Блок задач на поиск расстояний.

Задача 126. Найти расстояние от точки (1,4) до прямой . 

Решение. По формуле :    

 =  = . Ответ. .

Задача 127. Найти расстояние от точки M₁(1,4) до прямой .

Решение. Нормаль . Тогда  =  = .

Задача 128. Найти расстояние между параллельными прямыми  и .  

Решение. Заметим, что прямые действительно параллельны:

, то есть пропорция сохраняется для всех коэффициентов, но нарушается для констант. Если бы уравнения были полностью пропорциональны, то это бы означало, что они задают одну и ту же прямую. А так они параллельны. Если бы не было пропорции и для коэффициентов, то прямые бы пересекались в одной точке.

Для поиска расстояния применяется та же формула

на одной прямой выбирается какая-либо точка, и ищется расстояние от этой точки до второй прямой.

Для нахождения какой-либо точки можно присвоить одну переменную (проще всего присвоить 0) и вычислить вторую. Например, , тогда в первом уравнении , , и точка  принадлежит первой прямой. Ищем расстояние от неё до 2-й прямой.  =  = .

Ответ. .

 

Задача 129. Найти 2 точки на оси Ох, отстоящие от прямой  на расстояние . 

Решение. Применим формулу  но только в ней  уже известно. В нашем примере должно быть .

Мы ищем точки вида (с,0), ведь сказано, что они должны быть на оси Ох. Поэтому , , . Две возможности:

 и . На чертеже зелёным показаны кратчайшие пути от этих точек до прямой. Расстояния равны .

Ответ. (-3,0) и (5,0).

 

Задача 130. Даны точки , , .

Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С до этой прямой (то есть высоту треугольника).    

Решение. Вектор АВ равен , и это есть направляющий на прямой. В то же время вектор АМ до произвольной точки , который равен , пропорционален АВ. Тогда , то есть , и уравнение прямой: .

Теперь по формуле  найдём расстояние от этой прямой до точки .  =  = .

Ответ. Прямая , расстояние 3.

 

Плоскость в пространстве.

Задача 131. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2)

Решение. Для произвольной точки  в плоскости, вектор  с координатами ортогонален . Их скалярное произведение 0. Тогда , т.е.

.

Ответ. Уравнение плоскости .

Замечание. Второй способ. Если мы уже знаем из теории, что координаты нормали это и есть коэффициенты A,B,C в уравнении плоскости, то можно сразу записать , а затем найти неизвестную D, используя условие, что точка (1,2,3) принадлежит плоскости: , откуда .

Задача 132. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).

Решение. Как и в прошлой задаче, берём произвольную точку  в плоскости, тогда вектор ортогонален вектору . Тогда  из чего следует .

Ответ. .

 

Задача 133. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3).  

Решение. Вектор от начала координат до произвольной точки , который сам имеет координаты , лежит в плоскости двух направляющих, т.е. определитель равен 0.  = .

Ответ. .

 

Практика 14.

Задача 134. Построить уравнение плоскости по точке  и двум направляющим векторам (4,2,3) и .

Решение. Возьмём вектор  в плоскости, тогда 3 вектора, а именно , (4,2,3) и  должны образовывать линейно-зависимую систему. То есть, можем сразу найти такой определитель и приравнять к 0:

 =  = .

Из этого следует . Такое уравнение можно сократить на 3, и получается .

Ответ. .

 

Задача 135. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6).

Решение. Здесь можно одну из точек, например А, рассматривать в качестве основной, а две другие помогут найти 2 направляющих вектора: АВ и АС. АВ = (2,3,4), АС = (3,3,3).

Для удобства вычислений, вынесли из определителя коэффициент 3.

Можно сразу сократить на него правую и левую часть.

Итак,   

.  

Сократим ещё на , получим .

Ответ. .

 

Задача 136. Найти расстояние от точки M₁ (3,1,5) до плоскости .   

Решение. По формуле  получаем, что

 =  = = .

Ответ. .

Задача 137. Найти угол между двумя плоскостями:  и . 

Решение. Нормали к этим плоскостям:  и . 

Нормали не коллинеарны, то есть плоскости не параллельны, значит, они действительно пересекаются по какой-то прямой, и между ними есть какой-то угол.

 =  = .

Кстати, константа в уравнении одной из плоскостей никак не влияет на ответ, так как параллельный перенос плоскости не влияет на угол, который она образует с другой плоскостью.

Ответ. , что приблизительно составляет 83,6 градусов.

Задача 138. Через точку  и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти тупой угол между этими плоскостями.

Решение. Если плоскость содержит ось и точку, то в ней по крайней мере содержится начало координат, и 2 такие направляющих: один проведён от (0,0,0) к точке , а второй - это просто базисный вектор оси, то есть для Ох вектор (1,0,0), а в случае оси Оу (0,1,0). Таким образом, уравнения каждой плоскости можно построить.

А затем мы найдём угол между их нормалями. Эти плоскости можно представить так: две наклонные части крыши. Плоскость, перпендикулярная линии ОМ, не горизонтальна, так что угол между двумя частями такой крыши вовсе не 90 градусов. Чем более пологая крыша, тем ближе этот угол к 180, а чем более крутая, тем ближе к 90. Плоскость, перпендикулярная стыковочной линии крыши, а именно линии ОМ, показана жёлтым цветом. 

 

Строим уравнение 1-й плоскости. Возьмём 3-й вектор, проведённый к какой-то произвольной точке  от начала координат. Тогда 3 радиус-вектора, проведённых из начала координат, а именно , , должны образовать линейно-зависимую систему.

=  = .

Нормаль к этой плоскости .

Строим уравнение 2-й плоскости. Аналогично, только (0,1,0).

=  = .

Нормаль к этой плоскости .

Известно, что .

Тогда , т.е. , угол 120 градусов. 

Замечание. Если бы надо было найти косинус наименьшего угла, то есть острого, то должны были бы рассматривать модуль , чтобы угол получился именно в 1-й четверти, т.е. с положительным cos.

Вообще же, всегда имеется два угла,  и . В зависимости от того, острый или тупой угол надо рассматривать, его косинус вычисляется как  либо . Ответ. .

Прямая в пространстве