Теория упругопластического течения

Поскольку процесс нагружения сварных соединений нельзя считать простым (компоненты деформации изменяются не пропорционально), целесообразно применять вариант теории пластичности, который носит название теории течения. Согласно этой теории, компоненты девиатора скоростей пластических деформаций  пропорциональны компонентам девиатора напряжений  (уравнения Прандтля - Рейсса):

 ,                                                  (12.65)

где  - интенсивность скорости пластических деформаций, .

При компьютерном моделировании нагружения, близкого к простому (при монотонном изменении всех граничных условий), решение может быть получено за один шаг. В этом случае девиатор напряжения совпадает по направлению с девиатором скорости полной деформации (они отличаются друг от друга только скалярным множителем, ). Удельная мощность упруго-пластических деформаций  совпадает по знаку с этим множителем. Если она положительна, то материал испытывает нагружение, а если отрицательна – разгрузку. Приращения интенсивностей полной и упругой деформации могут иметь любой знак, приращение интенсивности пластической деформации всегда неотрицательно:

;

,                  (12.66)

где индексы «–» и «+» указывают на значения параметров в начале и конце шага моделирования. Для материала без упрочнения, если все параметры в формуле (12.66) известны, можно найти компоненты девиаторов напряжений и деформаций в конце шага простого нагружения:

.                                            (12.67)

Чтобы найти  в материале с диаграммой упрочнения

,                                                  (12.68)

необходимо вначале найти  из решения системы уравнений (12.66) и (12.68).

Разгрузка, как правило, происходит упруго, согласно формулам (12.61). Пластические деформации при разгрузке возможны, если происходит изменение температуры и уменьшение интенсивности упругих деформаций за счет изменения предела текучести и модуля упругости превосходит уменьшение интенсивности полной деформации.

Более сложные пути нагружения следует разбивать на шаги, в пределах каждого из которых путь деформирования принимают линейным, т. е. соотношения между компонентами приращений полной деформации не изменяются. Мерой сложности процесса нагружения может служить параметр безразмерной мощности деформаций

.                                               (12.69)

Его можно интерпретировать как косинус угла рассогласования девиаторов  и . При простом нагружении ω = 1; при предельно сложном, когда траектория деформирования резко меняет направление, девиаторы  и  становятся ортогональными, тогда ω = 0 (например, при смене закручивания трубчатого образца на его осевое растяжение). При разгрузке ω < 0.

Процесс изменения по мере развития пластической деформации представляет собой поворот, с некоторым запаздыванием, вслед за .

Рассмотрим случай, когда девиатор деформации содержит две независимые компоненты (например, происходит растяжение  и закручивание  трубчатого образца). Тогда этот девиатор можно изобразить в виде вектора (рис. 12.22). Второй вектор с нормальной  и касательной  компонентами изображает девиатор напряжения. При простом нагружении (шаг 1 на рис. 12.22) направления двух векторов совпадают. Если направление вектора деформации резко изменится (начиная с шага 2 на рис. 12.22), то направление вектора напряжения начнет изменяться вслед за ним.

Рис. 12.22. Деформация и напряжение при сложном нагружении

 

При этом на линейном участке траектории деформирования (при постоянном направлении ) угол рассогласования монотонно уменьшается, а ω растет, стремясь к единице (процесс приближается к простому нагружению). Если в начале шага , то изменение ω происходит по закону гиперболического тангенса

,                                                  (12.70)

где  – отношение интенсивности упругопластической деформации к деформации текучести  (рис. 12.23). Это конечное (не дифференциальное) математическое выражение теории упругопластического течения для кусочно-линейной траектории деформирования, удобное для численной реализации.

Из рис. 12.23 видно, что поворот  практически завершается при , после чего процесс нагружения становится близким к простому.

Рис. 12.23. Сближение направлений девиаторов деформаций и напряжений по мере развития пластической деформации

 

Если в начале шага  (например, начинается растяжение трубчатого образца, а его закручивание продолжается), то закономерность (66) сохраняется, но процесс идет от некоторого промежуточного состояния (). Определив  по формуле (9), можно найти

 ;                                                 (12.71)

 ,                                                 (12.72)

где - среднее значение за шаг.

Общая формула для вычисления компонент девиатора напряжения в конце пластического шага при :

.                       (12.73)

В конце упругого шага

.                                             (12.74)

Тензор напряжений в конце шага

,                                                  (12.75)

где 

.                                    (12.76)

На шаге возможен переход материала из упругого состояния в пластическое и наоборот (рис. 12.24).

Рис. 12.24. Схема шага решения по теории течения для материала с изотропным упрочнением (частный случай – идеальный упругопластический материал)

 

Если  изобразить в виде вектора S в пространстве напряжений (рис. 12.24, а), то условием наступления текучести будет выход вершины вектора на поверхность текучести – гиперсферу, радиус которой равен пределу текучести. Упругому состоянию соответствует положение вектора внутри поверхности текучести ( на рис. 12.24, б). Если в конце предыдущего шага было состояние текучести ( на рис. 12.24, в), то в начале следующего возможна упругая разгрузка при условии

.                                                  (12.77)

Причиной разгрузки может быть отрицательное значение  (если вектор Δ e, изображающий девиатор деформации, направлен внутрь поверхности текучести, как на рис. 12.24, в) либо рост на шаге деформации текучести .

Если условие (12.77) не выполнено, то весь шаг пластический. Если шаг начался с разгрузки (рис. 12.24, в), или состояние в начале шага упругое (), а в конце шага, вычислив  по (12.74), получаем , то шаг необходимо разделить на две части, первая из которых упругая (от  до  на рис. 12.24, б,в), а вторая – пластическая (от  до ). Для первой части шага применяют формулу (12.74), для второй - (12.73). Доля упругой части шага r может быть найдена из квадратного уравнения, из условия, что в момент наступления текучести :

.                 (12.78)

Изменение влияет на приращение пластической деформации за шаг и может привести к текучести даже при нулевой деформации за шаг (при ).

При произвольной диаграмме упрочнения необходимо найти на ней новую точку в конце шага решения из нелинейного алгебраического уравнения. При сложном нагружении

; ,                             (12.79)

где  - среднее значение ω за шаг,

.                 (12.80)

Модуль упрочнения H равен тангенсу угла наклона касательной к диаграмме упрочнения:

.                                         (12.81)

Приращение интенсивности пластической деформации за шаг

,               (12.82)

где  - среднее значение  за шаг,

.                                                (12.83)

Для материала с постоянным модулем упругости

.                                               (12.84)

.                                            (12.85)

Для участка диаграммы без упрочнения ;

.                                 (12.86)

Алгоритм применения формул (12.68)-(12.86):

1) принимаем и находим приближенное значение  по (12.83);

2) находим приближенное значение по (12.82) и новое значение параметра Одквиста , который используется в качестве аргумента для диаграммы упрочнения при сложном нагружении;

3) находим  по диаграмме упрочнения, ;

4) находим по формуле (12.85) для участка диаграммы с упрочнением или (12.86) для участка без упрочнения;

5) находим компоненты в конце шага по формуле (12.73).

Текущее напряженно-деформированное состояние материала с изотропным упрочнением характеризуют следующие данные:

1) девиатор напряжения ;

2) девиатор деформации ;

3) точка на диаграмме упрочнения: параметр Одквиста  и интенсивность напряжения , соответствующая текущему значению предела текучести.

Для перехода к следующему шагу моделирования необходимы:

1) девиатор приращения деформации ;

2) модуль сдвига G;

3) диаграмма упрочнения (12.68).

Состояние в начале шага может быть представлено вектором , заканчивающимся внутри или на поверхности текучести (см. рис. 12.24).

В связи с выпуклостью поверхности текучести и линейностью траектории приращения деформации на шаге возможны только три варианта развития процесса:

1) упругий в течение всего шага;

2) пластический в течение всего шага;

3) упругий в начале шага с переходом к пластическому в конце.

Если исходное состояние упругое (рис. 12.24, б) или началась разгрузка (рис. 12.24, в), то изменение девиатора вначале происходит по закону Гука. В зависимости от соотношения параметров, шаг может завершиться упругим или пластическим (, ) состоянием. В последнем случае часть шага происходит по закону Гука (от до ), а остальная часть (от до ) - по закону течения.

На протяжении упругопластической части шага (рис. 12.24, а) идет упрочнение, при этом поверхность текучести расширяется во все стороны, а ее центр остается на месте. В рамках этой модели упрочнение монотонно растет. После упругой разгрузки, независимо от траектории деформирования, текучесть возобновляется только если интенсивность напряжения превысит максимальный из ранее достигнутых уровней упрочнения. Эти уровни могут быть изображены в пространстве напряжений в виде поверхностей упрочнения (см. рис. 12.24, а). Каждая такая поверхность показывает положение поверхности текучести при достижении соответствующего уровня упрочнения.

Компоненты приращения пластической деформации за шаг могут быть найдены по формуле:

 .                        (12.87)