Математическое обеспечение САПР

Общие положения

Математическое обеспечение (МО) объединяет в себе математические модели проектируемых объектов, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур, используемые при автоматизированном проектировании.

       Элементы МО чрезвычайно многообразны, среди них имеются инвариантные элементы, широко применяемые в различных САПР.

К ним относятся принципы построения функциональных моделей, методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, постановки экстремальных задач, поиска экстремума.

       Специфика предметных областей проявляется, прежде всего, в математических моделях (ММ) проектируемых объектов, она заметна также в способах решения задач структурного синтеза. Формы представления МО также разнообразны, но его практическое использование происходит после реализации ПО.

           

       3.2. Математические модели

       3.2.1.Требования к математическим моделям

       Требования к математическим моделям:

· универсальность;

· адекватность;

· точность;

· экономичность.

      

       Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

       Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

       Например, пусть - вектор входных параметров, тогда относительная погрешность расчета j-го параметра может быть оценена по формуле

 

,                      (3.1)

 

где y_jm, y_ист - значения выходного параметра истинное и рассчитанное по математической модели.

       Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ, как правило, имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров - в области адекватности (ОА):

 

ОА = ,       (3.2)

где d>0 - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности ММ; Q- вектор внешних параметров.

 

       Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (времени и памяти) на ее реализацию.

 

       3.2.2. Классификация математических моделей

       ММ классифицируются по следующим признакам:

· характер отображаемых свойств объекта;

· принадлежность к иерархическому уровню;

· степень детализации описания внутри одного уровня;

· способ получения модели.

       По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

       Различают структурные топологические и геометрические ММ.

В топологических ММ отображают состав и взаимосвязи элементов объекта. Эти ММ чаще применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, например, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям или относительным моментам времени при разработке технологических процессов.

       В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении объектов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические модели могут выражаться, например, совокупностью уравнений линий и поверхностей.

       Функциональные математические модели предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. 

       Использование блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов.

       В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ микро-, макро - и метауровня.

 

       Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичными ММ этого уровня являются дифференциальные уравнения в частных производных. В них независимым переменными являются пространственные координаты и время.

       ММ на макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

       На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Здесь ММ также представляются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов.

       По способу представления свойств объектов функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические.

       Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних, т.е. имеют вид:

 

Y=F(X, Q),                 (3.3)

 

       где Y=(y1,y2,...,ym) - вектор выходных параметров;

           X=(x1,x2,..., xn) - вектор внутренних параметров;

       Q=(q1,q2,..., ql) - вектор внешних параметров.          

 

       Аналитические модели характеризуются высокой экономичностью, однако их получение возможно лишь в частных случаях и, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих адекватность модели.

       Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

       Для получения моделей используют неформальные и формальные методы.

       Неформальные методы используют на различных иерархических уровнях для получения ММ элементов. Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.       

 

       3.2.3. Методика получения математических моделей

       В общем случае методика получения ММ включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели;

2. Сбор исходной информации овыбранных свойствах объекта;

3. Синтез структуры ММ;

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, т.е.

 

min e_M(X),

                                               XÎX_Д

 

где X- вектор параметров ММ; X_Д- область варьирования параметров; e_M- погрешность ММ(см.3.1);

       5. Оценка точности и адекватности ММ.

 

Лекция 5