Описание вычисления неопределенного интеграла в системе Mathcad

Введение

 

В процессе выполнения домашних заданий по математике большая часть времени у студента уходит на выполнение элементарных действий над числами - сложение, вычитание, извлечение корней, возведение в степень и пр. Эти действия он обычно выполняет на калькуляторе. Однако калькулятор имеет ограниченные возможности вычислений в математике, и не позволяет выполнить задачу полностью, без дополнительных действий в тетради. Решить эту задачу, с необходимыми промежуточными вычислениями и действиями в самой программе, призвана система математических вычислений - Mathcad. Эта система была создана разработчиками как инструмент работы инженеров-расчётчиков, проектировщиков, исследователей. Mathcad создавался как мощный калькулятор, позволяющий решать рутинные задачи инженерной практики, ежедневно встречающиеся в работе. Главными преимуществами Mathcad перед другими расчётными средами являются наглядность и легкость программирования задачи, отображение сложных математических выражений в том виде, в каком они обычно оформляются на листе бумаги. Именно поэтому при подготовке высококвалифицированных специалистов в МордГПИ им. М.Е. Евсевьева по специальности «математика с доп. спец. информатика» введено преподавание системы Mathcad, наравне с другими общетехническими дисциплинами.

 

.  
Первообразная и неопределённый интеграл

 

1.1 Основные понятия и определения раздела

 

Прежде чем перейти к вычислению неопределённых интегралов в системе Mathcad, необходимо вспомнить основные понятия и определения, касающиеся данного раздела курса математики.

Функция  называется первообразной для функции  на интервале  (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала  является производной для , т.е.

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования. Необходимо по заданной функции  найти функцию , производная которой равна .

Первообразная определена неоднозначно: например для функции  первообразными будут и функция , и функция .

Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. В методических указаниях по работе в системе Mathcad для первого курса было показано, каким образом можно осуществить операцию дифференцирования. Необходимо напомнить, что наравне с операцией символьного дифференцирования, когда результатом вычисления производной была функция от одной или нескольких переменных, существует также операция численного дифференцирования, т.е. вычисление производной какой-то функции в точке. В определённых задачах такой способ бывает предпочтительней - так как нет необходимости знать скорость изменения какой-то функции в зависимости от времени. Достаточно знать скорость изменения этой функции в определённый момент времени.

Хочется также напомнить, что при выполнении каких-либо действий с исследованием функций, вычисления производных и прочее, рекомендуется всегда строить её график. Это во многом способствует лучшему пониманию материала, а главное - смысла исследования функции.

 

Примеры вычисления неопределенного интеграла и первообразной

 

Далее приведём примеры вычисления этих функций в системе Mathcad.

Для степенной функции в общем и частном видах (необходимо также обратить внимание на то, что Mathcad не выдаёт константу интегрирования).

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от степенной функции в общем и частном видах.

Для показательной функции в общем и частном видах.

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от показательной функции в общем и частном видах.

Приведём пример ещё нескольких наиболее распространённых функций из таблицы неопределённых интегралов, которые наиболее часто встречаются в задачах.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от дробной функции.

Здесь стоит обратить внимание на то, что константа а, которая располагается в подынтегральной функции, необязательно должна иметь квадратную степень. Например, если стоит константа 4, то её можно представить, как . Если же стоит константа 3, то её можно представить как (. Аналогично и с другими табличными значениями интегралов.

Приведём ещё несколько примеров.

 

 

Примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.

Следует помнить, что Mathcad не всегда корректно может вычислить неопределённый интеграл в общем виде, однако в частном случае вычисление будет произведено верно.

 

«Некорректное» вычисление неопределённого интеграла в общем виде. Появляется комплексная составляющая.

Фактически операция вычисления неопределенного интеграла является бесполезной, и предназначена только для того, чтобы увидеть, как собственно выглядит первообразная для данной функции. Это объясняется тем, что невозможно вычислить какое-то значение у получившейся функции, не говоря уже о том, что невозможно будет построить график этой функции. Всё это делает операцию символьного дифференцирования, показательной операцией, чтобы просто «воочию увидеть» первообразную от заданной функции. Такой способ вычисления интеграла, когда из панели Матанализ вызывается оператор Неопределённый интеграл, после чего вписывается подынтегральная функция и при помощи символьного знака равенства выводится результат вычисления, является достаточно редким и при больших расчётах применяется только как проверочный способ. В большинстве случаев необходимо вычислить как неопределённый, так и определённый интеграл от функции, которая была уже задана ранее, причём результат вычисления неопределённого интеграла необходимо также записать в функцию и при дальнейших расчётах найти значение этой функции в какой-либо точке или построить её график. Ниже приведу пример, который иллюстрирует, каким образом, вычисляется неопределённый интеграл от функции, которая была задана ранее и как результат вычисления записывается в функцию.

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции, заданной ранее.

Приведу ещё один пример.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от более сложной функции, заданной ранее.

Помимо необходимости вычисления интеграла от функции, которая была задана ранее, а также необходимости записи результата вычисления в функцию, существует также необходимость нахождения значения результирующей функции в какой-либо точке.

Рассмотрим следующий пример.

 

 

Пример вычисления значения результирующей функции в какой-либо точке.

Обратите внимание на следующее. Для того чтобы вычислить значение функции в какой-либо точке, необходимо произвести вычисление в качестве «символьного вычисления». При этом Mathcad может выдавать значения типа  или  и прочее, т.е. не выводя само число. Поэтому для того, чтобы получить сам результат, необходимо скопировать выражение символьного результата при помощи оператора Вычислить численно на панели Калькулятор и получить это число, как показано на примере выше. Помимо того, что данные могут вноситься непосредственно вместо переменной в результирующей функции, также можно задаваться переменные, которые уже заранее содержат численные значения. Их можно использовать для вычисления значения функции, как подынтегральной, так и функции, которая является результатом интегрирования подынтегральной функции.

На следующем примере разберём этот случай.

 

 

Пример вычисления значения функции от переменной, заданной выше.

На рисунке ниже показано, что Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Как построить график первообразной функции разберём в разделе «Определённый интеграл».

 

Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Для построения графика см. раздел «Определённый интеграл».

Помимо того, что приходится вычислять неопределённые интегралы от функции одной переменной, в большинстве как математических, так и инженерных задач приходится вычислять как неопределенные, так и определенные интегралы функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров на вычисление интегралов от функции нескольких переменных.

 

 

Пример вычисления неопределенного интеграла от функции двух переменных.

 

 

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции трёх переменных.

Зачастую, помимо того, что есть необходимость вычислять неопределённый интеграл от функции нескольких переменных, также существует необходимость вычислять значения первообразной нескольких переменных в заданной точке.

Приведем ниже пример такого вычисления.

 

 

Пример вычисления значения первообразной в заданных точках.

Мы разобрали возможности системы Mathcad для вычисления неопределенных интегралов. В следующем разделе будут приведены примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.

Теория

 

Один из ярких примеров применения определённого интеграла, следующий из определения, которое было дано выше, - это вычисление площадей фигур. Это приложение относится к геометрическому смыслу определённого интеграла. Вспомним теорию.

Пусть f (x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на отрезке [a; b], причём f (x) g(x) при всех x [a; b]. Между графиками y = f (x) и y = g(x) лежит область D, с боков ограниченная отрезками прямых x = a и x = b.

Если обе функции неотрицательны, то есть f (x)  0, то для вычисления площади области D достаточно заметить, что она равна разности площадей областей  и , лежащих между отрезком [a; b] (снизу) и, соответственно, графиком y = g(x) и y = f (x) (сверху). Для нахождения площадей областей  и  применим формулу Ньютона-Лейбница и получим:

 

 

 

4.2 Примеры нахождения площади под кривой в системе Mathcad

 

Для степенной функции.

 

Вычисление площади под кривой при помощи определённого интеграла.

Однако для того, чтобы процедура вычисления определённого интеграла была более наглядна, т.е. чтобы можно было визуально увидеть ту площадь, которая вычисляется, Mathcad предоставляет такую возможность визуализации. Смотрите пример ниже.

 

 

Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла.

Заштрихованная площадь соответствует той площади, которую вычисляет определённый интеграл. Другими словами, заштрихованная площадь на приведённом выше рисунке равна A = 4,174.

Этот пример наглядно показывает, какую площадь и между какими интервалами вычисляет определённый интеграл. В данном случае пределами, как интегрирования, так и пределами для построения площади являются числа a и b. При изменении их значения буде меняться пределы интегрирования, а также будет меняться заштрихованная область на рисунке.

Теперь давайте вспомнить из курса математики, что если график функции находится выше оси Ox, т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает положительные значения, то интеграл получается положительным. Если же график функции располагается ниже оси Ox, т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает отрицательные значения, то интеграл получится отрицательным. Если на всем промежутке интегрирования функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то числовое значение определённого интеграла будет складываться из «положительной» части интеграла и его «отрицательной» части. Наглядно это может демонстрировать следующий пример. Сравните его с предыдущим.

 

 

Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла.

В данном случае при изменении пределов интегрирования меняется и значение этого интеграла. Несмотря на то, что заштрихованная площадь стала больше, само значение интеграла стало меньше, чем в предыдущем примере.

Может получиться и так, что значение определённого интеграла будет нулевым. Такое обычно происходит, когда функция периодическая и пределы интегрирования для неё заданы симметрично.

 

 

Пример интегрирования тригонометрической функции.

 

Заключение

 

В данной курсовой работе я разобрал возможности системы Mathcad для вычисления неопределенных, определенных и несобственных интегралов.

Мною была поставлена цель показать, как при помощи системы Mathcad могут быть решены относительно сложные задачи по вычислению интегралов и какие сложности могут встречаться при их вычислении.

Были даны основные определения интегралов, а также разобраны примеры о том, как работает с интегралами система Mathcad.

 

Список источников

 

1. Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по курсу Математика. I курс. - М.: МИЭЭ, 2009, 132 с.

2. Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс (+CD). - СПб.: Питер, 2009 - 384 с.: ил.

.   Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 656 с.: ил.

.   Сеидова С-Ф.Г. Решение задач высшей математики при помощи системы Mathcad. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

.   Мажухин В.И., Королева О.Н. Математическое моделирование в экономике.

.   Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на баз Mathcad. - СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 465.: ил.

.   Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.

.   Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

Введение

 

В процессе выполнения домашних заданий по математике большая часть времени у студента уходит на выполнение элементарных действий над числами - сложение, вычитание, извлечение корней, возведение в степень и пр. Эти действия он обычно выполняет на калькуляторе. Однако калькулятор имеет ограниченные возможности вычислений в математике, и не позволяет выполнить задачу полностью, без дополнительных действий в тетради. Решить эту задачу, с необходимыми промежуточными вычислениями и действиями в самой программе, призвана система математических вычислений - Mathcad. Эта система была создана разработчиками как инструмент работы инженеров-расчётчиков, проектировщиков, исследователей. Mathcad создавался как мощный калькулятор, позволяющий решать рутинные задачи инженерной практики, ежедневно встречающиеся в работе. Главными преимуществами Mathcad перед другими расчётными средами являются наглядность и легкость программирования задачи, отображение сложных математических выражений в том виде, в каком они обычно оформляются на листе бумаги. Именно поэтому при подготовке высококвалифицированных специалистов в МордГПИ им. М.Е. Евсевьева по специальности «математика с доп. спец. информатика» введено преподавание системы Mathcad, наравне с другими общетехническими дисциплинами.

 

.  
Первообразная и неопределённый интеграл

 

1.1 Основные понятия и определения раздела

 

Прежде чем перейти к вычислению неопределённых интегралов в системе Mathcad, необходимо вспомнить основные понятия и определения, касающиеся данного раздела курса математики.

Функция  называется первообразной для функции  на интервале  (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала  является производной для , т.е.

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования. Необходимо по заданной функции  найти функцию , производная которой равна .

Первообразная определена неоднозначно: например для функции  первообразными будут и функция , и функция .

Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. В методических указаниях по работе в системе Mathcad для первого курса было показано, каким образом можно осуществить операцию дифференцирования. Необходимо напомнить, что наравне с операцией символьного дифференцирования, когда результатом вычисления производной была функция от одной или нескольких переменных, существует также операция численного дифференцирования, т.е. вычисление производной какой-то функции в точке. В определённых задачах такой способ бывает предпочтительней - так как нет необходимости знать скорость изменения какой-то функции в зависимости от времени. Достаточно знать скорость изменения этой функции в определённый момент времени.

Хочется также напомнить, что при выполнении каких-либо действий с исследованием функций, вычисления производных и прочее, рекомендуется всегда строить её график. Это во многом способствует лучшему пониманию материала, а главное - смысла исследования функции.

 

Описание вычисления неопределенного интеграла в системе Mathcad

 

Для вычисления неопределённого интеграла на панели Матанализ используется оператор Неопределённый интеграл, значоккоторого полностью соответствует применяемому значку интеграла в математике. При нажатии на этот значок на рабочем столесистемы Mathcad появится шаблон, который необходимо будетзаполнить для вычисления неопределённого интеграла функции.

При нажатии на значок на рабочем столе системы Mathcad появится шаблон, который необходимо будет заполнить для вычисления неопределённого интеграла функции. В чёрный квадратик, который располагается между знаком интеграла и символом «d» необходимо вписать имя функции вместе с переменной, от которой эта функция зависит. На это место можно вписывать либо непосредственно имя функции или саму функцию. Во второй черный квадратик необходимо вписать переменную, по которой будет происходить интегрирование заданной функции. Для получения результата необходимо воспользоваться командой Символьный знак равенства, который располагается на панели Вычисления.