Уравнение сохранения энергии

Если к установившемуся потоку газа между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 1.9) подводится извне (в расчете на единицу массы) работа  и теплота , то

 ,

где  и с - энтальпия единицы массы и скорость потока газа в соответствующих сечениях.

В параметрах заторможенного потока это уравнение имеет вид

.

Рис. 1.9. К составлению уравнения сохранения энергии

То есть, теплота и работа, подведенные к газу, приводят к повышению его полной энтальпии.

Эти уравнения получены в предположении, что вся работа, затраченная на преодоление сил вязкого трения и других возможных форм гидравлических потерь (обозначим её ), в результате диссипации механической энергии полностью превращается в теплоту , т.е. .

УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ

Согласно первому закону термодинамики в дифференциальной форме

. Применив это его выражение к процессу перемещения газа между сечениями 1-1 и 2-2 канала, получим

Здесь Q - вся теплота, подводимая к единице массы газа при её движении газу между сечениями 1-1 и 2-2. Она, в свою очередь, представляет собой сумму теплоты, подводимой извне (Q _внеш), и теплоты Q_r, выделившейся в результате вязкостного трения и других процессов диссипации кинетической энергии.

Обозначим гидравлические потери кинетической энергии через L_r. Они численно равны Q_r, т.е. . Тогда получим:

ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

 

Если из уравнения сохранения энергии

вычесть уравнение первого закона термодинамики ,

то получим следующее уравнение

Это уравнение называется обобщенным уравнением Бернулли. Оно показывает, что подведенная к газу внешняя работа расходуется на его политропическое сжатие, изменение кинетической энергии и преодоление гидравлического сопротивления.

 

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Рис. 1.10. Силы, действующие на профиль в потоке

При проектировании газотурбинных двигателей, анализе их рабочего процесса и расчете эксплуатационных характеристик возникает необходимость определения сил взаимодействия газа с элементами двигателя, находящимися в потоке (например, при определении усилий, действующих на лопатки компрессора и турбины, силы тяги, создаваемой двигателем, и т.д.)

Рассмотрим аэродинамический профиль, обтекаемый потоком (рис. 1.10).

Вектор аэродинамической силы , действующей на этот профиль, можно определить, интегрируя силы давления  и трения , с которыми газ действует на поверхность f этого профиля, т.е.

.

Очевидно, что профиль воздействует на газ с силой , равной по величине, но противоположно направленной, т.е. = – .

Рис. 1.11. К объяснению теоремы Эйлера

Однако определение силы  интегрированием сил давления и трения газа в инженерной практике затруднительно, т.к. значения и распределение этих сил по поверхности обтекаемого тела довольно сложно определить.

Но, если использовать теорему Эйлера об изменении количества движения газового потока при обтекании тела, то аэродинамическую силу, действующую на тело, можно определить без знания   и  во всех точках обтекаемой поверхности.

Примем, что движение газа установившееся. Выделим произвольной поверхностью F некоторый объем газа, окружающий обтекаемое тело, например, профиль. Такую поверхность обычно называют ²контрольной поверхностью². На рис. 1.11 показано плоское сечение этой поверхности.

Отбросим газ вне контрольной поверхности и заменим его действие на газ внутри этой поверхности силами давления и трения.

Тогда в соответствии с теоремой Эйлера, при установившемся течении газа сумма всех газодинамических сил (сил давления и трения), действующих на выделенную произвольной контрольной поверхностью F массу газа со стороны отброшенного вне этой поверхности газа и обтекаемых тел, равна разности количеств движения вытекающей из этой поверхности и втекающей в неё в единицу времени масс газа, т.е.

.

Здесь  - сумма сил, действующих на массу газа, находящегося внутри контрольной поверхности со стороны самой контрольной поверхности,  - сила, действующая на этот газ со стороны обтекаемого тела (профиля),  - разность количеств движения вытекающей из этой поверхности и втекающей в неё в единицу времени масс газа.

Рациональным выбором формы контрольной поверхности можно облегчить вычисление как этих газодинамических сил, так и количеств движения вытекающей и втекающей в единицу времени масс газа.

Сила, действующая на обтекаемое тело (профиль), = – .

 

Глава 2