Тема 6. Изучение динамики экономических процессов

 

Научная методология исследования экономических процессов базируется на анализе экономики в ее историческом развитии. В прикладной математической статистике разработаны специальные методы, предназначенные для изучения развития и изменения явлений во времени, т.е. в динамике. В этой связи в статистике вводится понятие динамического ряда, который представляет собой ряд последовательных значений некоторого статистического показателя Y, расположенных в хронологическом порядке и характеризующих развитие явления в равноотстоящих точках времени t: { y_t, t є T }. Значение y_t называют уровнем динамического ряда Y. Если уровни ряда даны по состоянию на определенную дату, такой ряд называют моментным рядом динамики. Если уровни ряда обозначают значение показателя за определенный временной промежуток (месяц, квартал, год и т.д.), такой ряд называют интервальным рядом динамики. В зависимости от вида статистического показателя ряды динамики подразделяют на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При построении динамического ряда следует иметь ввиду, что его уровни должны подчиняться требованиям сопоставимости, т.е. должны быть рассчитаны по единой методологии с одинаковыми единицами измерения по всем объектам и должны характеризовать явление, относящееся к одной и той же территории, к сопоставимому периоду времени. Динамический ряд имеет следующие числовые характеристики [7, с. 331-344]:

- средний уровень динамического ряда;

- абсолютные приросты: цепные и базисные, средний абсолютный прирост;

- темпы роста: цепные и базисные, средний темп роста;

- темпы прироста: цепные и базисные, средний темп прироста;

- абсолютное значение 1% прироста.

При анализе динамических рядов решают следующие задачи:

- преобразование динамического ряда средствами сглаживания или фильтрации с целью удаления колебаний, имеющих случайный характер;

- исследование структуры динамического ряда с целью выявления тенденции развития явления в форме «чистого» тренда при отсутствии колебаний;

- построение математической модели процесса, представленного динамическим рядом;

- определение регулярных колебаний относительно тренда, возможно имеющих некоторую периодичность;

- прогнозирование будущего развития процесса;

- сопоставление нескольких рядов динамики, исследование причинно-следственных взаимосвязей между процессами, представленными этими рядами;

- изучение интенсивности развития явления во времени одновременно по нескольким показателям или по отношению к разным объектам.

Во всем многообразии приведенных выше задач в качестве основных выступают: определение тенденции развития, построение математической модели изучаемого экономического явления и прогнозирование его в будущем. Факторы, влияющие на формирование значений показателя развития экономического явления, можно подразделить на следующие типы:

- факторы, действующие постоянно и формирующие основную тенденцию развития явления;

- факторы, действующие периодически, вызывающие сезонные и циклические колебания;

- факторы, способствующие случайным колебаниям уровней динамического ряда.

При этом под тенденцией развития мы понимаем сформировавшееся определенное направление развития экономического процесса, проявляющееся в том, что фактические значения динамического ряда группируются вокруг некоего тренда – функции времени, описывающей характер соответствующего статистического показателя.

В отдельных случаях визуальный анализ графика расположения уровней динамического ряда позволяет определенно сказать о тенденции возрастания или убывания в ряду значений, либо о колеблемости точек вокруг некоторой гладкой кривой. Однако не всегда по графику можно проследить определенную тенденцию в ряду, в особенности, если уровни ряда хаотично возрастают или убывают на большом временном отрезке. К методам определения основной тенденции развития динамического ряда относятся следующие:

- метод укрупнения интервалов;

- метод скользящей средней;

- аналитическое выравнивание динамического ряда.

Метод укрупнения интервалов заключается в построении динамического ряда с более крупными временными промежутками, где обнаруживается тенденция к возрастанию (или убыванию) уровней ряда. Однако применение этого метода неэффективно, если уровни исходного временного ряда представлены через длительные интервалы времени, например, по годам. Тенденцию роста или убывания в динамическом ряду можно выявить по характеру изменения скользящих средних, т.е. средних арифметических значений новых m -членных укрупненных интервалов. Первый из них включает первые m значений ряда, второй содержит также m уровней, куда входят (m – 1) значений первого интервала, начиная со второго его элемента, и (m +1) значение ряда и т.д., вплоть до включения последнего уровня ряда. По подвижным скользящим средним делают вывод о наличии тенденций в ряду.

Используя метод скользящих средних, выявим тенденцию в следующем динамическом ряду:

Таблица 4

Пример сглаживания временного ряда методом скользящей средней

 

Год\Квартал	Экспорт товаров из РФ, млн. долл.	Расчёт скользящей средней из трёх уровней
		Скользящая сумма	Скользящая средняя
I квартал 1994 г. II квартал 1994 г. III квартал 1994 г. IV квартал 1994 г. I квартал 1995 г. II квартал 1995 г. III квартал 1995 г. IV квартал 1995 г. I квартал 1996 г. II квартал 1996 г. III квартал 1996 г. IV квартал 1996 г. I квартал 1997 г. II квартал 1997 г. III квартал 1997 г. IV квартал 1997 г. I квартал 1998 г. II квартал 1998 г. III квартал 1998 г. IV квартал 1998 г. I квартал 1999 г. II квартал 1999 г. III квартал 1999 г. IV квартал 1999 г. I квартал 2000 г. II квартал 2000 г. III квартал 2000 г. IV квартал 2000 г. I квартал 2001 г. II квартал 2001 г. III квартал 2001 г. IV квартал 2001 г. I квартал 2002 г. II квартал 2002 г. III квартал 2002 г. IV квартал 2002 г. I квартал 2003 г. II квартал 2003 г. III квартал 2003 г. IV квартал 2003 г. I квартал 2004 г. II квартал 2004 г. III квартал 2004 г. IV квартал 2004 г. I квартал 2005 г. II квартал 2005 г. III квартал 2005 г. IV квартал 2005 г. I квартал 2006 г. II квартал 2006 г. III квартал 2006 г. IV квартал 2006 г. I квартал 2007 г. II квартал 2007 г. III квартал 2007 г. IV квартал 2007 г.	13171 17339 18624 18244 18943 20612 20411 22453 20433 21826 21794 25632 20290 20272 21527 24806 17943 18644 19167 18689 15273 17085 18881 24312 23892 25457 26635 29050 25560 26153 25594 24578 21886 26292 28929 30195 31080 31749 34945 38156 37289 43188 48469 54261 50205 59559 64887 69148 67355 76546 79894 80131 72099 84250 89590 109525	- 49134 54207 55811 57799 59966 63476 63297 64712 64053 69252 67716 66194 62089 66605 64276 61393 55754 56500 53129 51047 51239 60278 67085 73661 75984 81142 81245 80763 77307 76325 72058 72756 77107 85416 90204 93024 97774 104850 110390 118633 128946 145918 152935 164025 174651 193594 201390 213049 223795 236571 232124 236480 245939 283365 -	- 16378 18069 18603,6 19266,3 19988,6 21158,6 21099 21570,6 21351 23084 22572 22064,6 20696,3 22201,6 21425,3 20464,3 18584,6 18833,3 17709 17015,6 17079,6 20092,6 22361,6 24553,6 25328 27047,3 27081,6 26921 25769 25441,6 24019,3 24252 25702,3 28472 30068 31008 32591,3 34950 36796,6 39544,3 42982 48639,3 50978,3 54675 58217 64531,3 67130 71016,3 74598,3 78857 77374,6 78826,6 81979,6 94455 -

Источник: Официальный сайт Центрального Банка РФ: http://www.cbr.ru.

 

По характеру изменения скользящих средних из трёх уровней мы можем сделать вывод о том, что объём экспортируемых товаров за тринадцать лет примерно увеличился в 5,8 раз, т.е. на протяжении всего исследуемого периода наблюдается тенденция роста, за исключением небольшого спада в период III квартал 2001 г. – II квартал 2002 г, а также более выраженного снижения данного показателя за период IV квартал 1997 г.– II квартал 1999 г., что наглядно видно по значениям скользящих средних. Этот факт, пожалуй, является следствием нестабильности экономической ситуации в стране.

Более глубокий анализ динамического ряда с целью дальнейшего прогнозирования его значений заключается в построении математической модели – уравнения тренда, описывающего характер развития изучаемого явления во времени, позволяющего уловить основные нюансы и направления его изменения в будущем. Представление динамического ряда с помощью уравнения тренда называют аналитическим выравниванием исходного ряда. Современные пакеты прикладных программ по статистике процедурой простой регрессии позволяют подбирать в качестве модели тренда аналитическое выражение произвольного вида, задаваемого самим пользователем. Наиболее употребительны следующие регрессионные модели:

- линейная:;

- параболическая:;

- показательная:;

- логарифмическая:;

- степенная:;

- гиперболическая:.

Линейный тренд используется, если уровни ряда меняются в арифметической прогрессии, в этом случае цепные абсолютные приросты уровней приблизительно одинаковы. Линейная функция хорошо отражает тенденцию изменений экономического явления под воздействием совокупности разнообразных факторов, равнодействующая которых зачастую выражается в примерно постоянной скорости изменения, равной параметру a ₁ линейного тренда.

Рассмотрим пример построения линейного тренда на основе динамического ряда, представляющего обменный курс доллара США по отношению к рублю.

Таблица 5

Курс доллара за период с I квартала 2003 г. по I квартал 2008 г.

Год/Квартал	Значения курса доллара в рублях на конец квартала	Условный показатель времени t
I квартал 2003 г.	31,38	1
II квартал 2003 г.	30,35	2
III квартал 2003 г.	30,61	3
IV квартал 2003 г.	29,45	4
I квартал 2004 г.	28,49	5
II квартал 2004 г.	29,03	6
III квартал 2004 г.	29,22	7
IV квартал 2004 г.	27,75	8
I квартал 2005 г.	27,83	9
II квартал 2005 г.	28,67	10
III квартал 2005 г.	28,5	11
IV квартал 2005 г.	28,78	12
I квартал 2006 г.	27,76	13
II квартал 2006 г.	27,08	14
III квартал 2006 г.	26,78	15
IV квартал 2006 г.	26,33	16
I квартал 2007 г.	26,01	17
II квартал 2007 г.	25,82	18
III квартал 2007 г.	24,95	19
IV квартал 2007 г.	24,55	20
I квартал 2008 г.	24,48	21

Источник: Официальный сайт Центрального Банка РФ: http://www.cbr.ru.

 

Эмпирические данные представим на рисунке 1.

 

Рис.1. Динамика обменного курса доллара США

По результатам графического анализа эмпирических данных делаем выбор в пользу выравнивания по линейной функции:, где t – условный показатель времени. Согласно методу наименьших квадратов (МНК) коэффициенты линейной модели регрессии находим из системы нормальных уравнений:

 

Решение данной системы представим в виде:

 

где и - среднее значения моментов наблюдения и уровней ряда соответственно. Таким образом, получим,.

Искомое уравнение линейной модели примет вид:, данная модель адекватна экспериментальным данным по F-критерию. На рисунке 2 представлена прямая линия регрессии в зоне доверительного интервала.

 

Y

t

Рис. 2. Модель линейной регрессии

 

На основе полученного уравнения тренда построим точечный прогноз на несколько кварталов вперёд, сопровождая прогнозные значения соответствующим размахом доверительного интервала. Границы доверительного интервала для линейной модели рассчитываются по формуле [15, с. 202]:

 

Здесь – точечный прогноз, рассчитанный по модели при t = t _прогн; n – количество наблюдений; – значение t -критерия Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы ν=n-2;. Число называют стандартной ошибкой, или среднеквадратическим отклонением от линии тренда. В рассматриваемом примере =0,59. Из формулы следует, что размах доверительного интервала зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности, степени углубления в будущее на k шагов вперёд, то есть на момент, и обратно пропорционален объёму наблюдений.

В данном примере получены следующие прогнозные значения курса доллара и соответствующие доверительные интервалы этих прогнозных значений (при уровне значимости α=0,05):

Таблица 6

Результаты расчета прогноза

	Время		Доверительный интервал
23	II квартал 2008 г	24,18	(22,809;25,551)
24	III квартал 2008 г	23,88	(22,491;25,269)

 

Реальные значения курса доллара на конец II и III кварталов составили: 23,46 руб. и 25,25 руб. соответственно.

Параболическая формула тренда используется при ускоренном или замедленном изменении уровней ряда, т.е., когда постоянны цепные абсолютные приросты цепных приростов – вторые разности уровней. Величина 2 a ₂ дает значение постоянного ускорения, координаты вершины параболы указывают на экстремальные точки в развитии процесса.

Приведем пример построения тренда в форме параболы, описывающей динамику изменения индекса РТС с июня 2008 года по июнь 2009 года.

Таблица 7

Значения индекса РТС

Год	месяц	t	Y – индекс РТС
2008	июнь	1	2360,31
	июль	2	2123,88
	август	3	1745,25
	сентябрь	4	1340,55
	октябрь	5	782,18
	ноябрь	6	683,64
	декабрь	7	647,09
2009	январь	8	576,56
	февраль	9	551,15
	март	10	649,56
	апрель	11	789,69
	май	12	961,75
	июнь	13	1055,17

Источник: Официальный Холдинга «Финам»: http://www.finam.ru.

 

 

Рис. 3. Динамика индекса РТС

Статистические характеристики полиномиальной модели следующие: R ² =0,97; F _набл. =172,23; =112,50.

В случае показательной формы тренда параметр a ₁ показывает темп изменения в рядах. Если a ₁ >1, показательная функция выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При a ₁ >1 тренд означает тенденцию постоянно замедляющегося снижения уровней временного ряда. Выравнивание по показательной функции следует использовать, если уровни ряда меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста относительно постоянны.

Логарифмическая модель пригодна для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая мало отличается от прямой линии.

Модель в виде степенной функции пригодна для выражения изменений во времени с разной мерой пропорциональности. Обязательным является условие прохождения кривой тренда через начало координат.

Выравнивание по гиперболе используют, если уровни динамического ряда снижаются, постепенно замедляя скорость, но никогда не смогут достичь нуля. При a ₁ >0 гиперболическая модель выражает тенденцию замедляющегося снижения значений ряда, стремящихся к пределу a ₀. При a ₁ <0 гипербола выражает тенденцию замедляющегося роста уровней, стремящихся в пределе к a ₀. Таким образом, выравнивание по гиперболе подходит для выражения тенденции экономических процессов, ограниченных некоторым предельным значением уровня.

Если в исследуемом динамическом ряду наблюдается периодическая колеблемость его уровней, например, по месяцам года (сезонные колебания) и днях недели (недельные колебания), циклические колебания (например, с циклом в 10 лет), проводить аналитическое выравнивание предпочтительнее с помощью ряда Фурье.В этом случае линия тренда будет описываться уравнением [7, с. 362-369]:

 

Чаще всего используются гармоники 1, 2, 3 и 4-го порядка. Так уравнение гармоники (k=1) имеет вид:

уравнение с двумя гармониками (k=2):

 

уравнение, содержащее три гармоники (k=3):

 

уравнение с четырьмя гармониками примет вид (k=4):

 

Как правило, при проведении выравнивания по ряду Фурье рассчитывают все четыре уравнения, то есть все четыре гармоники, а затем, сравнивая эмпирические данные с теоретическими, предсказанными по ряду Фурье, выбирают наилучшую модель, которая наиболее адекватно описывает исследуемые колебания и, соответственно, среди всех предлагаемых уравнений имеет наименьшую остаточную дисперсию. Очень редко, когда исследователя не устраивают результаты полученных четырех гармоник, дополнительно находят гармоники и более высоких порядков.

Параметры уравнений гармоник ряда Фурье определяют на основе метода наименьших квадратов по следующим формулам:

;

где t – условный показатель времени, изменяющийся по мере следования временных периодов от 0 с шагом; n – количество уровней динамического ряда.

Например, при наличии сезонной волны (колебаний показателя по месяцам года), когда количество уровней ряда равно числу месяцев в году (n=12), показатель t примет значения:

 

Построим уравнение тренда по данным о среднепроцентных ставках кредитных организаций России по краткосрочным кредитам в долларах США за 2009 год (данные Центробанка РФ):

 

 

Рис. 4. Динамика средних процентных ставок

Анализ графика (рис. 4) позволяет предположить наличие в динамике показателя сезонных волн, а, следовательно, мы можем сделать выбор в пользу выравнивания по ряду Фурье.

Рассчитаем параметры гармоник:

 

 

 

 

 

Уравнение гармоники первого порядка (при k=1) имеет вид:

 

Уравнение гармоники второго порядка (при k=2):

 

Уравнение гармоники третьего порядка (при k=3):

 

 

Уравнение гармоники четвертого порядка (k=4):

 

 

Выберем наилучшую модель. Для этого рассчитаем остаточную дисперсию:.

Тогда остаточная дисперсия для первой гармоники равна:;

для второй гармоники:;

для третей гармоники:;

для четвертой гармоники:.

Наилучшей моделью можно признать уравнение гармоники четвертого порядка, поскольку она имеет наименьшую величину остаточной дисперсии.

.

 

Рис. 5. Графическая иллюстрация моделирования по ряду Фурье

На рисунке 5 представлены исходные данные («Ряд 1»); модель гармоники первого порядка («y1»); модель с двумя гармониками («y2»); с тремя гармониками («y3»); с четырьмя гармониками («y4»), наилучшим образом аппроксимирующей динамику процентных ставок.

Хорошие результаты даёт применение моделей авторегрессии AR к процессам, в которых прослеживается наличие одной или нескольких доминирующих корреляций. В AR модели текущее значение динамического ряда y_t (t =1,…, n) с нулевым средним значением выражается как линейная комбинация значений y_{t - i} и белого шума W (t), содержащего информацию, приходящую из настоящего: W (t)= a ₀ y_t + a ₁ y_{t -1} +…+ a_py_{t - p} [9, с. 215]. Чем меньше дисперсия белого шума, тем меньше новой информации дает очередное наблюдение. В качестве дополнения к моделям авторегрессии и для детального описания шумовой составляющей используется модель скользящего среднего МА [9, с. 216]: y_t = W (t)+ b ₁ W (t -1)+…+ b_qW (t - q), где b ₁,…, b_k – неизвестные параметры. Для описания и прогнозирования нестационарных процессов, статистические свойства которых могут изменяться с течением времени, полезны модели ARIMA [9, с. 216-217]. Модели ARIMA сочетают в себе комбинацию моделей авторегрессии и скользящего среднего. Итерационный процесс построения параметров таких моделей основан на сложном алгоритме, по количеству процедур превосходящем аналитическое выравнивание средствами регрессионного анализа и также спектрального анализа при построении Фурье-моделей.

При аналитическом выравнивании динамических рядов, как правило, рассчитывают несколько математических моделей в виде уравнений тренда и в итоге отбирают модель с наименьшей стандартной ошибкой отклонений (остатков) фактических уровней ряда от выравненных значений по уравнению тренда. Качество модели можно оценить также, исследуя остатки на автокорреляцию с помощью метода Дарбина-Уотсона:, здесь – отклонение фактического уровня ряда от его выравненного значения. Расчетное значение d сравнивается с критическим значением (см. [7], с. 370), и на определенном уровне значимости принимается решение о наличии автокорреляции в ряду остатков. Если автокорреляция отсутствует, приходят к выводу: модель адекватно отражает тенденцию развития экономического явления. Наряду с исследованием автокорреляции остатков анализ динамических рядов предполагает изучение характера колеблемости ряда, то есть отклонений уровней ряда от выравненных значений. Типы колебаний довольно разнообразны, среди них выделяют колеблемость [3, с. 289]:

- пилообразную или маятниковую;

- циклическую долгопериодическую;

- случайно распределенную во времени.

С учетом степеней свободы основные абсолютные показатели колеблемости вычисляют по формулам:

– среднее линейное отклонение;

– среднее квадратическое отклонение,

где y_i – фактический уровень ряда; – выравненный уровень; n – число уровней в ряду; p – количество параметров тренда. Относительной мерой колеблемости является коэффициент колеблемости (аналог коэффициента вариации) – Чем меньше значение V_y (t) тем слабее колеблемость уровней ряда.

При исследовании экономических процессов нередко обнаруживается, что изменение во времени одного статистического показателя приводит к изменению другого показателя. В этом случае интерес представляет изучение взаимосвязи соответствующих динамических рядов. Для того чтобы точнее определить силу корреляционной связи, полезно предварительно проверить ряды на существование доминирующих корреляций и их лагов (временных задержек) внутри каждого ряда. С этой целью вычисляют значения автокорреляционной функции r_yy (j) для последовательных лагов j [9, с. 188]:; j =0, …,(n -8); – средний уровень исходного ряда;. Значения r_yy (j) называют также коэффициентами автокорреляции. Автокорреляционная функция показывает, в какой степени динамика изменения заданного фрагмента ряда воспроизводится в сдвинутых во времени его же отрезках. Таким образом, по величине значимых коэффициентов автокорреляции судят о зависимости уровней динамического ряда от их значений в предыдущее время. Если оба исследуемых динамических ряда содержат автокорреляцию, тогда ее исключают преобразованием исходных рядов и только затем рассчитывают коэффициент корреляции между остаточными величинами данных рядов. Преобразование рядов обычно осуществляют по формуле:. Высокое значение коэффициента корреляции между преобразованными рядами может служить индикатором причинно-следственных связей между этими рядами, и тогда становится актуальным построение корреляционно-регрессионных моделей где уровни одного из исходных динамических рядов выступают в качестве факторной переменной X; вторая факторная переменная – время t, позволяющая учесть в модели влияние автокорреляции. Для анализа взаимосвязанных динамических рядов полезно также вычислить кросскорреляционную функцию [9, с. 188]. Кросскорреляционная функция позволяет определить, в какой степени динамика изменения заданного участка одного динамического ряда воспроизводится в сдвинутых во времени участках второго ряда. Так получают картину, отражающую влияние одного экономического явления на другое, и определяют задержки (величину лага) в передаче взаимодействия, что имеет значение для выработки стратегии в практических действиях.

Для прогнозирования экономических процессов нередко используются методы графической численной экстраполяции, основанные на построении интерполяционных многочленов Лагранжа или Ньютона (в случае равноотстоящих узлов). Экстраполяцию определяют как «метод, при котором прогнозируемые показатели рассчитываются как продолжение динамического ряда на будущее по выявленной закономерности развития» [12, с. 43]. Однако экстраполяция далеко за крайний узел известных значений малонадежна, в особенности, если моделирующая функция быстро изменяется с ростом значений аргумента, и также нецелесообразна, если исходные данные получены со значительными погрешностями. В этой связи лучший результат дают статистические методы прогнозирования на основе корреляционно-регрессионных моделей, которые позволяют выделить детерминированную составляющую – тренд (регрессионную модель) экспериментальной зависимости, с помощью которого строится прогноз исследуемого экономического процесса с определенным доверительным интервалом. Для прогнозирования активно изменяющихся экономических явлений в настоящее время распространенными являются методы экстраполяции тенденций, использующие вероятностные подходы к изучению объектов прогнозирования. В основе такого подхода лежит предположение о том, что рассматриваемый процесс сочетает в себе две составляющие: детерминированную и случайную, Предполагается, что есть гладкая функция своих аргументов x (в большинстве случаев времени или факторной переменной) и вектора параметров, которые установлены и не изменяются на периоде упреждения прогноза. Детерминированная составляющая называется трендом и принимается за основу, или тенденцию, развития процесса в будущем. Считается также, что случайная составляющая имеет нулевое математическое ожидание и ее оценки, в частности, дисперсия, характеризуют точность прогнозных значений. Чтобы снизить влияние случайной составляющей выборочных значений, т.е. приблизить исходный числовой ряд к тренду, полезной оказывается предварительная обработка исходных данных, получившая название процедуры сглаживания статистического ряда. Таким образом, процедура сглаживания направлена на минимизацию случайных отклонений экспериментальных точек от предполагаемого тренда исследуемого экономического процесса. Методы сглаживания получили распространение при исследовании динамических рядов, где в качестве независимой переменной выступает время.

При изменении зависимости результативного признака Y от одной или нескольких факторных переменных X детерминированную составляющую получают на основе корреляционно-регрессионного анализа. При этом далеко не каждое уравнение регрессии можно принять за модель развития изучаемого экономического явления. Согласно [3, с. 245], «корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, и обладает высоким (не ниже 0,5) коэффициентом детерминации и коэффициентами регрессии, интерпретируемыми в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе». Таким образом, правильная интерпретация и применение в экономике моделей регрессии возможны лишь при понимании всех специфических черт исследуемого процесса.

Прогноз результативного признака Y на основе корреляционно-регрессионной модели осуществляется расчетом значений Y при подстановке в уравнение регрессии ожидаемых значений факторных переменных X. Использование регрессионной модели для прогнозирования, как правило, сопровождается построением доверительных интервалов прогностических значений результативного признака Y:. Здесь – среднеквадратичная ошибка положения линии регрессии при значении X = x [3, с. 214]; для линейной модели: t_p – значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости p. Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения вычисляется по формуле [3, с. 215]: где – оценка среднего квадратичного отклонения результативного признака Y от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации.

Отметим, что малый объем выборки может послужить причиной широкого доверительного интервала, что приводит к неопределенности прогноза по линии регрессии. Неопределенность прогноза по однофакторной модели также может быть обусловлена вариацией посторонних факторов. Следует учесть, что перенос закономерной связи Y = Y (X), выявленной в варьирующей совокупности исходного конечномерного вектора информации (x_i, y_i) (i =1,2,…, n), взятого в статике, на динамику требует достаточных знаний об объекте исследования и возможностях его развития в будущем.

Прогноз на основе аналитического выравнивания, конечно, не может дать точного совпадения прогнозных оценок с действительными результатами и носит вероятностный характер, как любое суждение о будущем. «Экстраполяция – не волшебное средство» [7, с. 399]. Различают перспективную экстраполяцию, дающую прогноз в будущее, и ретроспективную – прогноз в прошлое. Наряду с этим возможна интерполяция (расчет по уравнению тренда) неизвестных уровней внутри самого динамического ряда. Для прогнозных значений следует строить доверительный интервал. Точность и надежность прогнозов зависит от того, насколько инерционно изучаемое экономическое явление, насколько точно удалось выявить тенденцию его развития, что связано с качеством модели и устойчивостью ее параметров. Точность прогноза зависит также от периода экстраполяции, чем он уже, тем точнее прогноз. Прогноз по тренду основан на предположении, что его параметры сохраняются до прогнозируемого периода, что возможно, если рассматриваемая экономическая система развивается в достаточно стабильных условиях. Как правило, рекомендуется, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длины базового динамического ряда. Следует также иметь в виду, что в активно развивающихся экономических системах длинные динамические ряды становятся несопоставимыми, так как с течением времени может измениться методология расчета статистических показателей.