Работа силы и момента силы. Мощность

  Работа – это одна из форм передачи энергии от одних тел к другим. Поэтому работа совершается за счет убыли энергии одного из тел.

  Два основных способа определения работы.

  1) Известна сила F, под действием которой перемещается тело. В этом случае работа на участке траектории от точки 1 до точки 2 определяется по формуле:

;

где  – малое перемещение тела, на котором величину силы можно считать постоянной;   – угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

  Если сила постоянна (не изменяется ее величина и угол α), то формула для вычисления работы принимает простой вид:

                                                         

где – путь, пройденный телом под действием силы .

  Аналогично вычисляют работу момента силы:

.

  2) Сила неизвестна, но известна механическая энергия тела . В этом случае работу вычисляют как приращение энергии тела, т. е. как разность энергии тела в конечном и начальном состояниях:

   Мощность характеризует быстроту (интенсивность) совершения работы:

;

При поступательном движении тела: ; 

При вращательном движении: .

Понятие механической энергии. Кинетическая энергия тела

При поступательном и вращательном движении

  В механике рассматривают механическую энергию, складывающуюся из кинетической   и потенциальной энергии .

  Кинетическая энергия – это энергия, зависящая от скорости движения тела.

 При поступательном движении тела массой m со скоростью v его кинетическая энергия

.

  При вращательном движении тела, имеющего момент инерции I, c угловой скоростьюw его кинетическая энергия

 .

  При одновременном участии тела в обоих видах движения кинетическая энергия определяется формулой

.

Понятие потенциальной энергии. Градиент потенциальной энергии. Примеры вычисления потенциальной энергии

  Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием тел и зависящая от положения тел или их частей относительно друг друга. Потенциальной энергией обладают все упруго деформированные тела, например, растянутая или сжатая пружина, а также все тела, которые притягиваются или отталкиваются друг от друга: Земля и другие планеты, взаимодействующие с Солнцем, молекулы, заряженные тела. Потенциальная энергия всегда взаимная, она относится к обоим взаимодействующим телам.

  Для тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h, потенциальная энергия  определяется по формуле

.

Эта формула справедлива только для случая, когда , где  – радиус Земли, и если за нулевой уровень  принимают энергию тела на поверхности Земли.

  Для упруго деформированной пружины (пластины) и т. п.

,

где k – коэффициент упругости или жесткость пружины;  – величина деформации: удлинение или сжатие тела.

  Вид функции потенциальной энергии находят, вычисляя неопределенный интеграл:

где  – постоянная интегрирования, зависящая от выбора нулевого уровня . Используя эту формулу для расчета  любого тела и Земли  и учитывая, что сила их взаимного притяжения  , получаем

,                                            

где – гравитационная постоянная; m и  – массы тела и Земли; r – расстояние от центра Земли до центра масс тела. Формула дает значение  тела относительно его положения в бесконечности, в котором .

  Таким образом, потенциальная и кинетическая энергия тела являются величинами относительными, т. е. их численное значение зависит от выбора системы отсчета.

  Градиент потенциальной энергии – это вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания энергии:

.

Проекция градиента  на направление силы равна производной от функции  по координате :

;