Математика, обогнавшая компьютер

 

Американский ученый Роберт Биксби написал целую серию статей об истории линейного программирования. В нашем рассказе мы воспользовались его статьей 2012 года {3}.

По словам Биксби, после нескольких усовершенствований симплекс‑метода к 1953 году удалось решить вариант знаменитой задачи о диете с 71 переменной и 26 ограничениями.

Аппарат, на котором производились вычисления, не был компьютером в строгом смысле этого слова. Это был огромный численный прибор, программируемый с помощью перфокарт. Решение заняло 8 часов, б о льшая часть которых ушла на то, чтобы вручную вставлять перфокарты в машину. Настойчивости и терпению ученых остается только удивляться.

Сегодня для решения задач линейного программирования на практике в основном используется коммерческое программное обеспечение. Среди самых известных пакетов – CPLEX и более недавний Gurobi.

В компьютерных технологиях действует одно эмпирическое правило, часто называемое законом Мура, согласно которому мощность процессоров удваивается каждые 18 месяцев. И хотя это не закон природы и Мур (один из основателей Intel) говорил не совсем об этом, все же данное утверждение примерно соответствует действительности.

Абсолютно очевидно, что любой алгоритм на современном компьютере будет работать гораздо быстрее, чем на давно устаревшей махине с перфокартами. Но и математика не стоит на месте. Старые алгоритмы совершенствуются, появляются новые. Как оценить роль математики в успехе коммерческих пакетов?

В 2007 году Биксби провел впечатляющий эксперимент. Он взял все версии пакета CPLEX, начиная с его первого появления в 1991 году, и опробовал их на большом количестве известных практических задач целочисленного линейного программирования. Ученые собрали внушительные коллекции таких задач. Биксби выбрал из них 1892, а затем сравнил скорость их решения, от версии к версии, на одном и том же компьютере.

Оказалось, что за 15 лет скорость решения увеличилась в 29 000 раз! Интересно, что самое большое ускорение, почти десятикратное, произошло в 1998 году, причем не случайно. До этого математики в течение 30 лет разрабатывали новые теории и методы, из которых очень мало было внедрено в практику. В 1998 году в версии CPLEX6.5 была поставлена задача реализовать по максимуму все эти идеи. В результате наши возможности в линейном программировании вышли на качественно новый уровень.

Процесс продолжается. Gurobi появился в 2009 году и к 2012‑му ускорился в 16,2 раза. А общий эффект в 1991–2012 годах – в 29000×16,2 раз! Повторим, что это произошло независимо от скорости компьютера, иными словами, исключительно благодаря развитию математических идей.

Если верить закону Мура, то за 1992–2012 годы компьютеры ускорились примерно в 8000 раз. Сравните с почти полумиллионным ускорением алгоритмов! Получается, что если вам нужно решить задачу линейного программирования, то лучше использовать старый компьютер и современные методы, чем наоборот, новейший компьютер и методы начала 1990‑х.

Мы не устаем восхищаться прогрессом компьютерных технологий. При этом математика достигла гораздо большего прогресса, и никто даже не заметил! Многогранники, плоскости, двойственные задачи и разветвления зашиты в программных пакетах и решают задачи планирования, как будто так было всегда и в этом нет ничего особенного.

Конечно, самое поразительное – совместный эффект математики и компьютеров. Ускорение в 4 миллиарда раз. Задачи, на которые требовалось 126 лет в 1991 году, в 2012‑м мы научились решать за одну секунду! И это не предел. В статье 2015 года Димитрис Бертсимас и Анжела Кинг из Массачусетского технологического института приводят новую цифру – 450 миллиардов – и предлагают новые приложения линейного программирования в статистике.

При столь невероятной эффективности для линейного программирования открываются новые горизонты, немыслимые ранее, но вполне реальные сегодня.