Высказывания. Понятия. Простые высказывания

Математическая логика– это анализ методом рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. математическая логика исследует соотношения между основными понятиями математики, на базе которых доказываются математические утверждения. Простейшую из формальных логических теорий называют алгеброй высказываний.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, C…, P, Q…, X,Y, Z.

Рассмотрим примеры.

1) Волга впадает в Каспийское море.

2) Два меньше трех.

3) «2 ´2 = 4».

4) «5<6».

5) Река Дон в 2002 году н.э. впадала в Каспийское море.

6) «x<2, xÎR». (Вещественное число меньше чем два).

7) Площадь отрезка меньше длины куба.

8) Является ли x=3 корнем уравнения x² - 5x = 0?

9) Меньше один в является два при.

10) Слава российским студентам!

11) 3 ³5

В приведенных примерах высказываниями являются 1), 2), 3), 4), 5), 11).

Причём, 1), 2), 3), 4) – истинные высказывания, а 5) и 11) – ложные.

Пример 7) – это пример связного повествовательного предложения, которое не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать, истина оно или ложь (из-за отсутствия какого-либо смысла).

8) и 10) не являются высказываниями, так как не являются повествовательными предложениями.

9) не является высказыванием, несмотря на его повествовательность (в конце стоит точка), по причине его несвязности, а значит, и отсутствия смысла.

Предложение примера 6) не является высказыванием, несмотря на свою повествовательность, связность и осмысленность. В нем содержится переменная, и из-за ее присутствия это предложение обладает свойством превращаться в высказывание при фиксации значения этой переменной. Если через P(x) обозначить предложение примера 6, то P(-1) – истинное высказывание, P(3) – ложное высказывание. Ясно, что объекты такого типа являются обобщением понятия высказывания. К изучению этих объектов мы приступим позже.

В дальнейшем нас будет интересовать не то, о чем идет речь в высказывании (его содержательная часть), а лишь какое значение истинности («истина», «ложь») оно имеет. В алгебре высказываний все высказывания, имеющие одинаковые значения истинности, взаимно заменяемы.

 

Составные высказывания

В русском языке (как и в любом другом) из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок (конструкций) можно образовывать новые (составные) повествовательные предложения.

 Поставим в соответствие высказыванию логическую переменную x, которая принимает значение 1, если высказывание истинно, и 0 если высказывание ложно.

Составные высказывания будем получать из простых с помощью логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, которые осуществляются при помощи логических связок: , Ù, Ú, ®, «.

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	не	ù, Ø,
Конъюнкция	и	×, Ù или знак может быть опущен
Дизъюнкция	или	Ú
Импликация	если…то	®
Эквивалентность	тогда и только тогда, когда	« ~

 

Пример. Пусть А, В обозначают следующие высказывания:

A: «Солнце светит», В: «Трава зеленеет». Тогда

1)  можно интерпретировать как «Солнце светит, и трава зеленеет».

2)  «Солнце светит, или трава зеленеет».

3)  «Солнце светит, но трава не зеленеет».

4) «Если солнце светит, то трава зеленеет».

 

 

Работу составила преподаватель                    Т.С. Пронина

 

 

             

                                          Практическое занятие №2

1 Наименование работы:  Логические операции.

2 Цель работы: Научиться составлять и читать высказывания, использовать логические операции в высказываниях, таблицах истинности.

Формирование ОК 1, 3- 5, 9; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 1.2, 2.4. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: Логические операции.

4 Литература:

4.1 Конспект лекций по учебной дисциплине «Элементы математической логики», 2016

4.2 Приложение к ПЗ №2.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

Основная часть

6.1 Постройте таблицы истинности для пунктов задания 6.2 и 6.3 ПЗ № 1. Укажите тавтологии и опровержения, если таковые имеются.

6.2 Постройте таблицы истинности для следующих выражений и определите, являются ли они тавтологией или противоречием (опровержением).

1) ;

2) ;

3) .

6.3 Проверьте, пользуясь таблицами истинности, эквивалентность следующих высказываний. Определите, являются ли они противоречием или тавтологией.

а) ;                               в) ;

б) ;                                г) .       

6.4 В каких случаях приведенные ниже данные противоречивы?

1) A= 1, = 1

2) A= 0, = 1

3) A= 1, = 0

4) A= 0, = 1

Вариативная часть:

6.5 Известно, что  имеет значение 1. Что можно сказать о значениях нижеприведенных выражений? Объясните, почему?

а) ;

б) ;

в) .

6.6 Докажите тождественную истинность выражения

6.7 При каких значениях переменных P,Q,R следующие выражения ложны? Объясните, почему.

1) ;

2) ;

3)

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.4) и сдайте зачет. В случае получения зачета, выполните вариативную часть (п.п.6.5 – 6.6).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

1 Что такое тавтология, опровержение?

2 Постройте таблицы истинности для логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

3 В каком порядке при отсутствии скобок выполняются логические операции?

4 Какие формулы алгебры высказываний являются эквивалентными?

            

            Приложение к практическому занятию по ЭМЛ № 2