Вопрос 27 Равномерное и нормальное распределения.

Нормальное распределение. Нормальное распределение вероятностей особенно часто используется в статистике. Нормальное распределение дает хорошую модель для реальных явлений, в которых: 1) имеется сильная тенденция данных группироваться вокруг центра; 2) положительные и отрицательные отклонения от центра равновероятны; 3) частота отклонений быстро падает, когда отклонения от центра становятся большими.

Идея состоит в том, что при суммировании большого числа независимых величин в определенных разумных условиях получаются именно нормально распределенные величины. И это происходит независимо, то есть инвариантно, от распределения исходных величин. Иными словами, если на некоторую переменную воздействует множество факторов, эти воздействия независимы, относительно малы и слагаются друг с другом, то получаемая в итоге величина имеет нормальное распределение.

Формально плотность нормального распределения записывается так: φ(x,a,σ ²)=1\√2п σ * e ^{(- ( x - a )2\2σ2)} (-(x-a) ² \2σ ²), где а и σ ² - параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (ввиду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения).

Равномерное распределение. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение (f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Из условия нормировки следует, что ∫ _a ^b f(x)dx=∫ _a ^b cdx=c(b-a)=1, откуда f(x)=c=1\b-a. Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины равна при этом ∫ _α ^β 1\b-a dx=β-α\b-a.Равномерное распределение полезно при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, иными словами, значения переменной равномерно распределены в некоторой области.

Ниже приведены формулы плотности и функции распределения равномерной случайной величины, принимающей значения на отрезке [а, b]. f _ξ (x)= {1\b-a, при а≤х≤b; 0, при x<а и b>x/. F _ξ (x)={0, при x≤a; x-a\b-a, при a<x≤b; 1, при b>x. Из этих формул легко понять, что вероятность того, что равномерная случайная величина примет значения из множества [с, d] [а, b], равна (d — c)/(b — a).

Вопрос 28 Предельные теоремы о связи биномиальной и случайной величины со случайными величинами Пуассона и Гаусса (предельная теорема Пуассона в схеме Бернулли, локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа).

Теорема Пуассона в схеме Бернулли. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,97 ⁹⁹⁹ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона: P _n (k)=ᴧ ^k \k! *e ^{- ᴧ},ᴧ=np (ᴧ-лямбда) – среднее число появлений события в n испытаниях. Эта формула дает удовлетворительное приближение для p<=0,1 и np<=10. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).Пусть P _n - вероятность успеха в серии из n испытаний и при и n→∞ np _n =ᴧ - остается постоянным. Тогда P _n (k)→e ^{- ᴧ} ᴧ ^k \k!

Локальная формула Лапласа. Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью P, q=1-p.Обозначим как и раньше, через P _n (k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. кроме того, пусть P _n (k ₁;k ₂) вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2. Локальная теорема Лапласа. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то P _n (k)≈1\√npq φ(k-np\√npq), где φ(x)=1\√2п *e ^{x 2\2} - функция Гаусса.

Интегральная формула Муавра-Лапласа. Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью P, q=1-p.Обозначим как и раньше, через P _n (k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. кроме того, пусть P _n (k ₁;k ₂)– вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2. Интегральная теорема Лапласа. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то P(n; k1, k2) P _n (k ₁;k ₂)≈φ(k ₂ -np\√npq)-φ(k ₁ -np\√npq), где φ(x)=1\√2п ∫ _a ^x e ^{- t 2\2} dt - функция Лапласа.
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) φ(-x)= φ(x),Ф(-х)=-Ф(х) б) при больших x верно φ(х)≈0, Ф(х)≈0,5. Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq>=9. Причем чем ближе значения q,p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).