

План лекции

1. Ограниченная по сравнению функция. Символ «О – большое».

2. Функции одного порядка.

3. Эквивалентные функции

4. Бесконечно малые, по сравнению, функции. Символ «о – малое»

5. Главная часть функции.

Пусть . То есть  может быть числом или одним из  символов , , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если существует такая проколотая окрестность  и такая константа , что выполняется неравенство , то говорят, что функция  ограничена по сравнению с функцией  в окрестности , и пишут

                                            , .                                          (1)

(Читается:  есть О – большое от  при ).

В данном случае не идет речь о пределе функции. Символ  используется только для того, чтобы подчеркнуть, что неравенство выполняется в некоторой окрестности .

ПРИМЕР 1.  при .

В самом деле,  имеем . То есть читается, что функция   ограничена по сравнению с функцией  при .

(заметим, что обе функции при этом являются неограниченными в окрестности точки , более того бесконечно большими при )

ПРИМЕР 2.  при .

В самом деле,  имеем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функции  и  называются функциями одного порядка при , если ,  при .

 

ПРИМЕР 3. Функции ,  являются функциями одного порядка при .

В самом деле   для всех , то есть , и, наоборот, , для всех , то есть .

Лемма 1. Пусть , тогда , .             

Доказательство.

, тогда по определению имеем . Последнее неравенство перепишем в другой форме . 

Положим , тогда  выполняется неравенство , где .

Последнее означает, что , или . Это означает, что , . Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть , тогда ,  - функции одного порядка при .

  В самом деле, в силу леммы 1.    при . Кроме того, , и, следовательно    при .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.. Функции  и  называются эквивалентными функциями при , если , и пишут

                                   ̴  при .                                                   (2)

ПРИМЕР 4.   ̴   при .

Действительно, .

 

ПРИМЕР 5.   ̴   при .

Действительно, .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.. Если  и  - бесконечно малая функция при , то есть , то функция  называется бесконечно малой по сравнению с функцией  и пишут

                                  при .                                                   (3)

(Читается:  есть о – малое от  при ).

Лемма 3. Для того, чтобы   при , необходимо и достаточно, чтобы .

Необходимость. Пусть   при , тогда, по определению,  и  - бесконечно малая функция при , отсюда , следовательно .

Достаточность. Пусть . Обозначим , тогда  - бесконечно малая функция, и , то есть   при .

 

 

ПРИМЕР 6.   1)  при

                    2)  при

                    3)  при .

                    4)  при .

 

 

Литература.

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.1, § 8.

                                                 

 

 

Первый замечательный предел

    

 

Пусть  

                ,   . Отсюда получаем

. То есть верно неравенство  и  , или . Получаем . Делим неравенство на , получаем  .

, по теореме о трех пределах имеем

.

. Так как пределы слева и справа равны, то

Следствие 1. .

Доказательство. .

Следствие 2.    ̴ ,      ̴ , при .

             Литература.

2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.1, §§ 5,6.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т 1, глава вторая, § 4.

 

 

                  

 

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА

 

Вспомним определение непрерывной в точке функции.

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.  Пусть функция  определена в окрестности точки , существует предел функции

                                                            .                                    (1)

То есть для непрерывности функции  в точке  должны выполняться три условия

1. Функция должна быть определена в окрестности точки ,

2. Должен существовать предел функции в этой точке

3. Предел функции в точке должен быть равен значению функции в этой точке, то есть должно выполняться равенство (1).

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть функция  определена в проколотой окрестности точки , точка называется точкой разрыва функции , если выполняется хотя бы одно из условий

1. Функция не определена в точке ,

2. Не существует предел функции в точке ,

3. Предел существует, функция определена в точке, но не выполняется равенство (1).

 

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точка  называется точкой устранимого разрыва функции , если существует предел функции в точке , а в точке  функция или не определена, или она принимает значение .

 

ПРИМЕР 1.

      

Функция не определена в точке . Однако существует предел функции в точке . Если функцию определить в точке , положив , то функция станет непрерывной в точке .

    Замечание. В устранимой точке разрыва функцию можно доопределить, как в примере, если она не была определена в точке, или изменить значение функции в этой точке, положив значение функции равной пределу. При этом функция станет непрерывной в точке.

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Точка  называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , , при этом .

 

Функция  в точке  делает конечный скачек .

ПРИМЕР 2.

, , оба односторонних предела конечны, функция в точке  делает скачек . Функция в точке  определена, , но она не является непрерывной ни слева, ни справа в этой точке. Точка  - точка разрыва первого рода

 

 

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Точка  называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке , , равен бесконечности или не существует.

 

ПРИМЕР 3. .

Функция не определена в точке , но определена во всех остальных точках.  ,  . Оба односторонние пределы бесконечны. Точка  - точка разрыва второго рода.

 

 

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.

Показательная функция.

Графики функции

 

 

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

,

   Как мы показали выше, показательная  - функция определена на всей числовой оси , непрерывна на области определения, строго монотонно возрастающая, если , и строго монотонно убывающая, если . Множеством значений является интервал .

   По теореме об обратной функции, существует обратная функция , определенная на интервале  с множеством значений , непрерывная на области определения, строго монотонно возрастающая, если , и строго монотонно убывающая, если .

 

В частных случаях, если , , называется десятичным логарифмом. Если , то функция    называется натуральным логарифмом.

     Свойства логарифмической функции.

1.   , .

2.   , .

Свойства 1, 2 следуют из определения обратной функции.

3.     , .

  , , отсюда следует, что    . Последнее равенство доказывает свойство.

4.    .

 , , отсюда следует, что    . Последнее равенство доказывает свойство.

5.   .

,  . Свойство доказано.

6.   .

, отсюда получаем . Свойство доказано.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, § 7.

 

 

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

 

           ТЕОРЕМА.             .

  Доказательство. Ранее было доказано, что , тогда  имеем .

    Пусть последовательность  - последовательность такая, что ,  (без ограничения общности будем считать, что ), то есть . Тогда .

  Обозначим   целую часть числа , то есть справедливо неравенство

                                          .                                                    (1)

 Тогда справедливо неравенство

                                             .                                                 (2)

Прибавляем ко всем частям неравенства 1, получаем

                                             .   

Используя свойства монотонности показательной функции с основанием больше единицы и степенной функции, получаем

       .              (3)

Найдем предел правой части неравенства (3)

                .

Найдем предел левой части неравенства (3)

                .

В силу теоремы о трех пределах .

Так как  - произвольная последовательность, , , то мы доказали, что

                                          .                                            (4)

  Пусть теперь , , положим .

.

В силу произвольности последовательности   получаем

                                           .                                            (5)

Из (4) и (5), так как односторонние пределы равны, следует .

Теорема доказана.

 

СЛЕДСТВИЕ 1.               ,    .

Доказательство. В силу свойств логарифмической функции имеем

      . 

 

СЛЕДСТВИЕ 2.       ,    .

Доказательство. Функция  является строго монотонной. Обратная к ней функция имеет вид .

Применяем теорему о замене переменных в пределах, получаем

.

 

СЛЕДСТВИЕ 3. При   ̴ ,      ̴ .

 

  РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется равномерно непрерывной на множестве , если  таких, что  справедливо неравенство .

   ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию . Покажем, что функция равномерно непрерывна на интервале .

.

То есть,  такое, что  выполняется неравенство . Следовательно, функция равномерно непрерывна на интервале .

 

  ТЕОРЕМА. Если функция равномерно непрерывна на множестве , то она непрерывна на .

В самом деле, если мы зафиксируем произвольную точку , то в силу равномерной непрерывности  такой, что  справедливо неравенство . По определению, по Коши, это означает, что функция непрерывна в точке . В силу произвольности точки  функция непрерывна на множестве .

                Обратное утверждение неверно.

  ПРИМЕР 2. Покажем, что функция  не является равномерно непрерывной на интервале .

     Рассмотрим две последовательности , . Очевидно, что , , тогда .

Последнее по определению означает  такой номер, что  выполняется неравенство .

.

Получаем,   (, , ) такие, что , а .

Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на интервале .

 

   ТЕОРЕМА (КАНТОРА). Если функция   непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.

    Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что функция не является равномерно непрерывной на отрезке . Это значит, что  такое, что  : , что выполняется неравенство .

     Выберем  число , тогда  :

                                                                                          (6)

 такие, что  

                                  .                                            (7)

          Мы получили две последовательности , то есть ограниченные последовательности.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. То есть  , . Из последовательности  выделим подпоследовательность с теми же номерами .

   Из неравенства (6) следует, что , тогда любая подпоследовательность сходится, и .

                         .

Функция   непрерывна в точке . В силу определения по Гейне получаем

  ,                  .                          (8)

Из неравенства (7) получаем

                             .

Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получаем 

    . Получили противоречие, следовательно, наше предположение неверно. Теорема доказана.

 

                                   Литература

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 1,гл. 4.

 

                            

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

   Понятие производной связано с понятием касательной. Определим понятие касательной к графику функции в точке .

   Пусть функция   определена на интервале  и непрерывна в точке , , . Пусть , , .

    Проведем секущую . Секущая имеет уравнение

                                         ,                                 (8)

где .

       Покажем, что при    длина отрезка  стремится к нулю, то есть точка   стремится к точке .

     В силу непрерывности функции  в точке  имеем , тогда .

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует , то прямая, уравнение которой  получается и уравнения секущей , называется наклонной касательной к графику функции  в точке .

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если , то прямая , которая получается из уравнения секущей (8), если мы поделим обе части равенства (8) на

                               

и перейдем к пределу при , называется вертикальной касательной к графику функции  в точке .

  Существование конечного предела . То есть, если функция  имеет производную в точке , то уравнение касательной к графику функции имеет вид

                                  , где .

    Если , то уравнение касательной      

                                      .

      Известно, что , тангенс угла между касательной к графику функции в точке  и осью .

 

    Так как , с другой стороны на касательной , получаем, что дифференциал функции в точке равен приращению линейной функции, задающей касательную к графику функции.

  

  Если в точке   (то есть  или ) будем говорить, что существует бесконечная производная (  или ).

Если в точке  предел , но не равен или , то график функции имеет следующий вид          

В таких случаях точка  называется точкой возврата.

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть функция , определенная на интервале , в каждой точке интервала имеет производную . Если  имеет производную в точке , то эта производная называется второй производной функции  в точке  и обозначается

           .

   Аналогично определяется производная порядка .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть функция , определенная на интервале , в каждой точке интервала имеет производную  порядка . Если  имеет производную в точке , то эта производная называется производной порядка  функции  в точке  и обозначается

           , то есть

.

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция  называется  раз непрерывно-дифференцируемой на промежутке , если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка  включительно.

 (При этом если конец промежутка принадлежит промежутку, то под производной на конце понимается односторонняя производная).

  ПРИМЕР 1. .

, , , , если .

  ПРИМЕР 2. .

, , ,…, .

ПРИМЕР 3. .

, ,…, .

ПРИМЕР 4. .