Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика

 

 

Программа и контрольные задания

 для студентов I и II курсов заочной формы обучения

всех специальностей

 

 

 

Введение

В настоящих методических указаниях приведена программа и контрольные задания по математике для студентов заочной формы обучения. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить в каждом семестре 2 контрольные работы. Номер варианта определяется по последней цифре номера студенческого билета или зачётной книжки. Так, например, если этот номер заканчивается цифрой 5, то в контрольной работе № 1 нужно решить задачи 5, 15, 25, 35.

При выполнении контрольных работ нужно придерживаться следующих правил.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради,

оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради необходимо указать: а) свою фамилию и инициалы;

б) специальность обучения; в) номер зачётной книжки; г) название дисциплины; д) номер контрольной работы.

3. В контрольную работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, и в строгом соответствии с номером своего варианта.

4. Решения задач в каждой контрольной работе следует располагать обязательно в порядке номеров, указанных в задании. Перед решением каждой задачи необходимо выписать полностью её условие.

5. Решения задач должны содержать подробные пояснения и необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом замечания и недочёты, а также выполнить все его рекомендации. Все исправления нужно записывать в этой же тетради после всех решённых задач контрольной работы. Вносить исправления в тексты решения задач после рецензирования запрещается. Незачтённую контрольную работу с последующими соответствующими исправлениями следует направить на повторную рецензию.

Во время сдачи зачёта или экзамена студент должен показать понимание основных теоретических и практических вопросов программы и умение применять их в решении задач и примеров. Определения, теоремы и правила должны формулироваться точно и с пониманием существа вопросов.

Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются обзорные лекции и практические занятия по программам предыдущего семестра, а также установочные лекции по программам следующего семестра.

В межсессионный период по субботам проводятся просмотры лекций по телевидению, а каждую чётную субботу – консультации, приём зачётов и экзаменов. Информация о датах и времени их проведения вывешивается на кафедральном стенде после окончания экзаменационной сессии.

 

Программа

 

Введение в математический анализ

1. Определение предела функции в точке, в бесконечности. Предел последовательности как частный случай предела функции. Односторонние пределы функции. Основные теоремы о пределе функции.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства; связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых.

3. Отыскание предела отношения двух многочленов при . Первый и второй замечательный пределы.

4. Функции, непрерывные в точке, и их свойства. Точки разрыва функции и их классификация.

5. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

 

Программа

Дифференциальные уравнения

 

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Уравнение первого порядка вида : постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов).

2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков: постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов). Методы понижения порядка уравнений вида , , .

4. Однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ): свойства решений, структура общего решения. ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: его характеристическое уравнение, вид общего решения в случае, когда корни характеристического уравнения а) действительные различные, б) действительные равные, в) комплексные. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ): структура общего решения, теорема о суперпозиции двух решений. Отыскание решений НЛДУ с постоянными коэффициентами с правой частью вида ,  (метод неопределенных коэффициентов).  

 

Программа

Теория векторного поля

1. Понятие векторного поля. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. Вычисление потока жидкости. Поток произвольного векторного поля и его вычисление. Формула Остроградского для вычисления потока поля через замкнутую поверхность. Понятие дивергенции, её инвариантное определение и физический смысл.

2. Вычисление работы силового поля. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. Векторная и координатная форма записи линейного интеграла поля и его вычисление. Формула Грина и формула Стокса для вычисления циркуляции. Понятие ротора и его физический смысл в поле линейных скоростей вращающегося тела.

3. Условия независимости линейного интеграла поля от формы пути интегрирования. Потенциальное поле и его свойства. Отыскание потенциала.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в третьем семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 3.

                                                                                                             Таблица 3

 

Номер варианта	Контрольная работа № 5 Номера задач	Контрольная работа № 6 Номера задач
1	151 161 171 181 191	201 211 221 231
2	152 162 172 182 192	202 212 222 232
3	153 163 173 183 193	203 213 223 233
4	154 164 174 184 194	204 214 224 234
5	155 165 175 185 195	205 215 225 235
6	156 166 176 186 196	206 216 226 236
7	157 167 177 187 197	207 217 227 237
8	158 168 178 188 198	208 218 228 238
9	159 169 179 189 199	209 219 229 239
10	160 170 180 190 200	210 220 230 240

 

Программа

Дифференциальное и интегральное исчисление
функции нескольких переменных

 

1. Определение и отыскание частных производных. Определение дифференцируемой функции. Дифференциалы первого и второго порядков. Понятие сложной функции и ее дифференцирование. Неявные функции и их дифференцирование. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения.

2. Безусловный экстремум функции. Глобальный экстремум функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум функции.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная скалярного поля по направлению, формула для её вычисления. Градиент скалярного поля и его свойства.

4. Задача отыскания массы плоской фигуры. Понятие двойного интеграла, его свойства и применения. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

 

Программа

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

8. Системы дифференциальных уравнений, их решение методом исключения и методом собственных векторов. Понятие устойчивости решения системы. Исследование устойчивости с помощью собственных значений.

 

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

 

Линейное программирование

1. Экономико-математические модели. Задачи о рентабельности производства, о смесях, о раскрое материалов, о размещении заказа, об использовании мощностей. Транспортная задача.

2. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): основные понятия. Различные формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду.

3. Выпуклые множества точек: основные понятия. Выпуклые множества в мерном пространстве. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Свойства решений ЗЛП.

4. Графическое решение ЗЛП: постановка и алгоритм графического метода решения ЗЛП.

5. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования системы, метод Жордана-Гаусса и его алгоритм. Неотрицательное базисное решение. Операция однократного замещения.

6. Симплексный метод решения ЗЛП: геометрическая интерпретация, симплексные таблицы и их заполнение. Теоретическое обоснование симплексного метода: теоремы, лежащие в основе этого метода. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритма.

7. Теория двойственности. Задача использования сырья. Виды двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Связь между решениями взаимно-двойственных задач.  

8. Транспортная задача. Общая постановка задачи. Закрытая и открытая задачи. Обоснование решения транспортной задачи. Нахождения первоначального опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости. Метод потенциалов. Критерий оптимальности решения транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены

 в табл. 6.

                                   

                                                                                                            Таблица 6

 

Номер варианта	Контрольная работа № 7 Номера задач	Контрольная работа № 8 Номера задач
1	281 291 301	341 351 361 371
2	282 292 302	342 352 362 372
3	283 293 303	343 353 363 373
4	284 294 304	344 354 364 374
5	285 295 305	345 355 365 375
6	286 296 306	346 356 366 376
7	287 297 307	347 357 367 377
8	288 298 308	348 358 368 378
9	289 299 309	349 359 369 379
10	290 300 310	350 360 370 380

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А ₁ А ₂; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А ₁ А ₂ А ₃; 3) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃; 4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 5) объём пирамиды.

1. А ₁(7, 7, 6), А ₂(5, 10, 6), А ₃(5, 7, 12), А ₄(7, 10, 4).

2. А ₁(6, 1, 1), А ₂(4, 6, 6), А ₃(4, 2, 0), А ₄(1, 2, 6).

3. А ₁(8, 7, 5), А ₂(10, 6, 6), А ₃(5, 7, 9), А ₄(8, 11, 8).

4. А ₁(7, 7, 3), А ₂(6, 5, 8), А ₃(3, 5, 8), А ₄(8, 4, 1).

5. А ₁(4, 2, 5), А ₂(0, 7, 2), А ₃(0, 2, 7), А ₄(1, 5, 0).

6. А ₁(4, 4, 10), А ₂(4, 10, 2), А ₃(2, 8, 4), А ₄(9, 8, 9).

7. А ₁(4, 6, 5), А ₂(6, 9, 4), А ₃(2, 10, 10), А ₄(7, 5, 9).

8. А ₁(3, 5, 4), А ₂(8, 7, 4), А ₃(5, 10, 4), А ₄(4, 7, 8).

9. А ₁(10, 6, 6), А ₂(-2, 8, 2), А ₃(6, 8, 9), А ₄(7, 10, 3).

10.  А ₁(2, 9, 3), А ₂(6, 3, 7), А ₃(6, 8, 5), А ₄(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11. а) ,                                   б) .

12. а) ,                        б) .

13. а) ,           б) .

14. а) ,                     б) .

15. а) ,                   б) .

16. а) ,                          б) .

17. а) ,                          б) .

18. а) ,                                    б) .

19. а) ,                     б) .

20. а) ,                б) .

21–30. 1) Записать число  в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число  в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

21. .                                                22. .

23. .                                                   24. .

25. .                                                   26. .

27. .                                                 28. .

29. .                                                30. .

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

31. а) ,   б) . 32. а) ,    б) .  

33. а) ,  б) . 34. а) ,        б) .

35. а) , б) . 36.а) ,б) .

37. а) , б) . 38. а) , б) .

39. а) ,      б) . 40. а) ,   б) .

41–50. Дано уравнение  кривой, точка  и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой  в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

41.             

42.          

43.              

44.      

45.                   

46.             

47.          

48.           

49.                    

50.              

51–60. Найти производные  данных функций.

51. а) ,               б)                                                       

52. а) ,                          б) .                                                     

53. а) ,                                б) .                                                

54. а) ,           б) .                                                     

55. а) ,                               б) .                                          

56. а) ,               б) .                                                     

57. а) ,                     б) .                                                  

58. а) ,                  б) .                                                     

59. а) ,                             б) .                                                     

60. а) ,             б) .                                                 

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61. а)               б)  

62. а)                     б)  

63. а)               б)   

64. а)                б)    

65. а)                       б)     

66. а)                   б)

67. а)     б)

68. а)            б)

69. а)             б)

70. а)    б)

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71. а) ,      б) . 72. а) ,     б) .

73. а) , б) .       74. а) , б) .

75. а) , б) .    76. а) , б) .

77. а) , б) .   78. а) ,       б) .

79. а) , б) .      80. а) ,        б) .

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81. а) ,           б) ,          в) ,  г) .  

82. а) , б) , в) ,    г) .  

83. а) ,        б) ,    в) , г) .   

84. а) , б) , в) , г) .  

85. а) ,    б) , в) ,       г) .   

86. а) ,   б) ,            в) ,  г) .     

87. а) , б) ,  в) ,    г) .  

88. а) ,      б) ,     в) ,   г) .  

89. а) , б) ,         в) , г) .  

90. а) , б) , в) , г) .   

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

91. . 92. . 93. . 94. . 95. .                              96. .  97. . 98. .  99. . 100. .

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101. а) ,   б) .                                                                          102. а) , б) .

103. а) ,            б) .                                                                          104. а) ,        б) .

105. а) ,                   б) .                                                                          106. а) , б) .          

107. а) ,              б) .                                                                           108. а) ,            б) .

109. а) ,               б) .                                                                               110. а) ,   б) .   

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. .           112. .

113. .     114. .

115. .              116. .

117. .           118. .

119. .     120. .

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

121. . 122. . 123. . 124. .

125. . 126. . 127. . 128. .

129. . 130. . 

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

131. .  132. . 133. . 134. .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

135. .  136. . 137. .   138. .

139. . 140.

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

141. . 142. . 143. . 144. .

 145. . 146. . 147. . 148. .

149. . 150. .

151–160. Найти точки экстремума функции .

151. .                    152. .

153. .                              154. .

155. .             156. .

157. .                   158. .

159. .                160. .

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции  в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж

области D.

161. ,     .                                                                    

162. ,  .                                                                 

163. ,       .                                                                           

164. ,                   .                                                                           

165. , .                                                                   

166. ,          .                                                                                   

167. , .

168. ,            . 

169. ,     .                                                                           

170. ,           . 

171–180. Даны функция , точка  и вектор . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке А; 2) скорость изменения функции в точке А по направлению вектора .

171. ,         А (1, 1), .             

172. ,       А (1, 1), .                                                

173. ,              А (2, 1), .    

174. ,         А (1, 1), .

175.