Регрессия, выражаемая уравнением логистической кривой

Логистическая кривая, называемая иногда S-образной, сигмоидной или кривой Сакса изображена на рис. 4.

                           Y

 

X

Рис. 4. Логистическая кривая

Описывается уравнением Ферхлюста, которое здесь не приводится. Такие кривые хорошо описывают изменения во времени (Х – время) высоты растений (в т.ч. деревьев), их массы, числа особей популяции в замкнутом пространстве и т.п. Эти кривые называют поэтому также кривыми роста.

Периодическая регрессия

Ее описывают обычно тригонометрическим уравнением регрессии, которое здесь не приводится.

Называют ее также циклической. Продолжительность периода (цикла) на рис. 5 обозначена буквой t.

В естественных популяциях периодически изменяется численность зайцев, рысей и ряда других животных. Периодически (с циклом в 14 лет) изменяется урожайность озимой пшеницы и ряда других с.-х. культур. Обнаружен вековой (~100-летний) цикл в динамике температуры и осадков на юго-востоке Украины.

В подобных случаях, когда независимой переменной является время (здесь годы), а зависимой какой-либо признак ряд называется рядом динамики или временным рядом.

t Анализ временных рядов производится с использованием парного корреляционного и регрессионного анализов так же, как это делают по любым парам других признаков.

Y

                              

                                                     

 

X (t)

Рис. 5. Периодическая кривая

В нашей программе REGAN предусмотрено аналитическое сглаживание следующими шестнадцатью функциями:

1. линейная,

2. периодическая

3. гипербола вида

4. степенная

5. показательная

6. экспоненциальная

7. логарифмическая

8. квадратичная парабола

9. логистическая

10. экспоненциальная вида y= a₀ × exp (a₁ × x²)

11. экспоненциальная вида y= a₀ × exp (a₁ × x⁴)

12. гипербола второго порядка

13. гипербола третьего порядка

14. гипербола первого порядка с тремя неизвестными

15. гипербола второго порядка с тремя неизвестными

16. гипербола третьего порядка с тремя неизвестными.

Выбор уравнений регрессии

Выбираться должно уравнение, которое лучше других описывает связь Y с Х. Если преимущество более сложной функции над более простой мало, лучше ограничиться более простой. Наконец, надо брать функции, которые не противоречат здравому смыслу.

Линейное или нелинейное уравнение?

При строго линейной зависимости коэффициенты корреляционного отношения h_yx² и h_xy² равны между собой и равны r_xy², т.е. n= h² - r² =0. При нелинейной связи n¹0.

Если по F-критерию Фишера разность n значима, лучше использовать нелинейное аналитическое сглаживание (F= ).