Сравнение стандартизованных коэффициентов регрессии

 

Поскольку все коэффициенты регрессии b₁,..., b_к могут быть выражены в разных единицах измерения, непосредственное их сравнение весьма затруднительно: небольшой коэффициент может на самом деле оказаться более важным, чем большой. Короче говоря, здесь мы имеем дело с классической проблемой “попытки сравнения яблок и апельсинов”. Стандартизованные коэффициенты регрессии позволяют решить эту проблему за счет представления коэффициентов регрессии в терминах единого множества имеющих статистический смысл единиц измерения, что позволяет, по крайней мере, попытаться проводить сравнение.

Коэффициент регрессии b₁ указывает влияние изменения Х₁ на переменную Y, когда все другие Х-переменные остаются неизменными. Коэффициент регрессии b_i, измеряется в единицах измерения Y на одну единицу измерения Х_i. Если, например, Y представляет собой объем продаж в долларовом выражении, а X₁ — количество торгового персонала, то b₁ выражается в количестве долларов (объем продаж) на одного человека. Допустим, что следующий коэффициент регрессии, b₂, выражается в количестве долларов (объем продаж) на суммарный километраж рабочих поездок торговых представителей компании. Непосредственное сравнение b₁ и b ₂ не позволит нам ответить на вопрос, какой из этих двух факторов (количество торгового персонала или командировочные расходы компании) оказывает большее влияние на объем продаж, потому что разные единицы измерения (доллары на человека и доллары на километр) непосредственно сравнивать нельзя.

Стандартизованный коэффициент регрессии, который вычисляется путем умножения коэффициента регрессии b_i на S_xi. и деления полученного произведения на S_Y, представляет собой ожидаемое изменение Y (в стандартизованных единицах S_Y), вызванное увеличением Х_i на одну соответствующую стандартизованную единицу (т.е. S_xi), когда все другие Х-переменные остаются неизменными. Абсолютные значения стандартизованных коэффициентов регрессии можно сравнивать, получая при этом некоторое представление об относительной важности соответствующих переменных. Каждый стандартизованный коэффициент регрессии измеряется в единицах стандартных отклонений Y на одно стандартное отклонение X_i. Это обычные выборочные стандартные отклонения для каждой переменной, о которых мы уже говорили в главе 5. Использование таких единиц вполне естественно, поскольку они создают шкалу измерений, соответствующую фактической вариации каждой переменной в вашей совокупности данных.

Стандартизованный коэффициент регрессии имеет вид:

b_i * S_xi / S_Y.

Каждый, коэффициент регрессии корректируется с помощью отношения обычных выборочных стандартных отклонений. Абсолютные значения позволяют получить приблизительное представление об относительной важности Х-переменных.

Чтобы стандартизировать коэффициенты регрессии в примере о рекламных объявлениях в журналах, нужно сначала вычислить стандартные отклонения для каждой из переменных, как показано ниже.

 

 

Стандартные отклонения
Стоимость страницы	Читательская аудитория	Процент читателей- мужчин	Средний доход
SY=45446	Sx1 =11212	Sx2 =25,883	Sx3 =10225

Вам также требуются коэффициенты регрессии, приведенные ниже.

Коэффициенты регрессии
Читательская аудитория	Процент читателей-мужчин	Средний доход
b1 = 3,7880	b2 = -123,6	b3 = 0,9026

Наконец, можно вычислить стандартизованные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии
Читательская аудитория	Процент читателей-мужчин	Средний доход
b1 Sx1/ SY = 3,7880*11212/ 45446=0,935	b2 Sx2/ SY = -123,6*25,883/ 45446= -0,070	b3 Sx3 / SY = 0,9026*10225/ 45446= 0,203

 

Приведем непосредственную интерпретацию одного из этих стандартизованных коэффициентов. Значение 0,935, относящееся к читательской аудитории, свидетельствует о том, что увеличение аудитории на одно ее стандартное отклонение (11 212) приведет к ожидаемому увеличению тарифа на размещение рекламы в журналах на 0,935 его (тарифа) стандартных отклонений (45 446). Иными словами, увеличение аудитории на 11 212 (одно стандартное отклонение) приведет к ожидаемому увеличению тарифа на размещение рекламы в журналах на 0,935 * 45 446 = $42 492 (несколько меньше, 0,935, чем одно стандартное отклонение тарифа на размещение рекламы).

Гораздо важнее, однако, то обстоятельство, что эти стандартизованные коэф­фициенты регрессии теперь можно сравнивать между собой. Наибольшим по аб­солютному значению является коэффициент 0,935 для читательской аудитории; это свидетельствует о том, что данная переменная является самой важной из трех Х-переменных. Далее следует средний доход, для которого коэффициент равен 0,203. Наименьшее абсолютное значение коэффициента (-0,070) = 0,070 соответствует проценту читателей-мужчин.

Было бы неправильным сравнивать коэффициенты регрессии непосредственно, не стандартизовав их предварительно. Обратите внимание, что проценту читателей-мужчин соответствует наибольший (по абсолютному значению) коэффициент регрессии, (-123,6). Однако поскольку он выражается в единицах измерения, отличных от единиц измерения других коэффициентов регрессии, непосредственное сравнение лишено смысла.

Абсолютные значения стандартизованных коэффициентов регрессии можно сравнивать друг с другом, что позволяет получить грубое представление о важности соответствующих переменных. Еще раз следует подчеркнуть, что эти результаты не являются идеальными, поскольку взаимосвязи между Х-переменными могут сделать принципиально невозможным выяснение того, какая из X - переменных в действительности “отвечает” за поведение переменной Y.