Метод инструментальных переменных

 

Предполагаем, что в регрессии x = z α + ε переменные-факторы z являются случайными, и нарушена гипотеза g 2 в обобщенной формулировке: ошибка ε зави- сит от факторов z, так что корреляция между z и ошибкой ε не равна нулю. Такую

 

 

274                     Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

регрессию можно оценить, имея набор вспомогательных переменных y, называ- емых инструментальными переменными. Часто инструментальные переменные называют  просто   инструментами.

Для того, чтобы переменные y можно было использовать в качестве инстру- ментальных, нужно, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

1) Инструменты y некоррелированы с ошибкой ε. (В противном случае метод даст несостоятельные оценки, как и МНК.) Если это условие не выполнено, то такие переменные называют негодными  инструментами 4.

2) Инструменты y достаточно сильно коррелированы с факторами z. Если данное условие не выполнено, то это так называемые «слабые» инструменты. Если инструменты слабые, то оценки по методу будут неточными и при малом количестве наблюдений сильно смещенными.

Обычно z и y содержат общие переменные, т.е. часть факторов используется в качестве инструментов. Например, типична ситуация, когда z содержит константу; тогда в y тоже следует включить константу.

Пусть имеются N наблюдений, и X, Z и Y — соответствующие данные в матричном виде. Оценки по методу инструментальных переменных (сокращенно IV от англ. instrumental variables) вычисляются по следующей формуле:

1

a IV    =  Z t Y. Y t Y. −1  Y t Z −

 

Z t Y

.Y t Y

.−1

 

Y t X.          (8.8)

 

В случае, если количество инструментальных переменных в точности равно

количеству факторов, (rank Y = n + 1) получаем собственно классический ме- тод инструментальных переменных. При этом матрица Y t Z квадратная и оценки

вычисляются как

a IV    =. Y t Z. −1  Y t Y. Z t Y. −1  Z t Y. Y t Y. −1 Y t X.

Средняя часть формулы сокращается, поэтому

a IV    =. Y t Z. −1  Y t X.                                                                  (8.9)

Рассмотрим вывод классического метода инструментальных  переменных, т.е. случай точной идентификации (ср. с (6.15) в главе 6):

Умножим уравнение регрессии x = z α + ε слева на инструменты y (с транс- понированием). Получим следующее уравнение:

y t x = y t z α + y tε.

4 В модели ошибок в переменных ошибка регрессии имеет вид ε − ε z α, где ε — ошибка в исходном уравнении, а ε z — ошибка измерения факторов  z  . Чтобы переменные  y   можно было использовать в качестве инструментов, достаточно, чтобы  y   были некоррелированы с ε и ε z.

 

 

8.5. М е тод ин с тру ме нта ль н ы х п е р еме нн ы х                   275

 

Если взять от обеих частей математическое ожидание, то получится

E (y t x) = E (y t z α),

где мы учли, что инструменты некоррелированы с ошибкой, E (y tε) = 0.

Заменяя теоретические моменты на выборочные, получим следующие нормаль- ные уравнения, задающие оценки a:

Myx   = Myz a,

где Myx    =  1 Y t X   и Myz    =  1 Y t Z. Очевидно, что эти оценки совпадут с (8.9).

N                                     N

Фактически, мы применяем здесь метод моментов.

Метод инструментальных переменных можно рассматривать как так называе- мый д вухшаговый метод наименьших квадратов. (О нем речь еще пойдет ниже в пункте 10.3.)

1

j

-й шаг. Строим регрессию каждого фактора Zj   на Y. Получим в этой ре- грессии расчетный значения Z c. По формуле расчетных значений в регрессии

Z c

j = Y (Y

t Y)−1 Y

t Z. Заметим, что если Zj   входит в число инструментов, то по

j

этой формуле получим Z c

= Zj  , т.е. эта переменная останется без изменений.

Поэтому данную процедуру достаточно применять только к тем факторам, которые не являются инструментами (т.е. могут быть коррелированы с ошибкой). В целом

для всей матрицы факторов можем записать Z c   = Y (Y t Y)−1  Y t Z.

2 -й шаг. В исходной регрессии используются Z c вместо Z. Смысл состоит в том, чтобы использовать факторы «очищенные от ошибок».

Получаем следующие оценки:

a 2 M   =. Z c t Z c. −1  Z c t x =

=  Z t Y. Y t Y. −1 Y t Y. Y t Y. −1  Y t Z −1  Z t Y. Y t Y. −1 Y t x =

IV

=  Z t Y. Y t Y. −1 Y t Z −1  Z t Y. Y t Y. −1  Y t x = a         .

 

Видим, что оценки совпадают.

Если записать оценки в виде a IV   = (Z c t Z)−1  Z c t x, то видно, что обобщенный метод инструментальных переменных можно рассматривать как простой метод ин- струментальных переменных с матрицей инструментов Z c.

j

Такая запись позволяет обосновать обобщенный метод инструментальных пе- ременных. Если исходных инструментов Y больше, чем факторов Z, и мы хотим построить на их основе меньшее количество инструментов, то имеет смысл сопо- ставить каждому фактору Zj   в качестве инструмента такую линейную комбинацию исходных инструментов, которая была бы наиболее сильно коррелирована с Zj  . Этому требованию как раз и удовлетворяют расчетные значения Z c.

 

 

276                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

Другое обоснование обобщенного метода инструментальных переменных со- стоит, как и выше для классического метода, в использовании уравнений E (y t x) =

= E (y t z α). Заменой теоретических моментов выборочными получим уравнения M yx   = M yz a, число которых больше числа неизвестных. Идея состоит в том, чтобы невязки M yx   − M yz a были как можно меньшими. Это достигается минимизацией следующей квадратичной формы от невязок:

yy

(M yx   − M yz a)t M −1(M yx   − M yz a),

N

где Myy   =  1 Y t Y. Минимум достигается при

 

yy

1

a =  M zy M −1 M yz   −

M zy M −1 M yx.

 

yy

Видим, что эта формула совпадает с (8.8). Эти рассуждения представляют собой применение так называемого обобщенного  метода моментов, в котором количе- ство условий на моменты может превышать количество неизвестных параметров.

 

 

Чтобы можно было использовать метод инструментальных переменных на практике, нужна оценка ковариационной матрицы, с помощью которой можно было бы вычислить стандартные ошибки коэффициентов и t -статистики. Такая оценка имеет вид

Ma IV = s

2. Z

c t Z

c. −1.

Здесь   s 2  — оценка дисперсии ошибок  σ2, например   s 2  =   e t e / N   или   s 2  =

= e t e / (N − 1). Остатки рассчитываются по обычной формуле e = x − Za IV  . (Здесь следует помнить, что остатки, получаемые на втором шаге тут не годят- ся, поскольку они равны x − Z c a IV  . Если использовать их для расчета оценки дисперсии, то получим заниженную оценку дисперсии и ковариационной матрицы.

Отсюда следует, что из регрессии второго шага можно использовать только оценки коэффициентов. Стандартные ошибки и t -статистики требуется пересчитывать.)

Обсудим теперь более подробно проблему идентификации5.

Чтобы можно было вычислить оценки (8.8), нужно, чтобы выполнялись следу- ющие условия:

1) Матрица  инструментов  должна  иметь  полный  ранг по  столбцам, иначе

(Y t Y)−1  не существует.

2) Z t Y (Y t Y)−1  Y t Z должна быть невырожденной.

В частности, матрица Z t Y (Y t Y)−1 Y t Z необратима, когда rank Y < rank Z. Предположим, что матрица факторов Z имеет полный ранг, т.е. rank Z = n +1.

5 См. также обсуждение идентификации в контексте систем уравнений ниже в пункте 10.2.

 

 

8.5. М е тод ин с тру ме нта ль н ы х п е р еме нн ы х                        277

 

Т.е. если rank Y < n + 1, то уравнение неидентифицируемо, т.е. невозмож- но вычислить оценки (8.8). Таким образом, количество инструментов (включая константу) должно быть не меньше n +1 (количество регрессоров, включая кон- станту). Если rank Y > n + 1, то говорят, что уравнение сверхидентицировано. Если количество инструментов равно n + 1, то это точная идентификация.

Если возможен случай сверхидентификации, то это обобщенный метод инстру- ментальных переменных. При точной идентификации (rank Y = n + 1) получаем собственно классический метод инструментальных переменных.

Таким образом, необходимое условие идентификации имеет следующий вид:

 

 

rank Y “ rank Z (= n + 1).

 

Это так называемое порядковое условие идентификации, условие на размерность матриц.

Словесная формулировка порядкового условия:

 

 

Количество инструментов   Y   должно быть не меньше количества ре- грессоров   Z   (учитывая константу).

 

 

Заметим, что можно сначала «вычеркнуть» общие переменные в Z и Y и смотреть только на количество оставшихся. Количество оставшихся инструментов должно быть не меньше количества оставшихся регрессоров.

j

Почему это только необходимое условие? Пусть, например, некоторый фактор Zj   ортогонален Y. Тогда Z c   = 0, и невозможно получить оценки a IV  , т.е. данное условие не является достаточным.

Необходимое и достаточное условие идентификации формулируется следую- щим образом:

 

 

Матрица Z c    имеет полный ранг по столбцам: rank Z c   = n + 1.

 

 

Это так называемое ранговое условие идентификации.

Встречаются случаи, когда ранговое условие идентификации соблюдается, но матрица Z c   близка к вырожденности, т.е. в Z c   наблюдается мультиколли- неарность. Например, если инструмент Zj является слабым (Zj   и Y почти ор- тогональны), то Z c   близка к вырожденности. Один из способов проверки того, является ли инструмент слабым, состоит в анализе коэффициентов детерминации и F -статистик в регрессиях на первом шаге.

 

 

278                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

Упражнения и задачи

 

Упраж н е н ие 1

 

Таблица 8.1

 

 

Дано уравнение регрессии X = Z α + ε = −1. 410 z 1 +

+ 0. 080 z 2 + 56. 962 + ε, где ε — вектор-столбец нормальный

случайных ошибок с нулевым средним и ковариационной мат- рицей

 

Z1 Z2 1 26.8 541 1 25.3 616 1 25.3 610 1 31.1 636 1 33.3 651 1 31.2 645 1 29.5 653 1 30.3 682 1 29.1 604 1 23.7 515 1 15.6 390 1 13.9 364 1 18.8 411 1 27.4 459 1 26.9 517 1 27.7 551 1 24.5 506 1 22.2 538 1 19.3 576 1 24.7 697 1

E. εεt. = σ2Ω =









 

 

1 ρ  ρ2

 



N



···  ρ  −1









  ρ                                                        1  ρ ··· ρ N −2

2

σ 



=      2



N −3

(8.10)



1 − ρ2    ρ

ρ          1 ··· ρ 



.

..







...

...

...     ... 









ρ N −1                                                   ρ N −2 ρ N −3 ··· 1

с ρ = 0. 9 и σ2 = 21. 611.

Используя нормальное распределение с незасисимыми на- блюдениями, средним 0 и ковариационной матрицей (8.10), получите  100  выборок  вектора  ε  размерности  (N × 1), k = 1 ,..., 100,  где   N   =  20.  Эти  случайные  векторы

потом  используйте  вместе  с  известным  вектором  αt           =

= (−1. 410, 0. 080, 56. 962) и матрицей регрессоров (табл. 8.1). Сначала получите ожидаемое значения X 0  = Z α, затем, чтобы получить 100 выборок вектора X размерности (20 × 1),

добавьте случайные ошибки: X 0 + ε = X.

 

1.1. Рассчитайте  невырожденную  матрицу   D   такую,  что

D −1 D t−1 = Ω.

 

1.2. Найдите истинную матрицу ковариации для МНК-оценки (a   =  (Z t Z)−1   Z t X):

E. (a − α) (a − α)t. =

= E.. Z t Z. −1  Z tεεt Z. Z t Z. −1. =

= σ2 . Z t Z. −1  Z tΩ Z. Z t Z. −1

 

 

8.6. Упражнения и задачи                                                        279

 

 

и истинную матрицу ковариации для ОМНК-оценки (a омнк  =  . Z tΩ−1 Z. −1 Z tΩ−1 X):

E. (a омнк − α) (a омнк − α)t. = σ2 (Z t D t DZ) = σ2 . Z tΩ−1 Z. −1 .

Результат поясните.

 

 

1.3. Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать по каждой выборке зна- чения следующих оценок:

 

– МНК-оценки

a = (Z t Z)−1  Z t X;

– ОМНК-оценки

a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки остаточной  дисперсии

s ˆ2 = (x − Z a) (x − Z a)t;

e                        N − n − 1

– ОМНК-оценки  остаточной  дисперсии

1

s ˆ2

(x − Za омнк) Ω−

(x − Za омнк)t .

=

ej омнк

N − n − 1

 

Объясните результаты.

 

 

1.4. Вычислите среднее и дисперсию для 10 выборок для каждого из параметров, полученных в упражнении 1.3 и сравните эти средние значения с истинными параметрами.

 

1.5.

a 1 омнк

На основе упражнения 1.3 рассчитайте   S 2

, который является первым

e омнк

диагональным элементом матрицы s ˆ2

.ZtΩ−1 Z. −1  и S 2  , который явля-

a 1

e

ется первым диагональным элементом матрицы

s ˆ2 (Z t Z)−1. Сравните раз-

a 1

личные оценки   S 2

2

и S

a 1 омнк

друг с другом и с соответствующими значени-

ями из упражнения 1.2.

 

 

1.6. На основе результатов упражнений 1.3 и 1.5 рассчитайте значения t -статис- тики, которые могут быть использованы для проверки гипотез: H 0: α1 = 0.

 

1.7. Повторите упражнение 1.3 для всех 100 выборок, постройте распределения частот для оценок и прокомментируйте результаты.

 

 

280                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

Упраж н е н ие 2

 

 

Таблица 8.2

Предположим, есть данные, состоящие из 100 выборок X, по 20 значений в каждой, сгенерированных при помощи моде- ли X = Z α + ε = α1 z 1 + α2 z 2 + 1 N   β + ε, где ε i    — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε i) = 0,

z 1 z 2 1 N 13,9 364 1 15,6 390 1 18,8 411 1 27,4 459 1 24,5 506 1 23,7 515 1 26,9 517 1 22,2 538 1 26,8 541 1 27,7 551 1 19,3 576 1 29,1 604 1 25,3 610 1 25,3 616 1 31,1 636 1 31,2 645 1 33,3 651 1 29,5 653 1 30,3 682 1 24,7 697 1

E. ε2. = σ2

2     (γ1  zi 2 +γ2 )

i                                     i   и σ i   = e

. Наблюдения за X были полу-

чены с использованием следующих значений параметров: α =

= (α1                          α2 β)t = (−1. 410, 0. 080, 56. 962)t  и γ = (γ1   γ2)t  =

= (0. 25, −2)t , а матрица значений факторов, упорядоченных

в соответствии с величиной   z 2 , имеет следующий вид (табл.

8.2).

 

Найдите матрицу ковариации для

– ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X.

Что вы можете сказать об относительной эффективности этих оценок?

Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать  по каждой выборке значения следующих оценок:

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X;

 

– оценки  γ =

. N

i

 y i y t

i =1

.−1 N

i

 y i ln(e 2),  где y i   =

i =1

i

= (z i 2, 1) и e i   = x i − z t  a;

– ОМНК-оценки a, используя найденую оценку γ.

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствую- щими истинными значениями.

a 1 омнк

На основе упражнения 2.2 рассчитайте   S 2

, кото-

рый является первым диагональным элементом матри-

s ˆ

цы

2

e омнк

(Z tΩ−1 Z)−1, S 2 , который является первым

a 1

e

диагональным элементом матрицы

S 2

s ˆ2 (Z t Z)−1, а также

a 1 Уайта , который является первым диагональным эле- ментом скорректированной оценки ковариационной матрицы (оценка Уайта

или устойчивая к гетероскедастичности оценка). Сравните различные оцен-

ки S 2  , S 2

и S 2

друг с другом и с соответствующими значениями

a 1               a 1 омнк

a 1 Уайта

из упражнения 2.1.

 

 

8.6. Упражнения и задачи                                                   281

 

2.4. На основе результатов упражнений 2.1 и 2.3 рассчитайте значения t -статис- тики, которые могут быть использованы для проверки гипотез H 0:  α1 = 0.

2.5. Возьмите те же выборки, что и в упражнении 2.2, и проведите проверку на гетероскедастичность с помощью:

– критерия Бартлета;

– метода второй группы (метод Голдфельда—Квандта) с пропуском 4-х значений в середине выборки;

– метода третьей группы (метод Глейзера).

2.6. Выполните упражнение 2.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности  МНК-оценки и ОМНК-оценки?

 

 

Упраж н е н ие 3

 

Предположим, есть данные, состоящие из 100 выборок X, по 20 значений в каждой, сгенерированных при помощи модели X = Z α+ε = α1 z 1 +α2 z 2 +1 N   β +

+ ε, где ε i   = ρε i −1 + η i  , и η — нормально распределенная случайная величина с E (η i) = 0, E. η2. = σ2 . Наблюдения за X были получены с использованием

i                                 η

следующих значений параметров: αt = (α1 α2 β) = (−1. 410, 0. 080, 56. 962),

η

ρ = 0. 8 и σ2 = 6. 4, а матрица значений факторов взята из упражнения 1.

 

3.1. Найдите матрицу ковариации для:

– ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X.

Что вы можете сказать об относительной эффективности этих оценок?

 

3.2. Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать по каждой выборке зна- чения следующих оценок:

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X;

N

 e i e i −1

– оценку r =

i =2  ;

N

e

  2

i

i =1

– ОМНК-оценки, используя найденую оценку r.

 

 

282                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

3.3. Возьмите те же выборки, что и в упражнении 3.2, и проверьте гипотезу об ав- токорреляции ошибок.

3.4. Найдите скорректированную оценку ковариационной матрицы, устойчивую к гетероскедастичности и автокорреляции (оценку Ньюи—Уэста).

3.5. Выполните упражнение 3.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности  МНК-оценки и ОМНК-оценки?

 

 

Упраж н е н ие 4

Для уравнения X = Z o α+ε = −1. 410 z 0 +0. 080 z 0 +1 N   56. 962+ε, z 1 = z 0 +ε z  ,

1                                                               2                      1 1

2

z 2  = z 0

+ ε z 2

и при предположении, что  ε i    ∼ N (0, 21. 611),  ε z 1

∼ N (0, 21. 700)

и ε z 2

∼ N (0, 21. 800), были генерированы 20 значений выборки. Результаты при-

ведены в таблице 8.3.

Предполагая, что истинная матрица факторов Z 0  неизвестна, выполните сле- дующие задания:

4.1. Найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X   параметров уравнения регрессии

X = Z α + ε = α1 z 1 + α2 z 2 + 1 N   β + ε.

4.2. Рассчитайте ковариационную матрицу ошибок измерения факторов — W и ковариационный вектор — w и оцените параметры регрессии как a = (M − W)−1(m − w).

4.3. Найдите оценку через ортогональную регрессию.

4.4. Сравните эти все оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

 

 

Зада ч и

 

1. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

2. Как оцениваются параметры уравнения регрессии, если известна матрица ковариации ошибок и она не диагональна с равными элементами по диа- гонали?

 

 

8.6. Упражнения и задачи                                                        283

Таблица 8.3

 

N	ε	ε z 1	ε z 2	z 0 1	z 0 2	z 1	z 2	X
1	26.19	1.96	37.94	13.9	364	15.86	401.94	92.67
2	6.94	–5.94	3.57	15.6	390	9.66	393.57	73.10
3	5.55	–13.85	–18.78	18.8	411	4.95	392.22	68.88
4	14.00	24.48	14.49	27.4	459	51.88	473.49	69.05
5	0.89	23.91	51.48	24.5	506	48.41	557.48	63.79
6	46.61	–32.80	10.99	23.7	515	–9.10	525.99	111.36
7	–20.52	13.27	11.07	26.9	517	40.17	528.07	39.87
8	10.15	–16.17	18.86	22.2	538	6.03	556.86	78.85
9	–13.95	–28.22	–18.57	26.8	541	–1.42	522.43	48.50
10	14.94	20.64	–10.89	27.7	551	48.34	540.11	76.92
11	19.38	–36.99	–0.91	19.3	576	–17.69	575.09	95.21
12	5.72	–32.44	–12.71	29.1	604	–3.34	591.29	69.97
13	1.08	25.91	7.70	25.3	610	51.21	617.70	71.17
14	11.07	10.90	9.24	25.3	616	36.20	625.24	81.64
15	5.81	–42.77	8.25	31.1	636	–11.67	644.25	69.80
16	27.21	25.63	–29.14	31.2	645	56.83	615.86	91.78
17	–11.63	–13.07	13.20	33.3	651	20.23	664.20	50.46
18	–4.24	10.27	–37.62	29.5	653	39.77	615.38	63.37
19	46.56	44.81	33.93	30.3	682	75.11	715.93	115.36
20	–7.57	–40.10	–6.34	24.7	697	–15.40	690.66	70.32

 

 

284                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

3. Рассматривается регрессионная модель X = Z α + ε. Пусть α∗ = AX — это любая несмещенная оценка параметра α. Полагая, что E (εεt) = σ2Ω, покажите, что матрица ковариации α∗ превышает матрицу ковариации αомнк = (Z tΩ−1 Z)−1 Z tΩ−1 X на какую-то положительно полуопределенную матрицу.

 

4. Докажите, что σ2

(x     z α)t Ω−

−

=

1 (x − z α)

есть оценка σ2.

омнк

N − n − 1

5. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если среднеквадратические отклонения ошибок регрессии про- порциональны какому-либо фактору?

 

6. Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия оши- бок для первых 5 наблюдений в два раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

 

7. Рассмотрите регрессию xt   = α1 t + β + ε t  , t = 1 ,..., 5, где

t

E (ε t) = 0, E (ε2) = σ2 t 2, E (ε t ε s) = 0, при   t ƒ= s. Пусть εt = (ε1, ε2, ε3, ε4, ε5) и E (εεt) = σ2Ω.

 

– определите Ω;

– найдите Ω−1;

                                                                                

α1

– найдите матрицу ковариации МНК-оценки параметра α =    ;

                                                                                

β

 

                                                                                     

α1

– найдите матрицу ковариации ОМНК-оценки параметра α =  .

                                                                                     

β

 

8. Рассмотрите регрессию xt   = α1 t + ε t  , t = 1 ,..., 5,

t

где E (ε t) = 0, E (ε2) = σ2 t 2 , E (ε t ε s) = 0, t ƒ= s. Если x = (6, 4, 9, 8, 7)t :

– определите оценку МНК для α1 и ее дисперсию;

– определите оценку ОМНК для α1 и ее дисперсию;

– сравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

 

 

9. Рассматривается модель X = Z α + ε, где ε i   — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε i) = 0 и E. ε2. = σ2 = e y i γ .

i i

 

 

8.6. Упражнения и задачи                                                        285

                                                                   

2 1

4                                                         2 1         





                                                                   



8

 5        1

3        1

                                                                     

                                                                   

                                                                   

В предположении, что X = 6  ,    Z =  2 1 , Y = 1 1 ,

                                                                   

                                                                   

                                                                   

2

 1        1

0        1

                                                                   

                                                                   

                                                                     

9                                                          10 1          2 1

 

– найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1  ZX;

– найдите ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– постройте два 95%-х доверительных интервала для α1: один непра- вильный, основанный на результатах МНК, а другой правильный, осно- ванный на результатах ОМНК;

– проверьте гипотезу γ1 = 0.

10. Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблю- дениям. S 1 и S 2 — остаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда. В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11. Приведите примеры графиков зависимостей ошибки от времени в авторе- гресионной схеме первого порядка для случаев, когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу. Что можно сказать об автокорреляции ошибок, если этот коэффициент равен нулю?

12. Ошибка в регрессии задана процессом ε i   = 0. 6ε i −1 + η i, и η — нор- мально распределенная случайная величина с E (η i) = 0, E (η2) = σ2

i     η

и i = 1 ,..., 5. Как выглядит матрица преобразования в пространстве пе-

ременных для ОМНК?

13. Проверьте, что D t D = Ω−1, где

                      





√1 − r 2           0 0  ··· 0













                                            − r   1 0  ··· 0



D = 











0

...

−

...

r 1

...

···

...





0,



..



. 



                          

                          

0                                                       0 0  ··· 1

 

 

286                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 



2

  1                                               r   r





 

··· r



N −1







   r                                                 1  r ··· r N   −2



1 



r

Ω =                                    2



1 − r 2 

r         1 ··· r



−

N   3.







.

..







...

...

...

..   



.





