Алгоритм построения линейной адаптивной модели брауна

1. По первым 5-10 точкам временного ряда методом наименьших квадратов оценивают начальные значения параметров и линейной модели.

2. На основе и вычисляют начальные значения экспоненциальных средних, которые соответствуют моменту времени t =0:

,

.

3. С учетом выбранного значения параметра сглаживания α или коэффициента дисконтирования данных () вычисляют значения экспоненциальных средних в последующий момент времени:

,

.

4. Корректируют параметры линейной модели и по формулам:

,

.

5. По модели со скорректированными параметрами и находят прогноз на следующий момент времени:

.

6. Возврат к пункту 3, если. Если t = T, то модель с параметрами и принимают за основу для прогнозирования на шагов вперёд.

7. Расчет показателей точности модели: средней квадратичной ошибки аппроксимации – остатки; средней относительной ошибки аппроксимации:.

8. Точечный и интервальный прогноз.

Алгоритм расчета параметров квадратичного прогнозирующего полинома

Адаптивная полиномиальная модель второго порядка имеет вид:

.

1. По первым 5-10 точкам исходных данных находят оценки,, коэффициентов квадратичной модели по методу наименьших квадратов. Таким образом, получают начальные значения параметров квадратичной модели, которые соответствуют моменту времени t =0.

2. Вычисляют начальные значения экспоненциальных средних (с учетом выбранного значения параметра сглаживания α или коэффициента β:

;

;

.

3. Рассчитывают значения экспоненциальных средних в последующий момент времени t:

;;.

4. Корректируют параметры квадратичной модели по формулам:

;

;

.

Отметим, что в формулах участвует коэффициент β дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия более поздним наблюдениям.

5. По модели Брауна со скорректированными коэффициентами находят прогноз на следующий момент времени:.

6. Переход к пункту 3, если. Если, то построенную модель принимают за основу прогнозирования будущих значений ряда.

7. Расчет показателей точности модели: вычисление среднего квадратичного отклонения и средней относительной ошибки аппроксимации.

8. Точечный и интервальный прогноз.

Здесь так же, как и в случае линейной модели, оптимальное значение параметра сглаживания находят многократным построением модели при разных значениях и выбором наилучшего значения в целях повышения точности аппроксимации исходного ряда и снижения ошибки прогнозирования. В данной работе за наилучшую модель принимается модель с наименьшей средней относительной ошибкой аппроксимации.

Пример расчета линейной адаптивной модели прогнозирования процентной ставки кредитных организаций

Ниже рассматривается динамический ряд значений средних процентных ставок кредитных организаций России по краткосрочным кредитам в долларах США (% годовых). Данные показатели играют важную роль в финансовой сфере деятельности предприятий, а так же реальных физических лиц. С точки зрения экономистов увеличение процентной ставки на кредиты может привести к росту инфляции, ибо при этом деньги становятся дешевле (обесцениваются). Так что научно-обоснованный прогноз таких процентных ставок имеет важное значение в управлении экономикой.

Таблица 8

Ставки по краткосрочным кредитам нефинансовым организациям

 

Год	Квартал	Условное обозначение времени – t	Процентная ставка нефинансовым организациям –
2000	I	1	12,2
	II	2	12,133
	III	3	11,666
	IV	4	11,766
2001	I	5	13,133
	II	6	11
	III	7	11,333
	IV	8	10,766
2002	I	9	10,666
	II	10	10,366
	III	11	10,566
	IV	12	10,266
2003	I	13	11,366
	II	14	9
	III	15	8,8
	IV	16	8,666
2004	I	17	8,8
	II	18	7,666
	III	19	8,166
	IV	20	8,4
2005	I	21	7,866
	II	22	8,6
	III	23	9,033
	IV	24	8,833
2006	I	25	8,633
	II	26	8,366
	III	27	8,566
	IV	28	8,5
2007	I	29	8,733
	II	30	8,866
	III	31	8,4

Источник: Официальный сайт Центрального Банка РФ: http://www.cbr.ru.

 

На первом этапе работы по первым 10 точкам находятся начальные коэффициенты для линейной модели согласно методу наименьших квадратов. Таким образом, строится модель линейной регрессии со следующими статистическими характеристиками: коэффициентом парной корреляции; стандартной ошибкой регрессии; критерием. Согласно таблице определяем значение, где и – количество степеней свободы; – уровень значимости. В данном случае – количество факторов, включенных в модель,,,. Так как, на этом основании при заданном уровне значимости построенная линейная модель является адекватной экспериментальным данным, т. е. признается статистически значимой. Коэффициент линейной корреляции указывает на значимую обратную связь, т. е. с течением времени процентная ставка снижается. Вычисленные коэффициенты линейной модели выбираются в качестве начальных оценок при построении адаптивной модели и корректируются в ходе реализации алгоритма, изложенного выше. При этом используются программные средства Microsoft Excel. Ниже приводится таблица 9, иллюстрирующая алгоритм расчета с параметром сглаживания, соответствующим наименьшей средней относительной ошибке аппроксимации исходного ряда.

Таблица 9

Расчет параметров линейной адаптивной модели

t	y t
0		12,660	-0,210	13,151	13,642	-	-
1	12,200	12,322	-0,233	12,866	13,409	12,450	-0,317
2	12,133	12,112	-0,229	12,646	13,180	12,090	-0,424
3	11,666	11,772	-0,248	12,352	12,931	11,883	-0,117
4	11,766	11,647	-0,227	12,176	12,705	11,524	1,609
5	13,133	12,294	-0,073	12,463	12,632	11,421	-0,421
6	11,000	11,599	-0,182	12,024	12,450	12,221	-0,888
7	11,333	11,374	-0,190	11,817	12,260	11,416	-0,650
8	10,766	10,971	-0,228	11,502	12,032	11,184	-0,518
9	10,666	10,704	-0,234	11,251	11,798	10,743	-0,377
10	10,366	10,417	-0,244	10,985	11,554	10,469	0,097
11	10,566	10,373	-0,208	10,860	11,346	10,173	0,093
12	10,266	10,216	-0,199	10,682	11,147	10,165	1,201
13	11,366	10,705	-0,078	10,887	11,069	10,017	-1,017
14	9,000	9,797	-0,224	10,321	10,844	10,627	-1,827
15	8,800	9,179	-0,294	9,865	10,550	9,573	-0,907
16	8,666	8,773	-0,314	9,505	10,237	8,885	-0,085
17	8,800	8,633	-0,283	9,293	9,954	8,460	-0,794
18	7,666	8,001	-0,345	8,805	9,609	8,350	-0,184
19	8,166	7,916	-0,299	8,613	9,310	7,657	0,743
20	8,400	8,017	-0,228	8,549	9,082	7,618	0,248
21	7,866	7,828	-0,221	8,344	8,861	7,788	0,812
22	8,600	8,113	-0,132	8,421	8,729	7,607	1,426
23	9,033	8,518	-0,037	8,605	8,692	7,981	0,852
24	8,833	8,660	-0,006	8,673	8,686	8,480	0,153
25	8,633	8,644	-0,007	8,661	8,679	8,655	-0,289
26	8,366	8,498	-0,032	8,573	8,647	8,636	-0,070
27	8,566	8,517	-0,023	8,571	8,624	8,467	0,033
28	8,500	8,497	-0,022	8,549	8,602	8,494	0,239
29	8,733	8,607	0,001	8,604	8,602	8,475	0,391
30	8,866	8,739	0,024	8,683	8,627	8,607	-0,207
31	8,400	8,578	-0,009	8,598	8,618	8,763	0,751

 

Здесь t – условное обозначение времени; – фактическое значение процентной ставки; – коэффициенты модели; – экспоненциальные средние; – расчетное значение по модели; – отклонение от фактического значения.

Таким образом, получены следующие значения параметров линейной адаптивной модели: = 8,578; =-0,009. Здесь среднеквадратическая ошибка аппроксимации; средняя относительная ошибка аппроксимации, что составляет 9,9%. Так построена линейная адаптивная модель: (с параметром сглаживания).

Для выбора лучшей модели была вычислена средняя относительная ошибка аппроксимации для различных параметров сглаживания, результаты расчета приведены в таблице 10.

Таблица 10

Значения (,) для линейной модели

0,1	13,3
0,2	10,7
0,3	9,95
0,4	10,0
0,5	10,9
0,6	11,7
0,7	12,9
0,8	14,2
0,9	15,7

 

В ряде случаев экономико-математические модели прогнозирования могут быть полезным инструментом исследования. При этом, конечно, для увеличения точности прогнозов экономического развития в изменяющихся условиях, в условиях неопределенности или неполной информации необходима работа по совершенствованию моделей. Важную роль в этом должны сыграть адаптивные методы прогнозирования. Отличие адаптивных моделей от других прогностических моделей состоит в том, что они отражают текущие свойства ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов.

 

Литература

 

1. Гришин А.Ф., Кочерова Е.В. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб. пособ. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416 с.

2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. – М.: Дело, 2003. – 520 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 368 с.

4. Тьюки Дж. У. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 695 с.

5. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 612 с.

6. Швырков В.В. Тайна традиционной статистики Запада. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 144 с.

7. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 480 с.

8. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. – М.: Высш. школа, 1991. – 399 с.

9. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA. – М.: Информатика и компьютеры, 1999. – 341 с.

10. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография. – Киев: Санспарель, 2005. – 504 с.

11. Математический энциклопедический словарь/под ред. Ю.В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 845 с.

12. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособ. – М.: «Дашков и К°», 2005. – 400 с.

13. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособ. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.

14. Домбровский В.В. Эконометрика: Учебник. – М.: Новый учебник, 2004. – 342 с.

15. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособ. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.