Раздел II . Векторная алгебра

Высшей математики

 

К первой части отнесены элементы линейной и векторной алгебры, метод координат, аналитическая геометрия и введение в анализ.

Материал советуем разбирать по вопросам, указанным в рабочей программе. Там же вы найдете страницы учебников и номера задач, которые следует проработать.

К экзамену необходимо выполнить две контрольных работы. Каждая работа выполняется в отдельной тетради. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.

Приступать к выполнению контрольных работ следует после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких аналогичных задач.

Относитесь добросовестно к изучению теории и самостоятельному решению задач контрольной работы, т.к. на экзамене вам придется решать аналогичные задачи и отвечать на вопросы программы.

 

 

                    Библиографический список литературы

 

1. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 4-е изд. – М.: наука, 1980

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1,2 – М.: Наука, 1970-1978

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 – М.: Высшая школа, 1980

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1990

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1990

 

Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте рабочей программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в квадратных скобках. Например [I, гл. 2, §2] означает: учебник Беклемишева Д.В., гл. II, §2.

 

 Раздел I. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Системы линейных уравнений и их решение. Определители

 

1. Система  линейных уравнений с  неизвестными. Понятие решения системы, совместные и несовместные системы. Примеры.

2. Эквивалентные системы. Простейшие преобразования, приводящие к эквивалентным системам.

3. Решение системы методом Гаусса, условие несовместности уравнений. Примеры.

4. Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

5. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.

6. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.

7. Формула Крамера. Условие существования ненулевого решения однородной системы.

       Литература: [I, гл.V, §3]; [3, задачи 391-393; 445-447, 449]; [I, гл. I §3, п. 5-9]; [3, задачи 208-211, 217, 219, 222, 225, 227, 228]; [I, гл. V, §2)] [3, задача 387]; [4, §§ 1, 2, 3, 4].

 

 

Тема 2. Элементы теории матриц

8. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

9. Умножение матриц.

10. Единичная матрица. Обратная матрица и ее нахождение.

11. Матричная запись системы и ее решение с помощью обратной матрицы.

12. Понятие о собственных (характеристических) числах и собственных векторах матрицы. Нахождение собственных чисел и векторов.

      Литература: [I, гл. V, § 1, § 6]; [3, задачи 394, 395, 396, 402, 406, 407]; [I, гл.VI, §§ 3, 4; 2, гл. III, §12-22]; [3, гл. IV, § 2; гл. V, §4]; [4, §§3,4,15,22].

 

Контрольная работа №1

Элементы линейной алгебры

Задача 1. Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять, разлагая по строке или столбцу.

1.               2.            3.                                                        4.              5.             6.

7.           8.             9.                                       10.    11.           12.

13.            14.            15.                                       16.             17.              18.

19.              20.

 

 

Задача 2. Узнать с помощью определителя, имеет ли однородная система ненулевое решение. Применяя метод Гаусса, найти общее решение системы.

1.                      2.

3.                      4.

5.                       6.

7.                      8.

9.                    10.

11.                       12.

13.                      14.

15.                        16.

17.                      18.

19.               20.

 

Задача 3. Записать задачу решения системы для нескольких правых частей в матричной форме. С помощью обратной матрицы найти решение для каждой правой части системы.

1.                   2.

3.                    4.

5.                   6.

7.                   8.

9.                 10.

11.                   12.

13.             14.

15.               16.

17.                  18.

19.                     20.

 

Задача 4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

1.               2.            3.                4.

5.               6.            7.               8.

9.             10.       11.               12.

13.              14.          15.             16.

17.             18.          19.                20.

 

 

 Векторная алгебра и ее применения

Задача 5. На плоскости дана прямоугольная система координат  и базис , состоящий из векторов единичной длины, направленных по соответствующим осям координат. Построить на плоскости  точки  по их координатам. Построить векторы  и  по их координатам в базисе . Найти координаты векторов , ,  и  в базисе .

1.   

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

Задача 6. Даны длины векторов  и , и угол между ними. Требуется:

а) используя определение и свойства скалярного произведения, вычислить   

 

 

б) используя определение и свойства векторного произведения, выразить  через вектор , если известно что  - вектор единичной длины, направленный так же, как и вектор .

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

Задача 7. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длины сторон  и ;

в) угол между ними;

г) площадь грани ;

д) объем пирамиды;

сделать чертеж.

 

1. А (1,1,1), В (6,3,1), С (3,6,1), D (2,3,5)

 

2. А (2,-1,1), В (0,2,1), С (0,-1,5), D (2,2,9)

 

3. А (1,2,-2), В (2,1,1), С (-1,4,-1), D (4,0,3)

 

4. А (1,3,2), В (3,2,2), С (1,4,2), D (1,3,5)

 

5. А (2,2,1), В (3,5,4), С (1,6,0), D (1,4,7)

 

6. А (4,1,1), В (3,4,2), С (4,6,1), D (3,3,7)

 

7. А (0,2,1), В (3,4,2), С (3,5,1), D (1,2,6)

 

8. А (2,1,0), В (1,3,2), С (3,4,1), D (2,3,7)

 

9. А (2,-2,0), В (3,3,1), С (0,4,2), D (1,3,6)

 

10. А (-1,3,2), В (1,2,2), С (1,9,1), D (1,5,10)

 

11.

 

12. А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D(2, 7, 5)

 

13. A (1,3,2), B (2,2,1), C (4,1,1), D(2,2,9)

 

14. A (2,1,0), B (2,-2,0), C (-1, 3,2), D(4,0,3)

 

15. A (6,7,1), B (0,2,1), C (2,1,1), D(1,3,5).

 

16. A (3,2,2), B (3,5,4), C (3,4,2), D (1,4,7)

 

17. A (1,3,2), B (3,3,1), C (1,8,2), D (7,3,7)

 

18. A (3,6,1), B (0,-1,5), C (1,4,2), D (1,3,6)

 

19. A (1,6,0), B (3,5,1), C (3,6,1), D (2,3,7)

 

20. A (3,4,1), B (0,4,2), C (1,9,1), D (1,5,10)

 

 

Контрольная работа № 2.

 

Высшей математики

 

К первой части отнесены элементы линейной и векторной алгебры, метод координат, аналитическая геометрия и введение в анализ.

Материал советуем разбирать по вопросам, указанным в рабочей программе. Там же вы найдете страницы учебников и номера задач, которые следует проработать.

К экзамену необходимо выполнить две контрольных работы. Каждая работа выполняется в отдельной тетради. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.

Приступать к выполнению контрольных работ следует после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких аналогичных задач.

Относитесь добросовестно к изучению теории и самостоятельному решению задач контрольной работы, т.к. на экзамене вам придется решать аналогичные задачи и отвечать на вопросы программы.

 

 

                    Библиографический список литературы

 

1. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 4-е изд. – М.: наука, 1980

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1,2 – М.: Наука, 1970-1978

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 – М.: Высшая школа, 1980

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1990

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1990

 

Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте рабочей программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в квадратных скобках. Например [I, гл. 2, §2] означает: учебник Беклемишева Д.В., гл. II, §2.

 

 Раздел I. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Системы линейных уравнений и их решение. Определители

 

1. Система  линейных уравнений с  неизвестными. Понятие решения системы, совместные и несовместные системы. Примеры.

2. Эквивалентные системы. Простейшие преобразования, приводящие к эквивалентным системам.

3. Решение системы методом Гаусса, условие несовместности уравнений. Примеры.

4. Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

5. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.

6. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.

7. Формула Крамера. Условие существования ненулевого решения однородной системы.

       Литература: [I, гл.V, §3]; [3, задачи 391-393; 445-447, 449]; [I, гл. I §3, п. 5-9]; [3, задачи 208-211, 217, 219, 222, 225, 227, 228]; [I, гл. V, §2)] [3, задача 387]; [4, §§ 1, 2, 3, 4].

 

 

Тема 2. Элементы теории матриц

8. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

9. Умножение матриц.

10. Единичная матрица. Обратная матрица и ее нахождение.

11. Матричная запись системы и ее решение с помощью обратной матрицы.

12. Понятие о собственных (характеристических) числах и собственных векторах матрицы. Нахождение собственных чисел и векторов.

      Литература: [I, гл. V, § 1, § 6]; [3, задачи 394, 395, 396, 402, 406, 407]; [I, гл.VI, §§ 3, 4; 2, гл. III, §12-22]; [3, гл. IV, § 2; гл. V, §4]; [4, §§3,4,15,22].

 

Раздел II. Векторная алгебра

Тема 3. Векторы и действия над ними. Метод координат

13. Векторы. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы.

14. Сложение и вычитание векторов, правила параллелограмма, треугольника и многоугольника. Умножение вектора на число. Свойства.

15. Пропорциональность коллинеарных векторов. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

16. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. Координаты разложения.

17. Понятие базиса, координаты разложения вектора по базису. Действия над векторами и действия над их координатами.

18. Числовая ось. Декартова система координат на плоскости. Нахождение координат точки, построение точки по ее координатам.

19. Радиус - вектор точки. Координаты радиуса - вектора в базисе из единичных векторов, направленных по осям координат. Вычисление координат вектора через координаты его начала и конца.

20. Формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

Литература: [I, гл. I, §1, §2]; [3, гл. I, §1 гл. II, §1, §2]; [4, §§5,7,14,16].

 

Тема 4. Скалярное, векторное и смешанное произведения

 

21. Скалярное произведение векторов и его свойства. Физический смысл.

22. Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей в базисе .

23. Вычисление длины вектора, угла между векторами и расстояния между точками в декартовой системе координат.

24. Векторное произведение и его свойства. Механический смысл.

25. Вычисление векторного произведения через координаты сомножителей в базисе .

26. Вычисление площади параллелограмма и треугольника через координаты его вершин.

27. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и геометрический смысл.

28. Вычисление смешанного произведения через координаты сомножителей. Вычисление объема пирамиды.

Литература. [I, гл. I, §1, §2 ]; [3, гл. I, §1; гл. II, § 1, §2 ], [4, §§ 5,7,14,16 ].