Система дифференциальных уравнений

                      КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

 Для полного аналитического описания процесса конвективного теплообмена необходимо задать систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы (уравнение неразрывности, сплошности), импульса (уравнение движения), энергии, соответствую-щие специальные законы переноса импульса и теплоты, зависимость физических свойств теплоносителя от температуры и давления и, наконец, условия однозначности, включающие начальные и граничные условия. Дифференциальные уравнения неразрывности и движения для потока несжимаемой жидкости (ρ = const) с постоянной вязкостью имеют вид:

уравнение неразрывности (сплошности)

 

                               ∂w_x/∂x + ∂w_y/∂y + ∂w_z/∂z = 0;                      (3.10)

 

уравнение движения (уравнение Навье-Стокса)

    для оси x

                     ρ(∂w_x/∂τ + w_x∂w_x/∂x + w_y∂w_x/∂y + w_z∂w_x/∂z) =

                       

                     = ρg_x -  ∂p/∂x + μ(∂²w_x/∂x² + ∂²w_x/∂y² + ∂²w_x/∂z²); 

                       

    для оси y

                     ρ(∂w_y/∂τ + w_x∂w_y/∂x + w_y∂w_y/∂y + w_z∂w_y/∂z) =

                           

                    = ρg_y -  ∂p/∂y + μ(∂²w_y/∂x² + ∂²w_y/∂y² + ∂²w_y/∂z²); (3.11)

        

    для оси z

                     ρ(∂w_z/∂τ + w_x∂w_z/∂x + w_y∂w_z/∂y + w_z∂w_z/∂z) =

                           

                    = ρg_z-  ∂p/∂z + μ(∂²w_z/∂x² + ∂²w_z/∂y² + ∂²w_z/∂z²);

 

уравнение энергии (при отсутствии внутренних источников теплоты)

 

                           ∂Т/∂τ + w_x∂Т/∂x + w_y∂Т/∂y + w_z∂Т/∂z =

                                                                                                          (3.12)

                          = λ/с_рρ(∂²Т/∂x² + ∂²Т/∂y² + ∂²Т/∂z²) = α ѲТ;

 

где  τ – время;

  p – давление;

ρg – массовая сила, обусловленная ускорением силы тяжести g и 

        отнесенная к единице объема.

Уравнение (3.11) справедливо для ламинарного и турбулентного движений и выражает закон сохранения количества движения (импульса). В случае турбулентного движения w представляет собой действительную (мгновенную) скорость.

В уравнениях (3.11) и (3.12) в качестве специальных законов переноса используются закон трения Ньютона

 

                                             S = μ (∂w/∂n)                                   (3.13)

 

и закон теплопроводности Фурье

 

                                             q = -λ(∂Т/∂n).                                    (3.14)

 

Таким образом, задача конвективного теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (3.10)-(3.12). Решение этих дифференциальных уравнений содержит постоянные (константы) интегрирования и потому не является однозначным, то есть система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы получить единственное решение, необходимо к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности, которые конкретизируют задачу.

Геометрические условия однозначности для процесса теплоотдачи отражают форму и размеры поверхности соприкосновения тепло-носителя с телом, физические условия – свойства теплоносителя (тепло-проводность, вязкость и др.); временные или начальные условия, обусловливающие особенности процесса в начальный момент времени (для стационарных задач эти условия отпадают). Граничные условия описывают распределение скоростей и температур на границах изучае-мой системы (жидкой среды).

Следует иметь в виду, что система дифференциальных уравнений (3.10)-(3.12), описывающая процесс теплоотдачи, даже при введении упрощающих предпосылок решается только для некоторых простейших случаев.

Уравнения движения значительно упростятся, если предположить, что силы вязкости (трения) имеют существенное значение только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Эта гипотеза была выдвинута в 1904 году Прандтлем.

Гипотеза Прандтля позволила преодолеть математические трудности при решении дифференциальных уравнений движения и послужила основанием для создания теории пограничного слоя. Вывод получен-ного Прандтлем уравнения гидродинамического пограничного слоя подробно излагается в курсе «Гидрогазодинамика» и поэтому здесь не приводится. Следовательно, для некоторых частных случаев задачи конвективного теплообмена могут быть решены (при упрощающих предпосылках) аналитическими методами теории пограничного слоя.

 Количественные соотношения для расчета теплоотдачи можно получить с помощью идеи О. Рейнольдса о единстве механизмов переноса теплоты и количества движения в потоке жидкости. Единство материальных частиц, участвующих в переносе количества движения и теплоты, приводит к подобию полей скорости и температуры в неизотермическом потоке, взаимодействующем со стенкой. Существование такого подобия доказывается на основе анализа уравнений движения и энергии, определяющих распределение скоростей и температур в системе. Подобие этих полей позволяет установить связь между характеристиками интенсивности теплоотдачи и трения на поверхности стенки.

При выводе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена использованы самые общие законы природы, которые в свою очередь являются результатом чрезвычайно широкого обобщения опытных данных. Поэтому теоретические методы исследования теплоотдачи ценны тем, что они дают наиболее общие закономерности и позволяют анализировать факторы, определяющие явление, в широком диапазоне изменения аргументов. Но при аналитическом ре-шении задачи всегда исследуется упрощенная схема явления, и потому точность полученных результатов оценивается путем сопоставления их с экспериментальными данными.

Во многих случаях физический эксперимент остается единственным способом получения закономерностей, определяющих теплоотдачу. Чтобы с помощью эксперимента получить наиболее общую формулу для определения коэффициента теплоотдачи, пригодную не только для исследованных явлений, но и для всех явлений, подобных исследованным, постановку эксперимента и обработку опытных данных необходимо осуществлять на основе теории подобия физических явлений.