Пр.13 «Составление систем уравнений Колмогорова. Нахождение финальных вероятностей»

Цель:

1. Отработать и закрепить умения составлять системы уравнений Колмогорова для непрерывной цепи Маркова.

2. Отработать и закрепить умения находить финальные вероятности состояний непрерывной цепи Маркова.

Задача 1.

Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова, для непрерывной Марковской цепи, характеризующейся графом состояний из первого задания Практической работы №12.

Вариант №6

Начертим размеченный граф состояний, соответствующий матрице P.

Рис.1

 Рис.2

Размеченным графом будем считать такой граф, у которого стрелками указаны переходы из одного состояния в другое, а рядом со стрелкой указана интенсивность перехода. Будем различать 2 интенсивности – прямую λ, и обратную u.

Тогда  - интенсивности потоков отказов соответственно первого узла, а  - соответственно интенсивности потоков возвратов узлов.

На основе построенного размеченного графа создадим математическую модель.

Наше техническое устройство в соответствии с построенным графом в любой момент времени будет находиться в одном из восьми возможных состояний. Обозначим вероятность каждого i-го состояния как pi(t), тогда

Для определения вероятности каждого состояния технического устройства составим соответствующие дифференциальные уравнения:

Задача №2

Техническое устройство состоит из 3узлов и в любой момент времени может находиться в одном из состояний.

 

Численные значения интенсивности потоков событий:  по вариантам даны в таблице.

Найти финальные вероятности состояний устройства с помощью таблиц MS Excel.

№Вар	λ1	λ2	λ3	u1	u2	u3
14	2	1	1	2	2	2

Решение:

Подставим Значения из таблицы и упростим уравнения.

Для составления матриц этой системы уравнений и автоматизации процесса решения, запишем ее в следующем виде:

 

Таким образом в этой системе имеем матрицу А:

	2	-4	0	0	2	0	2	0
	1	0	-5	0	0	2	2	0
	1	0	0	-5	2	2	0	0
А =	0	1	0	2	-5	0	0	2
	0	0	1	1	0	-6	0	2
	0	1	2	0	0	0	-5	2
	-4	2	2	2	0	0	0	0
	1	1	1	1	1	1	1	1

 

Матрица свободных членов В:

	0
	0
	0
В =	0
	0
	0
	0
	1

 

Матрица неизвестных Х:

	p0
	p1
	p2
Х =	p3
	p4
	p5
	p6
	p7

 

Чтобы найти решение – вектор столбец Х, в MS Excel нужно с помощью соответствующих функции «МОБР» найти матрицу обратную к матрице А и умножить ее на вектор-столбец В.

 

 

	-0,11587	-0,09841	-0,09841	-0,04127	-0,02857	-0,04127	-0,30159	0,222222
	-0,27302	-0,0127	-0,0127	-0,06984	0,028571	-0,06984	-0,0873	0,222222
	0,020635	-0,21111	0,026984	0,04127	-0,04286	-0,05397	-0,00794	0,111111
- A =	0,020635	0,026984	-0,21111	-0,05397	-0,04286	0,04127	-0,00794	0,111111
	0,034921	0,084127	-0,01111	-0,16825	0,042857	0,069841	0,063492	0,111111
	0,074603	0,03254	0,03254	0,053968	-0,13571	0,053968	0,06746	0,055556
	0,034921	-0,01111	0,084127	0,069841	0,042857	-0,16825	0,063492	0,111111
	0,203175	0,189683	0,189683	0,168254	0,135714	0,168254	0,210317	0,055556

 

	p0 =	0,222222
	p1 =	0,222222
	p2 =	0,111111
p =	p3 =	0,111111
	p4 =	0,111111
	p5 =	0,055556
	p6 =	0,111111
	p7 =	0,055556
	Сумма	1

 

Получив решение необходимо выполнить проверку нормировочного условие, т.е. сумма найденных неизвестных членов должна быть равна 1.

 

Пр.14 «Вычисление предельных вероятностей состояний для процесса гибели и размножения»

Цель:

Отработать и закрепить умения вычислить предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения.

Вариант 26.

Дана система, которая может находиться в одном из пяти состояний. Система работает по схеме процесса гибели и размножения, граф которого показан на рисунке Рис. 1

Рис.1

Числовые значения интенсивности перехода системы из состояния в состояние заданы в таблице 1.

 

(Табл. 1)

λ12	λ23	λ34	λ45	λ21	λ32	λ43	λ54
1	1	1	5	1	5	1	5

Решение:

Вычислим финальные вероятности событий. Составим систему линейных уравнений:

для первого состояния S1 имеем:

(1.1)

для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены  и  и получим:

 

Так же для события S3:

для события S4:

и для события S5:

Итак, предельные вероятности  в этой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям и нормировочному условию:

Решим эту систему уравнений. Будем решать эту систему следующим образом:

из первого уравнения выразим p2:

(1.2)

из второго, с учетом (1.2), получим:

(1.3)

из третьего, с учетом (1.3), получим:

из четвертого, с учетом предыдущего, получим:

Подставим вероятности в нормировочное условие:

Получаем

Вставим числовые значения в формулу:

Остальные вероятности выражаются через :

Подставим числовые значения:

Проверим правильность вычислений, подставив найденные значения предельных вероятностей в нормировочное условие: