Особенности новой формы движения.

 

       Взаимодействие тел – это более сложная форма движения, чем все предыдущие: она включает в себя изменение состояний участвующих во взаимодействии тел, перенос, диссипацию, увлечение и разделение движения, а также эффект взаимодействия потоков. Смысл этой формы движения состоит в том, что между взаимодействующими телами происходит обмен зарядами со всеми сопутствующими эффектами.

       Явление взаимодействия тел подчиняется изложенным выше законам общей теории. Но в нем есть и своя специфика, связанная с рассмотрением условий на границах тел и с учетом их геометрических, физических и временных свойств. Эта специфика выражается в особых условиях однозначности и в дифференциальных уравнениях взаимодействия (обмена).

       Явление взаимодействия весьма универсально. Его универсальность такова, что оно служит предметом изучения большинства современных теорий и наук. В частности, анализу этого явления посвящены термодинамика, химия, физика, механика и т.д. Наиболее глубокие исследования во всех областях знаний выполнены именно на уровне формы движения взаимодействия тел.

       Прежде чем приступить к рассмотрению всех этих вопросов, остановимся вначале на методах, которые выработаны в современной науке для изучения различных явлений природы. Такое обсуждение методов уместно здесь по той причине, что основная совокупность законов общей теории уже изложена. Далее следуют более сложные формы движения (явления). Степень их изученности находится в обратной зависимости по отношению к сложности. Специфические для более сложных форм движения законы чаще всего изучены недостаточно, либо о них не имеется никаких определенных сведений. Поэтому в ходе изложения общей теории назрела потребность сделать некоторые обобщения. Эти обобщения прежде всего касаются методов решения различных научных и практических проблем. Кроме того, на основе выведенных выше законов, относящихся к простым формам движения, можно сформулировать общие правила выбора зарядов (и потенциалов).

 

       2. Теоретический метод.

 

       При решении различных практических задач, т.е. при изучении конкретных явлений природы, возможны три разных подхода – теоретический, экспериментальный и смешанный.

       Чисто теоретический подход базируется на использовании метода принципов совместно с модельными гипотезами. При таком подходе все сведения о явлении устанавливаются теоретически: с помощью основных принципов (законов) выводятся дифференциальные уравнения, описывающие изучаемое явление. В этих теоретических уравнениях все коэффициенты оказываются известными на основе использования соответствующих модельных гипотез, определяющих микроскопический механизм изучаемого явления. Теоретический метод отличается исключительной сложностью и пока обладает ограниченными возможностями. В настоящее время известно очень небольшое число задач, решенных таим способом.

       При выводе дифференциальных уравнений, описывающих изучаемое явление, применяются рассмотренные ранее семь главных законов общей теории – сохранения энергии и заряда, состояния, взаимности, переноса, увлечения и диссипации, а также различные производные законы, когда это требуется. В простейших случаях теоретическими уравнениями могут непосредственно служить дифференциальные уравнения, выражающие упомянутые законы. Сами по себе эти законы есть результат широкого обобщения свойств и зависимостей, существующих в природе. Поэтому полученные на их основе дифференциальные (теоретические) уравнения также выражают наиболее общие связи между величинами, существенными для изучаемого явления, т.е. представляют собой математическую модель физического механизма этого явления.

       Но дифференциальные уравнения не содержат индивидуальных признаков данного конкретного явления, ибо переменные, входящие в состав уравнений, могут принимать самые различные значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явлению. Поэтому они справедливы для всех явлений, в основе которых лежит один и тот же физический механизм. Явления, обладающие одним и тем же механизмом (число их равно бесконечности), составляют так называемый класс явлений. Следовательно, дифференциальные уравнения (их может быть одно или несколько) представляют собой математическую модель целого класса явлений.

       Соответственно этому при интегрировании дифференциальных уравнений получается бесчисленное множество различных решений, удовлетворяющих этим уравнениям. Решения уравнений, как и исходные уравнения, описывают один и тот же класс явлений.

       Из сказанного должно быть ясно, что решение (интегрирование) дифференциальных уравнений еще не есть решение поставленной (конкретной) задачи. Поэтому следует четко различать такие термины, как решение (интегрирование) уравнений и решение поставленной задачи.

       Чтобы получить из множества возможных решений одно частное решение, соответствующее изучаемому конкретному явлению, т.е. чтобы получить решение поставленной задачи, необходимо располагать дополнительными сведениями, не содержащимися в исходных дифференциальных уравнениях. Для этого надо знать конкретные особенности данного единичного явления, выделяющее его из всего класса однородных явлений. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальными уравнениями или их решениями однозначно определяют единичное явление, называются условиями однозначности, или краевыми условиями.

 

       3. Условия однозначности.

 

       Условия однозначности должны содержать все особенности данного конкретного явления. Эти особенности не зависят от механизма явления, который относится ко всем явлениям класса одновременно, и задаются в связи с условиями конкретной задачи.

       Конкретное (единичное) явление характеризуется следующими индивидуальными признаками, выделяющими его из целого класса явлений.

       1. Любая макроскопическая система имеет определенные размеры и форму, поэтому в условия однозначности должны входить ее геометрические свойства. В условиях микромира геометрические свойства выпадают из условий однозначности, они определяются основными уравнениями главных законов.

       2. Всякая система обладает определенными производными свойствами высоких порядков, начиная с третьего и выше. Эти свойства входят в условия однозначности и называются физическими. К числу физических свойств относятся коэффициенты А, К, a, b, L, М и т.д. При чисто теоретическом подходе физические свойства определяются с помощью модельных гипотез, они выражаются через мировые константы. При смешанном подходе коэффициенты, существенные для данного явления, находятся из опыта. Они должны задаваться заранее.

       3. Любой макроскопический процесс существует и развивается во времени. Чтобы определить состояние системы в некоторый момент времени, необходимо знать ее состояние в какой-нибудь предшествующий момент, принимаемый за начальный. Поэтому условия однозначности должны включать в себя временные условия, характеризующие состояние системы в исходный (начальный) момент времени. Для начального момента надо иметь полную картину распределения переменных по всему объему системы. Временные условия часто называют также начальными условиями.

       В микромире время становится основной (переносимой) характеристикой процесса, поэтому из условий однозначности выпадает.

       4. Изучаемая система всегда в какой-то мере взаимодействует с окружающей средой. Очень часто это взаимодействие и является причиной изменения состояния системы. Поэтому необходимо знать условия взаимодействия системы и окружающей среды на контрольной поверхности. Эти условия на границах системы именуют граничными условиями. Всего существует три варианта (рода) различных граничных условий.

       Четыре перечисленных условия и дифференциальные уравнения в совокупности однозначно определяют конкретное единичное явление. Для практического использования связей, содержащихся в дифференциальных уравнениях, необходимо проинтегрировать эти уравнения и согласовать полученное решение с условиями однозначности. Такое согласованное решение дифференциальных уравнений и есть решение поставленной задачи. Оно содержит объем знаний, вполне достаточный для практики. Условия однозначности, ограничивающие свойства системы во временном, пространственном и физическом отношениях, называют также краевыми условиями. В связи с этим начальные условия являются временными краевыми условиями, граничные – пространственными краевыми условиями и т.д.

       В микромире условия однозначности вырождаются, так как из них выпадают геометрические и временные свойства. Кроме того, при теоретическом подходе физические свойства заменяются мировыми константами. Что касается граничных условия, то они во всех случаях имеют решающее значение.

 

       4. Граничные условия.

 

       Известны три варианта граничных условий. Они задаются по-разному в зависимости от объема предварительных знаний о явлении.

       1. Граничное условие первого рода предлагает задание значений всех n обобщенных потенциалов во всех точках контрольной поверхности системы для любого момента времени. В простейшем частном случае каждый данный потенциал Р_п (из числа n) может иметь одно постоянное значение, общее для всех точек контрольной поверхности.

       2. При граничном условии второго рода объем располагаемых знаний позволяет задать величины потоков всех n зарядов для любой точки контрольной поверхности и любого момента времени. Простейший частный случай характеризуется тем, что каждый данный поток W_п (конкретно каждый данный поток J_п или I_п) имеет одно постоянное значение во всех точках контрольной поверхности.

       3. Граничное условие третьего рода предполагает задание значений всех n потенциалов Р_с окружающей среды и законов обмена зарядами между контрольной поверхностью и окружающей средой для любой точки поверхности и любого момента времени. Наиболее простые частные условия обмена получаются, если каждый данный закон обмена одинаков для всех точках контрольной поверхности, а каждый данный потенциал Р_с имеет постоянное значение.

 

       5. Вывод дифференциального уравнения взаимодействия.

 

       Роль граничных условий резко возрастает в связи с тем, что система и среда часто обладают различными свойствами. На контрольной поверхности, представляющей собой поверхность раздела (контакта) двух тел, могут наблюдаться изломы кривой распределения потенциала, или даже скачки потенциала (см. рис. 2). В подобных случаях, когда в изучаемых объектах имеется значительная неоднородность свойств, решение различных практических задач крайне усложняется, ибо приходится интегрировать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, являющимися функциями координат. На практике, чтобы избежать этой трудности, соответствующий объем мысленно расчленяют на отдельные практически однородные зоны и составляют уравнения для каждой из них. Связь между различными зонами осуществляется с помощью особого рода дифференциального уравнения обмена зарядом на поверхности контакта. Это уравнение по существу выражает закон сохранения заряда. Только теперь оно записывается не через заряд, а через поток заряда.

       Действительно, умножив левую и правую части основного уравнения (99) закона сохранения заряда на коэффициент D, с помощью равенства (225) получим

                                           W_с + W = 0.                                                                        (647)

       Это уравнение, как и основное соотношение (99), выражает тот факт, что поток данного заряда при прохождении через поверхность контакта не уничтожается и не возникает.

       В некоторых случаях, в частности при фазовых превращениях, поверхность контакта может представлять собой фронт фазового превращения (этот фронт отделяет, например, твердую фазу от жидкой). Тогда на этой поверхности могут иметься источники или стоки определенных зарядов (например, термического объема и т.д.). В этих условиях уравнение (647) закона сохранения заряда принимает вид

                                           W_с + W ± W_ист = 0.                                                           (648)

       Здесь дополнительный поток W_ист может быть положительным или отрицательным (источник или стоек заряда).

       Общее уравнение (648) применительно к конкретным частным потокам записывается по-разному в зависимости от свойств соприкасающихся систем. Возможны следующие характерные варианты:

                                           a_сХ_с + a ± J_ист = 0;                                                           (649)

                                           b_сХ_с + b ± I_ист = 0;                                                            (650)

                                           aХ + LY ± J_ист = 0;                                                          (651)

                                           bХ + М Y ± I_ист = 0;                                                          (652)

                                           L_сY_с + LY ± J_ист = 0;                                                        (653)

                                           М_сY_с + МY ± I_ист = 0.                                                       (654)

При отсутствии источников или стоков зарядов потоки J_ист и I_ист обращаются в нуль.

       Общее (648) и частные (649) – (654) уравнения несколько по-другому, чем основное равенство (99), выражают закон сохранения заряда. Эти уравнения можно назвать также дифференциальными уравнениями взаимодействия (обмена) на поверхностях контакта группы соприкасающихся тел.

       Уравнение (649) при J_ист = 0 характеризует обмен зарядом на поверхности контакта двух несмешивающихся жидкостей или на поверхности контакта жидкости и газа. Слагаемое a_сХ_с определяет отдачу заряда в одной среде, aХ - в другой. Аналогичный смысл имеет уравнение (650) при I_ист. Оно получается из уравнения (649) путем умножения последнего на площадь F.

       Уравнение (651) чаще всего характеризует обмен зарядом на поверхности твердого тела, соприкасающегося с жидкостью или газом. Слагаемое aХ определяет отдачу заряда на поверхности контакта, а LY – подвод заряда к этой поверхности посредством проводимости. Уравнение (652) имеет такой же смысл (оно получается путем умножения уравнения (651) на F). В общем случае эти уравнения можно записать в четырех различных вариантах. Например, обе проводимости можно отнести только к системе или только к окружающей среде. Далее, первую проводимость можно отнести к системе, а вторую – к окружающей среде. Наконец, первую проводимость можно отнести к окружающей среде, а вторую – к системе. Один из этих вариантом был использован раньше при обсуждении закона Хаббла (§ 60).

       Уравнение (653) при J_ист = 0 характеризует обмен зарядом на поверхности раздела двух твердых тел. Если проводимости L_с и L этих тел различаются между собой, то неодинаковые значения имеют также градиенты потенциала Y_с и Y: на поверхности контакта наблюдается излом кривой распределения потенциала – рис. 2. Если L_с = L, то Y_с = Y и излома на кривой потенциала не имеется – рис. 1. Уравнение (654) аналогично уравнению (653).

       Дифференциальные уравнения обмена очень облегчают теоретическое решение различных практических задач о взаимодействии тел природы.

 

       6. Экспериментальный метод.

 

       Достоинством экспериментального метода является достоверность получаемых результатов. Недостаток этого метода состоит в ограниченной ценности его результатов: сведения, почерпнутые из любого данного опыта, принципиально говоря, не могут быть применены к другому явлению, которое в какой-либо мере отличается от данного.

       Иными словами, при экспериментальном подходе каждое конкретное (единичное) явление должно служить самостоятельным объектом опытного изучения. Этот недостаток особенно обременителен при создании новых процессов, машин и аппаратов: при таком подходе приходится вначале вслепую строить машину, а затем на опыте убеждаться в ее непригодности. Поэтому экспериментальный метод чаще всего применяется на начальной стадии изучения явлений.

 

       7. Смешанный метод.

 

       На практике, как правило, пользуются смешанным методом, в котором теоретический подход сочетается с экспериментальным. Существуют два варианта смешанного подхода – теоретико-экспериментальный и экспериментально-теоретический. В основе первого лежит теория, в основе второго – эксперимент, причем теория дополняется определенными экспериментальными данными, а эксперимент – теоретическими.

       Наибольшее распространение получил теоретико-экспериментальный метод. При решении задач этим методом составляются дифференциальные уравнения, описывающие изучаемое явление. Эти уравнения интегрируются и полученные решения (уравнений) согласовываются с условиями однозначности. Необходимые для практики расчетов коэффициенты поставляет эксперимент.

       Простейшими уравнениями, с которыми приходится сталкиваться на практике, являются дифференциальные уравнения основных законов. В более сложных случаях получаются, например, совокупности (системы) дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных и т.д.

       При экспериментально-теоретическом решении задачи за основу берется эксперимент. Результаты данного конкретного опыта особым образом – с помощью сведений, содержащихся в теоретических уравнениях, - распространяются на другие явления. Такое распространение (обобщение) результатов единичного опыта на многие явления осуществляется в методах подобия, модели и аналогии. В этом вопросе неоценимую услугу оказывает так называемая теория подобия. Эта теория позволяет результаты конкретного опыта распространить на группу – бесконечное множество – подобных между собой явлений. Это достигается путем представления результатов единичного опыта не в виде зависимости между конкретными величинами, замеренными в опыте, а в виде зависимости между критериями подобия – безразмерными комбинациями измеренных величин. Критерии подобия находятся из дифференциальных уравнений и условий однозначности по определенным правилам. В результате данная экспериментальная зависимость оказывается справедливой для всех конкретных явлений, характеризуемых одинаковыми значениями критериев подобия, т.е. для всей группы подобных явлений.

       Группа явлений по объему уже класса и шире единичного явления. Она объединяет все явления, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Группа явлений выбирается с помощью основной теоремы теории подобия, сформулированной А.А. Гухманом и М.В. Кирпичевым в 1931 г. (теорема Гухмана-Кирпичева).

       Критерии подобия представляют собой безразмерные степенные комплексы. Чтобы их найти, необходимо исходное уравнение привести к безразмерному виду – разделить все слагаемые на одно из них, а затем в полученном уравнении отбросить все индексы, знаки сумм, символы, выражающие действия дифференцирования, и т.п. Составленные таким образом комплексы и есть искомые критерии подобия. Недостающие критерии находятся из условий задачи в виде отношения двух однородных величин – это так называемые параметрические критерии.

       Практические примеры составления критериев подобия были рассмотрены в § 30 применительно к микромиру.

       Разновидностью метода подобия является метод моделирования.

       Из предыдущего ясно, что в эксперименте не обязательно испытывать подлежащее изучению конкретное явление (образец). Достаточно испытать любое другое явление (модель), характеризуемое теми же значениями критериев подобия, что и образец. Такой метод замещения образца (подлежащего изучению конкретного явления) моделью (фактически изучаемым явлением) называется моделированием.

       К методу модели прибегают в тех случаях, когда, с одной стороны, невозможно найти теоретическое решение поставленной задачи из-за трудностей математического характера и, с другой, затруднительно поставить эксперимент с образцом в натуральную величину. Например, в инженерной практике моделируют крупные гидротехнические сооружения, самолеты, корабли и т.п.

       Если метод моделирования позволяет одно явление данного рода замещать другим явлением того же рода, то метод аналогии основывается на сходстве дифференциальных уравнений, описывающих разнородные явления (вспомним, что дифференциальные уравнения основных законов справедливы для любых форм движения). Поэтому с его помощью удается, например, задачи теплопроводности решать путем экспериментального  изучения процессов движения вязкой жидкости, газа или электрического заряда и т.п.

       При использовании метода аналогии параметры и функции состояния данного рода (заряд, потенциал, емкость, проводимость и т.д.), относящиеся к образцу, заменяются соответствующими параметрами и функциями состояния другого рода (зарядом, потенциалом, емкостью, проводимостью и т.д.), относящимися к фактически изучаемому явлению. О свойствах образца судят по значениям сходственных параметров и функций состояния для изучаемого явления на основе заранее установленного масштаба величин.

       Решение различных практических задач крайне облегчается и ускоряется благодаря применению электронных цифровых и аналоговых вычислительных машин. Эти машины умеют интегрировать дифференциальные уравнения, согласовывать решения с условиями однозначности, анализировать полученные результаты и выдавать их в виде чисел, готовых графиков и т.п. В настоящее время проводится большая работа по применению вычислительных машин для решения систем дифференциальных уравнений общей теории (Н.А. Буткевичус и др.). Машины окажутся очень полезными при расчете фазовых превращений и химических реакций, процессов распространения зарядов на нестационарном режиме, реакций элементарных частиц (ансамблей, микрозарядов) и т.д.