Транспортная модель с промежуточными пунктами

В стандартной транспортной модели предполагается, что прямой маршрут между поставщиком и потребителем является маршрутом минимальной стоимости. Это означает, что опреде- лению стоимостей перевозок единицы продукта в стандартной транспортной модели должна предшествовать предваритель- ная работа, связанная с выявлением кратчайших маршрутов (применяются математические методы нахождения кратчай- шего пути).

Другой метод определения минимальной стоимости пря- мой перевозки связан с постановкой транспортной задачи как задачи с промежуточными пунктами. При этом допускается перевозка груза (частично или полностью) через другие пос- тавщики или потребители транзитом, прежде чем он достиг- нет установленного потребителя. В задаче с промежуточными пунктами автоматически отыскивается маршрут минимальной стоимости между поставщиком и потребителем без предвари- тельного определения кратчайшего маршрута.

Введение промежуточных пунктов дает возможность пе- ревозить весь объем МТС от поставщиков через любого другого поставщика или потребителя. Это означает, что любую вершину транспортной сети (как исходный пункт, так и пункт назначения) можно рассматривать, как транзитный пункт. Поскольку апри- ори неизвестно, какие вершины будут обладать этим свойством, можно сформулировать задачу таким образом, чтобы каждую вершину можно было рассматривать и как поставщика, и как потребителя. Другими словами, число поставщиков, так же как и число потребителей в задаче с промежуточными пунктами, равно сумме поставщиков и потребителей в стандартной задаче.

Пример 10.7. Рассмотрим задачу из примера 10.6 и сдела- ем поясняющий рисунок (при стоимости буфера В = 100) спро- са или суммарных запасов стандартной транспортной задачи (рис. 10.3), т. е.

 

.

 

Поставщик

(В = 100) + 40 →

 

(В = 100) + 60 → (В = 100) → (В = 100) → (В = 100) →

Потребитель

→ (В = 100) + 25

 

→ (В = 100) + 45

 

→ (В = 100) + 30

 

→ (В = 100)

 

→ (В = 100)

Рис. 10.3. Схема реализации

 

Стоимости в расчете на единицу груза оцениваются на ос- новании данных о маршрутах. При этом очевидно, что коэффи- циент стоимости перевозки между первоначально заданными

поставщиками и потребителями остаются такими же, как в стандартной транспортной модели. Необходимо заметить, что стоимость перевозки из некоторого пункта в него же равна нулю и стоимость перевозки может меняться в зависимости от направления движения.

В табл. 10.13 представлено оптимальное решение рассмот- ренной выше задачи с промежуточными пунктами, в которой емкость буфера равна 100.

Таблица 10.13

	Склад города	Склад области	Потребитель
			1 потр.	2 потр.	3 потр.
Склад города	100		(40)			140
Склад области		100	0	(60)	2	160
1 потр.		0	85	(15)		100
2 потр.				70	(30)	100
3 потр.		2			100	100
	100	100	125	145	130

Из таблицы видно, что диагональные элементы получены в результате использования буфера. Они не дают никакой ин- формации об окончательном решении. Внедиагональные эле- менты обеспечивают получение решения, которое представле- но на рис. 10.4.

Решение как однопродуктовой, так и многопродуктовой транспортных задач линейного программирования может быть проведено с использованием персональной электронно-вычис- лительной машины (ПЭВМ). Для этого необходимо подготовить исходные данные для пакета прикладных программ (ППП) ПЭВМ, ввести их и осуществить управление процессом реше- ния задачи, обеспечив выдачу необходимых результатов, по которым принимается решение.

40                            40     

 

60                            60     

 

 

Рис. 10.4. Схема решения задачи

 

Задачи для самостоятельного решения

10.1.Решить транспортную задачу:

А = (100, 150, 50);

В = (75, 80, 60, 85);

 

,

 

где А — вектор мощностей поставщиков; В — вектор мощностей потребителей;

С — матрица транспортных издержек на единицу груза.

10.2.Решить транспортную задачу:

А = (300, 350, 150, 200);

В = (400, 400, 200);

 

,

 

где А — вектор мощностей поставщиков; В — вектор мощностей потребителей;

С — матрица транспортных издержек на единицу груза.

10.3.Решить транспортную задачу: А = (20, 30, 40, 20);

В = (40, 40, 20);

 

,

 

где А — вектор мощностей поставщиков; В — вектор мощностей потребителей;

С — матрица транспортных издержек на единицу груза.

 

Вопросы для самопроверки

1. Поясните суть транспортной задачи и приведите ее ма- тематическую модель.

2. Какие методы существуют для нахождения опорного плана транспортной задачи?

3. В чем суть закрытой и открытой транспортных задач?

4. Как решать закрытую транспортную задачу методом потенциалов?

5. Каков алгоритм решения многопродуктовой транспорт- ной задачи?

6. Каковы постановки транспортной задачи с промежуточ- ными пунктами?

7. Какими методами можно решать транспортные задачи с промежуточными пунктами?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Агекян Т. А. Теория вероятностей для астрономов и фи- зиков. — М.: Наука, 1974.

2. Акулич И. Л. Математическое программирование в при- мерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1993.

3. Алехова О. И. и др. Типовой расчет. Определители. Мат- рицы. Системы линейных уравнений. Элементы линейной ал- гебры. — М.: МГАВТ, 2001.

4. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычис- лительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994.

5. Асеев Г. Г., Абрамов О. М., Ситников Д. Э. Дискретная математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.

6. Балдин К. В., Башлыков В. Н., Рукосуев А. В. Математи- ка. — М.: ЮНИТИ, 2006.

7. Балдин К. В., Быстров О. Ф. Математические методы в экономике. Теория, примеры, варианты контрольных работ. — Москва-Воронеж, 2003.

8. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1989.

9. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс матема- тического анализа. — М.: Наука, 1969.

10. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: В 3 т. — М.: Дрофа, 2003.

11. Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. — Минск: Юнипресс, 2002.

12. Венцтель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М.: Наука, 1989.

13. Верещагин Н. К., Шень А. Начала теории множеств. — М.: МЦНМО, 1999.

14. Власов В. Г. Конспект лекций по высшей математике. — М.: АЙРИС, 1997.

15. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: ДЖАНГАР—Большая медведица., 2001.

16. Гончарова Г. А., Мочалин А. А. Элементы дискретной математики. — М.: ФОРУМ—ИНФРА-М, 2003.

17. Грес П. В. Математика для гуманитариев. — М.: ЮРАЙТ, 2000.

18. Грешилов А. А. Прикладные задачи математического программирования. — М.: МГТУ, 1990.

19. Гусак А. А. Справочное пособие к решению задач: мате- матический анализ и дифференциальные уравнения. — Минск: ТетраСистемс, 1998.

20. Гусак А. А. Справочное пособие к решению задач: ана- литическая геометрия и линейная алгебра. — Минск: Тетра- Системс, 2003.

21. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Астрель· АСТ, 2006.

22. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тыш- кевич Р. И. Лекции по теории графов. — М.: Наука, 1989.

23. Справочник по математике для эÖÃономистов / Под ред. › ¡ žÉŹÃÇ»¹ — М.: Высшая школа, 1987.

24. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геомет- рии. — М.: Наука, 1969.

25. Идельсон А. В., Блюмкина И. А. Аналитическая геомет- рия. Линейная алгебра. — М.: ИНФРА—М, 2000.

26. Клименко Ю. И. Высшая математика для экономистов. Теория, примеры, задачи. — М.: Экзамен, 2005.

27. Клиот-Дашинский М. И. Алгебра матриц и векто- ров. — СПб.: Лань, 2001.

28. Коваленко Н. С., Чепелева Т. И. Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геомет- рия. — Минск: ЧУП Изд-во Юнипресс, 2006.

29. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7–9 классов. — М.: Просвещение, 1991.

30. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Обыкно- венные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. — М.: URSS, 2005.

31. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука,1989.

32. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. — М.: На- ука,1990.

33. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970.

34. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: ГИФМЛ, 1962.

35. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика. — М.: Высшая школа, 1991.

36. Лунеев В. В. Юридическая статистика. — М.: ЮРИСТЪ, 1999.

37. Максимов Ю. Д. и др. Курс высшей математики для гу- манитарных специальностей. — СПб.: Специальная литерату- ра, 1999.

38. Математика для бакалавров технических специальнос- тей: Т. 1. Общие разделы / Под общ. ред. Ю. Д. Максимова. — СПб.: Специальная литература, 1999.

39. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика: Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы анали- тической геометрии. — Минск: Амалфея, 1999.

40. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука,1976.

41. Мордкович А. Г., Солодовников А. С. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1990.

42. Немыцкий В. В. и др. Курс математического анализа: В 2 т. — М.: ГИТГЛ, 1957.

43. Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968.

44. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное ис- числения: В 2 т. — М.: Наука,1964.

45. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей матема- тике. — М.: АЙРИС ПРЕСС, 2005.

46. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероят- ностей и математической статистике. — М.: АЙРИС ПРЕСС, 2004.

47. Подольский В. А., Суходский А. М. Сборник задач по высшей математике. — М.: Высшая школа, 1974.

48. Курс высшей математики / Под ред. П.И. Романовско- го. — М.: Высшая школа, 1964.

49. Рублев А. Н. Линейная алгебра. — М.: Высшая школа, 1968.

50. Индивидуальные задания по высшей математике. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля / Под общ. ред. А. П. Рябушко. — Минск: Вэшэйшая школа, 2005.

51. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

52. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгорит- мы. — М.: Мир, 1984.

53. Общая алгебра: Т. 1. / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990.

54. Смолич Б. А. Уравнительные вычисления. — М.: Недра, 1989.

55. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы диск- ретной математики. — М.: ИНФРА—М, 2002.

56. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.

57. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.; Л.: Физматгиз, 1963.

58. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории мно- жеств. — М.: Наука, 1966.

59. Эльсгольц Л. Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — СПб.: Лань, 2002.

 

 

Главный редактор — А. Е. Илларионова Редактор — В. Н. Рогожкин Художник — В. А. Антипов

Верстка — Н. В. Байкова

Корректоры — В. Ш. Мерзлякова, Г. М. Мубаракшина

Ответственный за выпуск — А. Ф. Пилунова

Учебное издание

Краткий курс высшей математики

 

Под общей редакцией доктора экономических наук, профессора К. В. Балдина

 

 

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 77.99.60.953.Д.007399.06.09 от 26.06.2009 г.

Подписано в печать 30.01.2013. Формат 60 × 84 1/16.

Печать офсетная. Бумага газетная. Печ. л. 32.

Тираж 1000 экз.

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.

Для писем: 129347, Москва, п/о И-347 Тел./факс: [phone]

E-mail: [e-mail] — отдел продаж [e-mail] — офис; http://www.dashkov.ru

Отпечатано в ГУП Академиздатцентр «Наука» РАН,

ОП Производственно-издательский комбинат «ВИНИТИ»-«Наука», 140014, Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский пр-т, д. 403.

Тел./факс: [phone].