Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы A. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица A содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы A – это определитель матрицы A, т.е. ΔA. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

ΔA=∣∣∣∣−3−1492−2−7−419∣∣∣∣=−21.

Итак, есть минор третьего порядка матрицы A, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице A всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы A, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, rangA=3.

Нам требуется найти также и rangA˜. Давайте посмотрим на структуру матрицы A˜. До черты в матрице A˜находятся элементы матрицы A, причём мы выяснили, что ΔA≠0. Следовательно, у матрицы A˜ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы A˜ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: rangA˜=3.

Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. ΔA) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы Aявляется прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если ΔA=0, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если ΔA=0, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы A˜. Почему именно матрицы A˜, а не A? Дело в том, что матрица A является частью матрицы A˜, поэтому вычисляя ранг матрицы A˜ мы одновременно найдем и ранг матрицы A.

A˜=⎛⎝⎜⎜−3−1492−2−7−419179−42⎞⎠⎟⎟→|меняем местами первую и вторую строки|→→⎛⎝⎜⎜−1−3429−2−4−719917−42⎞⎠⎟⎟r2−3r1r3+4r1→⎛⎝⎜⎜−100236−4539−10−6⎞⎠⎟⎟r3−2r2→→⎛⎝⎜⎜−100230−45−79−1014⎞⎠⎟⎟

Мы привели матрицу A˜ к ступенчатому виду. Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы A˜ равен 3, т.е. rangA˜=3. Делая преобразования с элементами матрицы A˜ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы A, расположенные до черты. Матрица A также приведена к ступенчатому виду: ⎛⎝⎜−100230−45−7⎞⎠⎟. Вывод: ранг матрицы A также равен 3, т.е. rangA=3.

Так как rangA=rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x1, x2 и x3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA˜=n, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1−x2+2x3=−1;−x1+2x2−3x3=3;2x1−x2+3x3=2;3x1−2x2+5x3=1;2x1−3x2+5x3=−4. на совместность.

Решение

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−1−2−32−3355−1321−4⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−3−2−12−3553−13−412⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r2+r1r3−2r1r4−3r1r5−2r1→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−11−1112−11−1−1−12−244⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r3−r2r4−r2r5+r2→

→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−110002−1000−12220⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r4−r3→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−110002−1000−12200⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому rangA˜=3. Матрица A (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, rangA=2.

Так как rangA≠rangA˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ: система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1+7x3−5x4+11x5=42;x1−2x2+3x3+2x5=17;−3x1+9x2−11x3−7x5=−64;−5x1+17x2−16x3−5x4−4x5=−90;7x1−17x2+23x3+15x5=132. на совместность.

Решение

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜21−3−570−2917−1773−11−1623−500−50112−7−4154217−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→r1↔r3

→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜12−3−57−20917−1737−11−16230−50−50211−7−4151742−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r2−2r1r3+3r1r4+5r1r5−7r1→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2437−331−2−120−50−5027−161178−13−513⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟4r3+3r24r4−7r24r5+3r2→

→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2400031−11−11110−51515−1527−25−2525178−76−7676⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟r4−r3r5+r2→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000−2400031−11000−5150027−2500178−7600⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит n=5 неизвестных, т.е. rangA˜=rangA<n, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Билет 14

Пустьдана система n линейных уравнений с n неизвестными.

или в матричной форме А*Х=В.Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A^-1, получим

A^-1*A*X=A^-1*B Поскольку. A^-1*A=E и Е*Х=Х, то

X=A^-1*B (4.1)

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

то есть

Отсюда следует, что

 

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель D получается из определителяD путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак, Аналогично: , где D₂получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов: ,...,

Формулы называются формулами Крамера.

Итак,невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом, либо по формулам Крамера

 

Правило Крамера. Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д.

Поэтому

,

откуда и следует утверждение теоремы.

 

Билет 15