Определение коэффициента температуропроводности тела методом регулярного режима

 

Цель работы: определение коэффициента температуропроводности материала методом регулярного режима первого рода и получениe практических навыков по его осуществлению.

 

Общие положения

В теории теплообмена тела рассматриваются как сплошные среды, наделенные теплофизическими свойствами. К ним относятся коэффициент теплопроводности l, коэффициент температуропроводности , удельная теплоемкость с.

Экспериментальные методы определения теплофизических свойств принято разделять на стационарные и нестационарные методы. В отличие от стационарных, нестационарные методы позволяют:

- ограничиться лишь измерением температуры в нескольких точках;

- нет необходимости применения значительного количества термопар для надёжного определения температуры поверхности опытных образцов;

- избежать измерения тепловых потоков;

- относительно малое время проведения эксперимента;

- возможность получения значений теплофизических свойств в широком интервале изменения температур.

В лабораторной работе рассматривается один из нестационарных методов - метод регулярного режима первого рода для определения значения коэффициента температуропроводности материала, являющегося плохим проводником тела.

Метод регулярного режима первого рода вытекает из анализа решения дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности

 

,                (1)

 

относительно температуры при граничных условиях третьего рода и соблюдении постоянства коэффициента теплоотдачи a и температуры окружающей среды t_Ж.

В этом случае изменение температуры во времени для любой точки тела, имеющего форму неограниченной пластины, цилиндра, шара, при равномерном распределении температуры в начальный момент времени выражается в виде бесконечного ряда.

 

 

Общий вид решения этого уравнения:

,               (2)

 

где θ – относительная избыточная температура;

Т – текущая температура в рассматриваемой точке тела;

Т_о – начальная температура тела;

Т_Ж – температура окружающей среды;

А_n – постоянные коэффициенты, значения которых определяются начальными условиями;

μ_n – корни характеристического уравнения.

 

Вид функции U_n (ξ, μ) и характеристического уравнения определяются формой тела и условиями на его границах.

Например, для неограниченной пластины они имеют вид:

 

;               (3)

 

где δ – характерный размер – полутолщина пластины;

х – поперечная координата.

 

В формулы (2), (3) входят критерии подобия – числа Био и Фурье.

Число Био характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности тела к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе раздела твердое тело – жидкость.

 

,                                     (4)

где α – коэффициент теплоотдачи;

ℓ_о– характерный размер тела;

λ – коэффициент теплопроводности материала.

Число Фурье представляет собой безразмерное время.

 

,                                       (5)

где τ – время;

 – коэффициент температуропроводности материала.

 

В любом случае последовательность корней характеристического уравнения является монотонной и неограниченно возрастающей. Поэтому наличие в составе членов ряда (1) экспериментального сомножителя приводит к тому, что при достаточно больших значениях числа Фурье скорость сходимости ряда (1) становится весьма высокой и температурное поле с хорошей точностью определяется первым членом ряда

.                       (6)

 

Дифференцируя обе части по времени, получаем:

 

,           (7)

 

или                                       ,

 

.          (8)

 

Режим охлаждения, описываемый уравнением (7), называется регулярным режимом. Вeличина m называется темпом охлаждения и представляет из себя относительную скорость изменения температуры тела во времени и может быть определена как тангенс угла наклона к температурной кривой.

В регулярном режиме темп охлаждения постоянен и одинаков для всех точек тела, поэтому температурное поле в толще тела остаётся постоянным. Время начала регулярного режима определяется величиной числа Фурье, лежащей в диапазоне 0,3….0,6 для разных тел.

Выражение, определяющее темп охлаждения, включает зависящий от числа Био корень характеристического уравнения, поэтому темп охлаждения также должен зависеть от числа Био, а значит от условий охлаждения на поверхности тела. При Bi®¥ корни характеристического уравнения уже не зависят от числа Био. Так, для неограниченной пластины из (3) следует, что при Bi®¥ характеристическое уравнение принимает вид ctg = 0 с последовательностью корней

,                                       (9)

не зависящей от числа Био.

В этом случае темп охлаждения прямопропорционален коэффициенту температуропроводности тела

 

,                                        (10)

 

где К - постоянный коэффициент, зависящий от формы и размеров тела:

для параллепипеда со сторонами: ℓ₁,ℓ₂ и ℓ₃

 

,                                                     (11)

 

для цилиндра радиусом R и длиной ℓ:

,                                                             (12) 

для шара радиусом R:

,                                            (13)

 

Зная этот коэффициент, и определив экспериментально темп охлаждения, можно найти значение коэффициента температуропроводности материала тела из (10).