Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Алгоритм поиска собственных векторов.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Практика № 10. Задача 90. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Решение. Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = = = = = = = = 92. Ответ 92.
Задачи 91 и 92. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 600. Задача 91. Найти . Решение. = = = = = = = 1227. Ответ. 1227. Задача 92. Найти | [a,b] |. Решение. | [a,b] | = | |= | | = | | = | | = = = . Ответ. .
Задача 93. Найти смешанное произведение трёх векторов: . Решение. Вычислим определитель: = = 25. Ответ. . Задача 94. Доказать, что 4 точки: A(1,1,1), B(2,3,1), C(2,4,2), D(3,6,2) лежат в одной плоскости. Решение. Составим 3 вектора AB, AC, AD и докажем, что они лежат в одной плоскости. AB = (1,2,0), AC = (1,3,1), AD = (2,5,1). Определитель = 0 так как 3 строка есть сумма 1-й и 2-й. Ответ. 4 точки в одной плоскости. Задача 95. Найти объём тетраэдра, вершины которого A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4). Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD. Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6. AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3). = , . Ответ. Объём тетраэдра равен .
Линейные операторы Задача 96. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве, если действие оператора задано таким образом: . Решение. Находим, в какие векторы отображаются два базисных вектора: , . Эти результаты запишем по столбцам: . Ответ. Матрица линейного оператора . Проверка: . То есть действительно, вычисление координат образа вектора по данным формулам даёт точно такой же результат, как и с помощью умножения на матрицу. Так, но ведь и по исходным формулам получилось бы то же самое: .
Задача 97. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве Решение. Отобразим базис 3-мерного пространства.
Ответ. Матрица линейного оператора .
Задача 98. Построить матрицу оператора поворота на произвольный угол . Решение. Найдём матрицу оператора поворота на угол . Расстояния r1 и r2 здесь равны и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу . Ответ. При получится Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так: - любой вектор поворачивается на 90 градусов.
При матрица , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор в .
Задача 99. С помощью линейного оператора поворота плоскости доказать, что скалярное произведение не изменяется при повороте. Решение. Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение равно . теперь отобразим каждый из этих векторов с помощью линейного оператора поворота на угол . = = А теперь скалярно перемножим 2 получившихся вектора: и . = +
Учитывая, что 3,4,7,8 слагаемые взаимоуничтожаются, получим: = . Ответ: Что и требовалось доказать.
Практика 11 (21.10.2020). Ответ. Собст. число собст. вектор (1,0,0), собст. число собст. вектор (1,1,0), собст. число собст. вектор (1,1,1).
Задача 107. Найти собственные числа и векторы Решение. разложим по 2-й строке: = что сводится к , первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы. . , если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных. Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: . Тогда , свободные переменные поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).
. , при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать , поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система: Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: . ФСР вектор (1,0,3). Ответ. Кратный корень два вектора: (1,0,2) (0,1,2), Корень вектор (1,0,3). Проверка. , , . Задача 108. Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей: Решение. Найдём собственные значения с помощью характеристического уравнения. сводится к Видно, что есть по крайней мере один корень .
Затем разделим многочлен на , получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня. Итак, разделилось без остатка. Таким образом, = . Для многочлена 2 степени: . Корни , т.е. 3 и 4. Итак, собственные числа: , , . Теперь ищем вектор для каждого из этих чисел. Пусть . Составим однородную систему здесь сразу видим, что 2 и 3 строка одинаковы, то есть 3-е уравнение копия 2-го, так что в системе фактически не 3, а 2 уравнения. Запишем систему, заодно при этом поделив 1-е уравнение на 2. Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и выразить через : , т.е. . При этом свободная переменная. Общее решение . ФСР это вектор (1,2,3).
Пусть теперь . Составим однородную систему: Из 1-го уравнения сразу очевидно . Система: Если учесть , то так что очевидно, что и . ФСР (1,1,1).
Пусть теперь . Составим однородную систему: Система: из 1-го уравнения , подставим эту информацию во 2-е и 3-е. значит . ФСР (2,1,1). Ответ. собственный вектор (1,2,3), собственный вектор (1,1,1), собственный вектор (2,1,1).
Практика № 12. 23.10.2020. Задача 109. Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей: . Решение. сводится к уравнению , корни которого: . . , система откуда , ФСР это вектор . . , система откуда , ФСР это вектор .
. , система откуда , а значит и , свободная переменная. Тогда ФСР это вектор (1,0,0). Ответ. собст. вектор , собст. вектор , собст. вектор (1,0,0). Задача 110. Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей: Решение. сведём к уравнению.
. Один корень, очевидно, , два других найдём, решим квадратное уравнение (через дискриминант либо по теореме Виета). Получим и . Теперь решаем однородную систему для каждого . система отсюда следует, что , . Тогда вектор .
система отсюда следует, что , . Тогда вектор (1,1,0).
система Здесь 2 уравнения. Если вычесть 1-е из 2-го, получим , то есть . Тогда, присвоив , мы сможем и тоже выразить через . Например, из 1-го получим: , в итоге , и . Если присвоить , получим вектор . Впрочем, чтобы не было дробей, можем увеличить в 3 раза, и рассматривать собственный вектор (3,3,2). Ответ. вектор вектор (1,1,0) вектор (3,3,2).
Квадратичные формы. Задача 111. Построить матрицу кв. формы . Решение. Распределим поровну коэффициенты: . Каждый коэффициент, стоящий при , запишем на место . Ответ: матрица: . Задача 112. Построить матрицу квадратичной формы: . Решение. По диагонали коэффициенты при квадратах, а остальные должны быть разделены поровну, то есть . Таким образом мы добиваемся, чтобы матрица была симметрической. Ответ. Матрица . Проверка. = . Приведение к главным осям. Алгоритм: 1. Записать матрицу кв. формы. 2. Найти собственные числа и векторы. 3. Нормировать векторы. 4. Записать формулы перехода от старого к новому базису. 5. Подставить в кв. форму, привести подобные. Задача 113. Квадратичную форму привести к главным осям. Решение. Сначала построим её матрицу: . Характеристическое уравнение , собственные числа . Ищем собственные векторы для каждого из них. : , , собственный вектор (1,1). : , , собственный вектор . Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:
и . Запишем связь старых и новых координат, новые мы обозначаем . здесь надо вспомнить, что для нахождения новых координат мы решали систему уравнений, где основная матрица - это «матрица перехода», у которой в столбцах векторы нового базиса. Итак, верны такие формулы: , . В записи квадратичной формы заменим по этим формулам. Мы увидим, что после приведения подобных сократятся все произведения, содержащие разные переменные, вида , и останутся только квадраты, причём коэффициентами как раз и окажутся собственные числа. = = = . Ответ. Кв.форма: , новый базис и . Задача 114. Квадратичную форму привести к главным осям. Решение. Матрица квадратичной формы . Найдём собственные числа и векторы. Характеристическое уравнение = = = Собственные числа 5 и 1. Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности. : , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (1,1). Нормируем этот вектор, то есть делим на его длину, которая составляет . Получаем . Аналогично, : , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор . Нормируем его: . Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична (что и так следует из теоремы 7, см.лекции). Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 450 декартов базис, то есть (1,0) и (0,1). Синим цветом нарисованы векторы (1,0) и (0,1) а красным и . При таком преобразовании плоскости не искажаются площади фигур. Если бы мы не нормировали векторы, то при линейном преобразовании искажались бы площади, коэффициенты квадратичной формы в новом базисе не получились бы равны собственным числам . Причём если это именно 2-й а не 1-й, то преобразование плоскости получается без зеркального отражения, т.е. просто поворот.
Обозначим новые координаты , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так: - отсюда, умножив матрицу на столбец, можно записать формулы связи старых и новых координат: , . Если мы подставим эти в исходную квадратичную форму , то увидим, что в ней не будет произведений типа , а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее: = = = = . Собственные числа, как видим, как раз и оказались в роли коэффициентов при квадратах. Ответ. , новый базис и .
Задача 115. Привести к главным осям квадратичную форму: Q(x,y) = 14 +24 +21 . Решение. Матрица: . Ищем собственные числа и векторы. = = . , , корни 30 и 5. Ищем собственные векторы. Пусть . , уравнения в такой системе пропорциональны, ранг равен не 2, а 1. Фактически, здесь одно уравнение: . Можно в качестве ФСР принять вектор (3,4). Однако его ещё надо нормировать. Длина равна = 5. Итак, нормированный собственный вектор .
Пусть . , уравнения пропорциональны, ранг равен 1. Фактически, здесь одно уравнение: . Можно в качестве ФСР принять вектор . Длина равна 5. Нормированный собственный вектор . Итак, новый базис состоит из векторов и . Переход к новым координатам: , т.е. , . Если подставить эти выражения в 14 +24 +21 и привести подобные, получим 30 +5 . + 24 + 21 = + + = + + = + + = 30 +5 . Ответ. 30 +5 , новый базис: и .
Практика 13. Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости Плоскость в пространстве. Задача 131. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2) Решение. Для произвольной точки в плоскости, вектор с координатами ортогонален . Их скалярное произведение 0. Тогда , т.е. . Ответ. Уравнение плоскости . Замечание. Второй способ. Если мы уже знаем из теории, что координаты нормали это и есть коэффициенты A,B,C в уравнении плоскости, то можно сразу записать , а затем найти неизвестную D, используя условие, что точка (1,2,3) принадлежит плоскости: , откуда . Задача 132. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7). Решение. Как и в прошлой задаче, берём произвольную точку в плоскости, тогда вектор ортогонален вектору . Тогда из чего следует . Ответ. .
Задача 133. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3). Решение. Вектор от начала координат до произвольной точки , который сам имеет координаты , лежит в плоскости двух направляющих, т.е. определитель равен 0. = . Ответ. .
Практика 14. Задача 134. Построить уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам (4,2,3) и . Решение. Возьмём вектор в плоскости, тогда 3 вектора, а именно , (4,2,3) и должны образовывать линейно-зависимую систему. То есть, можем сразу найти такой определитель и приравнять к 0: = = . Из этого следует . Такое уравнение можно сократить на 3, и получается . Ответ. .
Задача 135. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6). Решение. Здесь можно одну из точек, например А, рассматривать в качестве основной, а две другие помогут найти 2 направляющих вектора: АВ и АС. АВ = (2,3,4), АС = (3,3,3). Для удобства вычислений, вынесли из определителя коэффициент 3. Можно сразу сократить на него правую и левую часть. Итак, . Сократим ещё на , получим . Ответ. .
Задача 136. Найти расстояние от точки M1 (3,1,5) до плоскости . Решение. По формуле получаем, что = = = . Ответ. . Задача 137. Найти угол между двумя плоскостями: и .
Решение. Нормали к этим плоскостям: и . Нормали не коллинеарны, то есть плоскости не параллельны, значит, они действительно пересекаются по какой-то прямой, и между ними есть какой-то угол. = = . Кстати, константа в уравнении одной из плоскостей никак не влияет на ответ, так как параллельный перенос плоскости не влияет на угол, который она образует с другой плоскостью. Ответ. , что приблизительно составляет 83,6 градусов. Задача 138. Через точку и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти тупой угол между этими плоскостями. Решение. Если плоскость содержит ось и точку, то в ней по крайней мере содержится начало координат, и 2 такие направляющих: один проведён от (0,0,0) к точке , а второй - это просто базисный вектор оси, то есть для Ох вектор (1,0,0), а в случае оси Оу (0,1,0). Таким образом, уравнения каждой плоскости можно построить. А затем мы найдём угол между их нормалями. Эти плоскости можно представить так: две наклонные части крыши. Плоскость, перпендикулярная линии ОМ, не горизонтальна, так что угол между двумя частями такой крыши вовсе не 90 градусов. Чем более пологая крыша, тем ближе этот угол к 180, а чем более крутая, тем ближе к 90. Плоскость, перпендикулярная стыковочной линии крыши, а именно линии ОМ, показана жёлтым цветом.
Строим уравнение 1-й плоскости. Возьмём 3-й вектор, проведённый к какой-то произвольной точке от начала координат. Тогда 3 радиус-вектора, проведённых из начала координат, а именно , , должны образовать линейно-зависимую систему. = = . Нормаль к этой плоскости . Строим уравнение 2-й плоскости. Аналогично, только (0,1,0). = = . Нормаль к этой плоскости . Известно, что . Тогда , т.е. , угол 120 градусов. Замечание. Если бы надо было найти косинус наименьшего угла, то есть острого, то должны были бы рассматривать модуль , чтобы угол получился именно в 1-й четверти, т.е. с положительным cos. Вообще же, всегда имеется два угла, и . В зависимости от того, острый или тупой угол надо рассматривать, его косинус вычисляется как либо . Ответ. . Прямая в пространстве Практика 15 Задача 143. Доказать, что две прямые в пространстве
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 52; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.29.73 (0.265 с.) |