Тема 1.1. Основы электростатики.

Пояснения к их выполнению

Тема 1.1. Основы электростатики.

Расчёт цепей со смешанным соединением конденсаторов.

Задача 1.1 Определить общую емкость цепи и напряжение на первом, втором конденсаторе и на зажимах цепи, если С1 = 2 мкФ, С2 = 4 мкФ, С3 = 3 мкФ; на конденсаторе С3 напряжение U3 = 40 В.	Рисунок 1.
Задача 1.2 Определить эквивалентную емкость цепи и напряжение на каждом конденсаторе, если С1 = 10 мкФ,                       С2 = 75 мкФ, С3 = 50 мкФ, С4 = 20 мкФ, напряжение на первом конденсаторе U1 = 130 В.	Рисунок 2.
Задача 1.3 Конденсаторы, емкости которых С1 = 2 мкФ,                     С2 = 1 мкФ, С3 = 2 мкФ, С4 = 6 мкФ, С5 = 4 мкФ, соединены по схеме и подключены к источнику с постоянным напряжением U = 100 В. Определить общую емкость конденсаторов С, заряд первого конденсатора Q1 и напряжения на каждом конденсаторе.	Рисунок 3.

 

Пример.

 

Определить общую емкость, напряжения на каждом конденсаторе, заряд Q2 и энергию электрического поля на четвертом конденсаторе W4, если C1 = 75 мкФ, С2 = 40 мкФ, С3 = 30 мкФ,                        С4 = 15 мкФ, С5 = 45 мкФ и U=100 В.

Рисунок 4.

 

Решение.

Определяем, как соединены между собой конденсаторы на участках цепи, находим эквивалентные емкости участков и, постепенно упрощая схему, определяем эквивалентную емкость всей цепи.

Конденсаторы С₃ и С₄ соединены последовательно (между ними нет узлов), их эквивалентная емкость:

.

Чертим (рис. 5) эквивалентную упрощенную схему, заменяя С₃ и С₄ конденсатором С₃₄, и определяем по ней, что конденсаторы С₂ и С₃₄ соединен параллельно. Определяем эквивалентную емкость:

.

Рисунок 5.

Рисунок 6.

 

Чертим (рис. 6) эквивалентную укрощенную схему цепи, заменяя С₂ и С₃₄ эквивалентным С₂₃₄. Конденсаторы С₁ С₂₃₄ и С₅ соединены последовательно. Находим эквивалентную емкость всей цепи:

; .

Определяем напряжения на конденсаторах, начиная с наиболее простой схемы (рис. 6).

Найдем общий заряд:

.

    По свойствам последовательного соединения конденсаторов:

, тогда

;

;

.

 

Переходим к схеме (рис. 5) и, используя свойства параллельного соединения конденсаторов, получаем U₂ = U₃₄ = U₂₃₄ = 36 В. Напряжения U₃ и U₄ определяем из схемы рис. 4, используя свойства последовательного соединения конденсаторов.

 

,

, тогда

;

.

Определяем заряд и энергию:

;

.

Тема 1.2. Постоянный электрический ток.

Решение задач на применение законов Ома.

Задача 2.1

К аккумуляторной батарее с ЭДС Е = 12 В и внутренним сопротивлением                R_i = 0,3 Ом подключен потребитель с сопротивлением R = 23,7 Ом. Определить ток, напряжение и падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

Задача 2.2

Потребитель энергии с сопротивлением R = 24 Ом подключен к источнику с ЭДС Е = 12,5 В и внутренним сопротивлением R_i = 1 Ом. Определить мощность источника, полезную мощность, потери мощности и коэффициент полезного действия.

 

Задача 2.3

Внутреннее сопротивление источника составляет 1,2 Ом. В согласованном режиме работы источника по цепи протекает ток I = 1,5 А. Определить напряжение источника при холостом ходе. Чему будет равен ток в режиме короткого замыкания?

ПРИМЕР.

К источнику электрической энергии с ЭДС = 30 В и внутренним сопротивлением R_i = 1 Ом подключен резистор R, сопротивление которого равно     2 Ом. Определить ток цепи I, напряжение на зажимах источника, мощность потребителя Р, мощность источника Р_ИСТ и КПД цепи.

 

Решение.

Силу тока найдем по закону Ома для замкнутой цепи:

.

Напряжение на зажимах цепи: .

Полезная мощность равна: .

Мощность источника: .

КПД цепи: .

Пример.

Для электрической цепи, представленной на рисунке 10, определить токи в ветвях, мощность, развиваемую источником энергии и мощность потребителей. Проверить баланс мощности.

Рисунок 10.

Дано:      E=110 В R1=10 Ом R2=15 Ом R3=11 Ом R4=16 Ом R5=12 Ом R6=6 Ом Найти: I1; I2; I3; I4; I5; I6; Iобщ;         Р1; Р2; Р3; Р4; Р5; Р6; Рист.

Решение.

Поэтапно сворачивая схему, найдём общие сопротивление всех резисторов в цепи.

Т.к. R₅ и R₆ соединены последовательно:

.

Резисторы R₃ и R₄ соединены параллельно, значит их общее сопротивление равно:

.

Резисторы R₃₄ и R₅₆ соединены параллельно:

.

Резисторы R₂ и R₃₄₅₆ соединены последовательно:

.

Общее сопротивление равно:

.

Из схемы включения резисторов видно, что

.

По закону Ома найдём общий ток в цепи I_общ.

Найдем токи, протекающие через резисторы R₁ и R₂₃₄₅₆:

;

.

При последовательном соединении резисторов:

.

Найдём напряжение U₃₄₅₆:

.

При параллельном соединении резисторов:

.

Найдём токи протекающие через резисторы R₃, R₄ и R₅₆:

;

;

.

Из схемы включения резисторов видно, что

.

Найдём мощность, развиваемую источником энергии и мощность потребителей:

;

;

;

;

;

;

.

Для проверки, правильно ли решена задача, найдём баланс мощностей по следующей формуле:

   

   

Задача решена верно.

Задача 4.

1. Определить токи в ветвях методами:

- законов Кирхгофа;

- наложения;

- узлового напряжения;

- ток в первой ветви метом эквивалентного генератора.

1. Составить баланс мощности.

Рисунок 11.

 

 

Номер варианта	Номер ветви	Номер варианта	Номер ветви	Номер варианта	Номер ветви		ЕN	RN	RiN
1	1, 2, 3	11	1, 3, 6	21	1, 4, 10		–	R1 = 20 Ом	–
2	1, 2, 4	12	1, 3, 7	22	1, 5, 6		Е2 = 30 В	R2 = 28 Ом	Ri2 = 2 Ом
3	1, 2, 5	13	1, 3, 8	23	1, 5, 7		Е3 = 40 В	R3 = 35 Ом	Ri3 = 5 Ом
4	1, 2, 6	14	1, 3, 9	24	1, 5, 8		Е4 = 60 В	R4 = 27 Ом	Ri4 = 3 Ом
5	1, 2, 7	15	1, 3, 10	25	1, 5, 9		Е5 = 40 В	R5 = 30 Ом	Ri5 = 10 Ом
6	1, 2, 8	16	1, 4, 5	26	1, 5, 10		Е6 = 20 В	R6 = 16 Ом	Ri6 = 4 Ом
7	1, 2, 9	17	1, 4, 6	27	1, 6, 7		Е7 = 50 В	R7 = 24 Ом	Ri7 = 6 Ом
8	1, 2, 10	18	1, 4, 7	28	1, 6, 8		Е8 = 40 В	R8 = 18 Ом	Ri8 = 2 Ом
9	1, 3, 4	19	1, 4, 8	29	1, 6, 9		Е9 = 10 В	R9 = 8 Ом	Ri9 = 2 Ом
10	1, 3, 5	20	1, 4, 9	30	1, 6, 10		Е10 = 20 В	R10 = 17 Ом	Ri10 = 3 Ом

ПРИМЕР.

Дано:   Найти:

Е1 = 10 В;         Е2 = 30 В; Ri1 = 1 Ом; Ri2 = 2 Ом; R1 = 11 Ом; R2 = 18 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 8 Ом. все токи.

Рисунок 12.

Решение.

Решение методом уравнений Кирхгофа.

Определяем число узлов цепи n =2и обозначаем их через А и В Определяем число ветвей цепи m = 3. Произвольно выбираем направления токов в ветвях и указываем их на схеме (рис. 13). Число токов в цепи равно числу ветвей. Для определения токов в ветвях составляем систему трех уравнений, так как m = 3. По первому закону Кирхгофа составляем N-1=1 уравнение, например, для узла А: .

Рисунок 13.

 

Остальные m - (n - 1) = 2 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, например, для контура, состоящего из первой и второй ветвей и контура, со­стоящего из второй и третьей ветвей. Направление обхода каждого контура вы­бираем произвольно, например, по часовой стрелке. Записываем уравнения:

Получили систему уравнений:

Подставляя числовые значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Упрощая уравнения, получаем систему уравнений:

Для решения системы выразим значения I₁ и I₃ из второго и третьего уравнений:

.

Подставив эти значения в первое уравнение, определим ток I₂.

.

Токи I ₁ и I ₃ определим из второго и третьего уравнений, подставив в них зна­чение I₂:

.

Знак «минус» перед значением I₃ показывает, что действительное направле­ние тока противоположно произвольно выбранному. Указываем действительное направление тока I₃ штриховой стрелкой (см. рис. 13). Значения токов I₁ и I₂ получены со знаком «плюс», следовательно, их действительные направления совпадают с произвольно выбранными.

Составляем баланс мощностей. Оба источника цепи являются генераторами, так как направления их ЭДС совпадают с направлениями токов тех ветвей, в которые они включены. Поэтому мощности источников Р_и1 и Р_и2 записываются со знаком «плюс»:

.

 

Решение методом узлового напряжения.

Обозначаем узлы цепи через А и В инаправляем токи всех ветвей к одному узлу, например А(рис. 14).

Рисунок 14.

Проводимость ветвей цепи:

;

;

.

Узловое напряжение:

.

В этой формуле значение Е₁записывается со знаком «плюс», так как на правления I₁ и Е₁ совпадают, а E₂ записывается со знаком «минус», так как направления I₂ и Е₂ противоположны.

Токи в ветвях:

;

;

.

Знак «минус» перед значением I₂ показывает, что действительное направ­ление I₂ противоположно выбранному. Указываем штриховой стрелкой (рис. 14) действительное направление I₂.

 

Решение методом наложения.

Рисунок 15.

Рисунок 16.

 

Выполняем расчет цепи (рис. 15), когда в ней действует один источник с Е₁. Принимаем E₂ = 0, а внутреннее сопротив­ление второго источника R_i2 оставляем в цепи. Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно между уз­лами А и В. Эквивалентное сопротивление участка АВ:

.

 

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

.

Общий ток цепи: .

Напряжение на участке АВ:    .

Токи: ;   _.

Выполняем расчет цепи (рис. 16), когда в ней действует один источник с Е₂, принимаем е₁ = 0, а внутреннее сопротивление первого источника R_i1 ос­тавляем в цепи. Сопротивления первой и третьей ветвей соединены параллель­но между узлами А и В. Эквивалентное сопротивление участка АВ:

.

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

.

Общий ток цепи: .

Напряжение на участке АВ:    .

Токи: ;  _.

Применяя метод наложения, определяем токи заданной цепи (см. рис. 14), созданные совместным действием источников. В первой ветви токи I'₁ и I''₁, (см. рис. 15 и 16) имеют одинаковое направление (к узлу А), поэтому  и направлен к узлу А.

Во второй ветви токи I'₂ и I''₂ (см. рис. 15 и 16) имеют одинаковое направление (к узлу В), поэтому  и направлен к узлу В.

В третьей ветви токи I'₃ и I''₃ (см. рис. 15 и 16) имеют противоположные направления, причем I''₂ > I'₂, поэтому  и направлен, как и ток I''₃, к узлу А.

 

Задача 5.

По временной диаграмме (рис. 17) определить: амплитуду, период, начальную фазу синусоидального тока. Рассчитать: частоту тока, угловую частоту, длину волны, действующее и среднее значение тока. Записать уравнение.

Рисунок 17.

ПРИМЕР.

По временной диаграмме (рис. 18) определить: амплитуду, период, начальную фазу синусоидального тока. Рассчитать: частоту тока, угловую частоту, длину волны, действующее и среднее значение тока. Записать уравнение.

Рисунок 18.

 

Решение.

Амплитуда тока: I_m = 1,5 мА;

период тока: T = 900 мкс;

начальная фаза тока: ψ = 30⁰.

 

Частота тока: ;

угловая частота: ;

действующее значение тока: ;

среднее значение тока: .

Уравнение переменного тока: .

 

Задача 6.

В цепи с резистором, подключенной к источнику с напряжением U = 200 В, протекает ток I = 10 мкА. Определить сопротивление и мощность резистора.

ПРИМЕР.

Потребитель энергии с активным сопротивление R = 50 Ом подключен к источнику с напряжением u = 310,2sin(314t - 30⁰) В. Определить действующие значения напряжения и тока, записать уравнение мгновенного значения тока, вычислить активную мощность цепи.

Решение.

Действующее значение напряжения: ;

действующее значение тока: .

Амплитуда тока:  или .

В цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, следовательно, начальные фазы у тока и напряжения одинаковы. Поэтому уравнение мгновенного значения тока .

Активная мощность цепи: .

Задача 7.

Катушка с сопротивлениями R = 30 Ом и Х_L = 100 Ом присоединена к источнику с напряжением U = 20,88 В. Определить угол сдвига фаз, активную, реактивную и полную мощность катушки.

ПРИМЕР.

Резистор сопротивлением R = 160 Ом соединен последовательно с катушкой с индуктивность L = 0,382 Гн. Напряжение на зажимах цепи U = 40 В, часто­та f = 50 Гц. Определить полное сопротивление цепи, ток, полное сопротивление катушки, напряжение резистора, напряжение ка­тушки, активную мощ­ность резистора, реактивную мощность катушки и полную мощность, угол сдвига фаз всей цепи и катушки. Построить векторную диаграмму.

Решение.

Индуктивное сопротивление катушки:  

.

Полное сопротивление цепи:

.

Ток в цепи: .                

Напряжение резистора: ,

напряжение катушки: .

Строим векторную диаграмму (рис. 19), выбрав масштабы М_U = 0,6 В/cm,                    М_I = 0,05 А/см.

Рисунок 19.

Активная, реактивная, и полная мощности цепи:

;     ;   .

Определяем угол сдвига фаз для всей цепи:

.

Тема 3.4. Цепь с ёмкостью.

Решение задач на определение полного сопротивления цепи. Построение треугольника напряжений.

Задача 8.

Параметры цепи: R = 30 Ом и С = 15,9 мкФ. Напряжение на зажимах цепи U = 5 В при f = 250 Гц. Определить активную мощность цепи. Построить векторную диаграмму напряжений.

ПРИМЕР.

Резистор R = 60 Ом соединен последовательно с конденсатором С = 398 нФ. Напряжение на зажимах цепи U = 5 В при f =  кГц. Определить ток, напряжения на резисторе и конденсаторе, угол сдвига фаз в цепи, активную, реактивную и полную мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение.

Емкостное сопротивление цепи:

.

Полное сопротивление цепи:

.

Ток: .

Напряжения на резисторе и конденсаторе, т. е. активная и емкостная составляющее напряжения:

; .

Выбираем масштабы M_I = 0,01 А/см и М_U = 1 В/см в строим векторную диаграмму (рис. 20 ).

Рисунок 20.

Угол сдвига фаз:

.

Активная, реактивная, и полная мощности цепи:

;   ;  .

Задача 9.

Параметры цепи U = 120 В, f = 100 Гц, I = 0,24 А. Определить активное сопротивление, угол сдвига фаз, напряжения на катушке и конденсаторе при                   L = 0,796 Гн, С = 7,95 мкФ.

ПРИМЕР.

Напряжение на зажимах цепи, представленной на рисунке 21, изменяется по закону u = U_msinωt. Частота питающего напряжения f = 50 Гц. Необходимо:

1. Определить показания приборов, указанных на схеме.

2. Определить закон изменения тока в цепи.

3. Определить закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр.

4. Определить активную, реактивную и полную мощности источника, активную, реактивную, и полную мощности приемников. Составить и оценить баланс активной и реактивной мощностей.

 

Рисунок 21.

Исходные данные: Um = 260 В; r1 = 7 Ом; r2 = 3 Ом; С1 = 350 мкФ; L2 = 0,02 Гн.

Решение.

1) Закон изменения напряжения на зажимах цепи:

u = U_msinωt, где ω = 2πf = 2·3,14·50 = 314 с^-1.

u = 260sin314t, В.

Определим реактивные сопротивления цепи:

Ом

Ом.

Общее активное и реактивное сопротивление при последовательном соединении найдем как:

Ом;

Полное сопротивление цепи определим по формуле:

Ом.

2) Чтобы определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра, найдем действующие значения тока, напряжения на второй катушке индуктивности и активную мощность цепи.

Максимальный ток в цепи равен:

А.

Действующее значение тока равно:

А.

Действующее значение напряжения на L₂ и r₂:

В.

Активная мощность цепи:

Вт.

3) Запишем закон изменения тока, зная что:

, где φ – угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи.

. Тогда

.

4) Закон изменения напряжения на L₂:

, где .

Учитывая, что в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток на 90⁰, и В получим:

.

5) Найдем активные мощности приемников и источника.

Найдем реактивные мощности приемников и источника.

Найдем полные мощности приемников и источника.

Составим баланс активной и реактивной мощности. Для этого найдем мощность источника в комплексной форме (Р _ИСТ = Р + jP_Q) и сравним с мощностями, рассчитанными в пункте 6.

 Активная мощность источника Р_ИСТ:

    3132,9 Вт ≈ 3124 Вт

    Реактивная мощность источника Р_QИСТ:

-893,4 ВАр ≈ -896 ВАр

Полная мощность источника Р_SИСТ:

3257,8 ВА ≈ 3250 ВА

Баланс мощностей сходится примерно, т.к. присутствует погрешность при округлении величин.

ПРИМЕР.

Напряжение на зажимах цепи с параллельным соединением резистора, конденсатора и катушки, активным сопротивлением которых можно пренебречь,   U = 10 В. Параметры цепи: сопротивление резистора R = 500 Ом, емкость конденсатора С = 3,18 мкФ, индуктивность катушки L = 1,27 Гн при f = 50 Гц. Определить все токи и построить векторную диаграмму. Определить угол сдвига фаз.

Рисунок 25.

Решение.

Ток резистора: .

Ток конденсатора: .

Ток катушки: .

Для определения общего тока цепи строим векторную диаграмму (рис. 26), выбрав масштабы M_I = 0,005 А/см и М_U = 2 В/см. Ток I₁ имеет активный характер, поэтому он совпадает с напряжением по фазе. Ток I₂ имеет емкостный характер, поэтому он опережает напряжение на угол 90⁰. Ток I₃ имеет индуктивный характер, поэтому он отстает от напряжения на угол 90⁰. Из диаграммы видно, что общий ток  

.

Рисунок 26.

 

Общий ток отстает от напряжения по фазе, следовательно характер цепи активно-индуктивный.

Угол сдвига фаз:

.

Задача 11.

Рисунок 26.

Дано: В.

Определить: , , , , , , Р, Р_Q, .

Построить векторные диаграммы токов и напряжений: и .

 

	R1	X L1	XC1	R2	XL2	XC2	R3	XL3	XC3
1	6	10	4	0	0	5	9	14	20
2	6	7	12	0	4	0	3	7	0
3	12	18	16	0	16	7	8	8	0
4	20	40	30	0	7	12	4	6	0
5	14	2	12	0	8	0	6	0	4
6	2	4	6	0	7	2	4	0	8
7	24	16	30	0	14	18	3	12	0
8	0	16	4	0	5	12	5	0	0
9	0	14	7	20	10	30	20	0	0
10	0	18	4	15	6	23	40	0	0
11	0	18	0	17	5	12	25	0	0
12	0	11	25	18	4	7	16	0	0
13	0	4	7	15	3	12	8	0	0
14	0	8	2	10	4	8	5	0	0
15	5	3	0	16	6	12	0	14	12
16	6	6	0	18	7	10	0	8	12
17	4	12	0	20	8	20	0	3	14
18	14	20	0	14	5	11	0	5	16
19	18	20	0	3	12	4	0	4	5
20	12	3	0	6	18	2	0	8	15
21	6	12	0	5	20	10	0	3	12
22	7	0	4	3	0	0	8	0	7
23	12	4	0	14	0	0	12	0	6
24	18	5	0	25	0	0	4	0	3
25	4	0	5	30	0	0	6	0	8
26	5	8	0	5	0	0	3	11	0
27	6	0	8	5	0	0	15	2	0
28	3	6	0	4	0	0	14	16	0
29	2	0	5	3	0	0	19	7	0
30	16	2	0	4	3	1	0	0	5

ПРИМЕР.

В схеме рис. 27 дано:  Определить токи всех участков, общий ток и мощность цепи, если

Рисунок 27.

Решение.

Комплексы сопротивления участков:

Ом;

Ом;

Ом.

Вектор напряжения цепи  направляем по мнимой оси, т.е.  В.

Тогда ток цепи ,

где  - комплекс сопротивления цепи, которое определяем следующим образом:

, Ом.

Сопротивление цепи:

Ом.

Тогда  А.

Напряжение на участках:

 В;

 В.

Токи на участках:

 А;

 А.

Полная (кажущаяся) мощность (комплекс) цепи

.

Векторные диаграммы токов и напряжений представлены на рис. 28.

а	б
Рисунок 28.

Задача 12.

Определить индуктивность и емкость колебательного контура, если угловая частота собственных незатухающих колебаний ω₀ = 10⁴ с^-1, характеристическое сопротивление контура ρ = 200 Ом. Чему равна добротность контура, если резистивное сопротивление R = 10 Ом?

ПРИМЕР.

В идеальном колебательном контуре с параметрами L = 10 мГн и С = 1 мкФ определить  частоту свободных колебаний, период свободных колебаний и характеристическое сопротивление.

Решение.

Частоту свободных колебаний найдем по формуле:

.

Период определим, зная циклическую частоту свободных колебаний.

.

.

Характеристическое сопротивление контура:

.

Задача 13.

Последовательный колебательный контур, настроенный в резонанс на частоту  f₀ = 796 Гц, потребляет мощность P = 0,2 Вт при напряжении на зажимах контура               U = 4 В. Добротность контура Q = 40. Определить параметры контура: ток, напряжение на катушке и конденсаторе, а также индуктивность и емкость.

ПРИМЕР.

Дано:	U = 1,8 В R = 15 Ом L = 636 мкГн С = 600 пФ	Рисунок 29.
Найти:	ω0, f0, ρ, Q, d, I0, UL0, UC0, П.

Решение.

Резонансная угловая частота:

.

Резонансная циклическая частота:

.

Характеристическое сопротивление:

Добротность:

.

Затухание: .

Ток при резонансе: .

Расходуемая мощность: .

Напряжения на реактивных элементах:

.

Абсолютная полоса пропускания: .

 

Задача 14.

Определить резонансное сопротивление параллельного контура с параметрами L = 0,8 Гн, С = 5 мкФ, R = 5 Ом. Чему равна полоса пропускания и токи в ветвях при резонансе, если напряжение, приложенное к цепи  U = 50 В?

ПРИМЕР.