Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

§ Тогда, если a < 0 корень n -ой степени из a не определен.

§ Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n -ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

§ Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней

Корень третьей степени (3)		Корень седьмой степени (7)
Корень четвертой степени (4)		Корень восьмой степени (8)
Корень пятой степени (5)		Корень девятой степени (9)
Корень шестой степени (6)		Корень десятой степени (10)

Яндекс.Директ

Новостройка премиум-классаОт 60 до 260 кв.м. с видом на Кремль! Статусное жилье в самом центре МосквыАдрес и телефонwinehouse-hals.ru

Купить квартиру от застройщикаНовый микрорайон. Монолит-кирпич. 12 км от МКАД. Рядом ж/д станция.Адрес и телефонhorizons-development.ru

· Высшая математика

Корни и степени

Формулы сокращенного умножения

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Модуль числа

Логарифм

Биквадратное уравнение

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами , и законом , ,

— разность данной арифметической прогрессии;

§ Если — арифметическую прогрессию называют возрастающей;

§ Если — арифметическую прогрессию называют убывающей;

§ В случае, если — все члены прогрессии равны числу , а ариф.прогрессию называют стационарной.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Формула разности арифметической прогрессии

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Пример 1.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Пример 2.

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,..., , если ее -ый член равен 239.

Пример 3.

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,..., , если ее сумма равна 306.

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
8.

 

· Алгебра

Высшая математика

· Арифметика

· Алгебра

· Основы линейной алгебры

· Линейное программирование

· Математический анализ

· Тригонометрия

· Математические методы в экономике

· Теория вероятностей

· Эконометрика

Смежные предметы

· Статистика

· Экономическая теория

· Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

· ,

· Пример:

·

· Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как .

· , , так как

· Натуральный логарифм — логарифм с основанием , обозначается

· Свойства логарифма

· Основное логарифмическое тождество

·

·

· Логарифм произведения — это сумма логарифмов

·

·

· Логарифм частного — это разность логарифмов

·

·

· Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

· Показатель степени логарифмируемого числа

· Показатель степени основания логарифма

· , в частности если m = n, мы получаем формулу: , например:

· Переход к новому основанию

· , частности, если c = b, то , и тогда:

·

·

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

§ называется первым коэффициентом;

§ называется вторым коэффициентом;

§ — свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().

Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.