Глава 22. Занимательная топология

 

Топологами принято называть математиков, которые не могут отличить кофейную чашку от бублика. Поскольку предмет, имеющий форму кофейной чашки, непрерывной деформацией можно перевести в другой предмет, имеющий форму бублика, оба предмета топологически эквивалентны, а топологию, если не гнаться за точностью, можно определить как науку, изучающую свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Множество математических забав и развлечений (в том числе различного рода волшебные фокусы, головоломки и игры) тесно связано с топологией. Топологам они могут показаться тривиальными, но для остальной части человечества эти забавы остаются вполне занятными.

Несколько лет назад С. Джуда придумал необычный фокус.

Шнурок от ботинок тщательно наматывают на карандаш и соломинку для коктейля. Если потянуть за концы шнурка, то кажется, что шнурок проходит сквозь карандаш и перерезает соломинку пополам. С разрешения Джуды мы раскрываем здесь секрет этого фокуса.

Прежде всего расплющим соломинку и прикрепим с помощью резинки один ее конец к концу незаточенного карандаша (рис. 120, а).

 

Рис. 120 Фокус со шнурком, проходящим сквозь карандаш.

 

Перегнем соломинку пополам и попросим кого-нибудь подержать карандаш обеими руками так, чтобы он был отклонен от вас под углом 45°. Натянув шнурок, приложим его к карандашу — середина шнурка должна оказаться примерно на середине карандаша (б) — и перехлестнем концы шнурка накрест с другой стороны карандаша (в). Следует особенно тщательно следить за тем, чтобы в дальнейшем при каждом перехлесте сверху оказывался один и тот же конец шнурка, например конец а, иначе фокус не получится.

Потянув концы на себя, перехлестнем их еще с передней стороны карандаша (г), отогнем свободный конец соломинки вверх (д) и также прикрепим его к концу карандаша резинкой. Еще раз перехлестнем концы шнурка накрест (напомним, что конец а всегда должен быть сверху, а конец Ь — снизу), чтобы «привязать» соломинку к карандашу (е). Отведя концы шнурка назад, перехлестнем их еще раз под карандашом (сне), а затем, потянув их на себя, перехлестнем в последний раз над соломинкой (з). На рис. 120 все петли, которыми шнурок обвил карандаш, несколько раздвинуты для наглядности. Показывая фокус, старайтесь сгруппировать все петли как можно ближе к середине карандаша.

Попросите своего добровольного ассистента держать карандаш покрепче и натяните концы шнурка. Сосчитав вслух до трех, резко их еще раз под карандашом (сне), а затем, потянув их на себя, перехлестнем в последний раз над соломинкой (з). На рис. 120 все петли, которыми шнурок обвил карандаш, несколько раздвинуты для наглядности. Показывая фокус, старайтесь сгруппировать все петли как можно ближе к середине карандаша.

Попросите своего добровольного ассистента держать карандаш покрепче и натяните концы шнурка. Сосчитав вслух до трех, резко дерните концы шнурка в стороны. Неожиданный результат показан на рис. 120, и: шнурок, который только что был обмотан вокруг карандаша и соломинки, таинственным образом проходит сквозь карандаш, перерезает соломинку («Слишком слаба, не выдерживает всепроникающей силы шнурка», — поясните вы) и оказывается в ваших руках!

Если вы внимательно проследите за манипуляциями фокусника, то постигнете суть происшедшего чуда. Шнурок навит на карандаш по двум противоположно закрученным винтовым линиям. Поэтому замкнутая кривая, которую образуют шнурок и фокусник, не сцеплена с замкнутой кривой, образуемой карандашом и держащим его зрителем. Шнурок перерезает соломинку, которая не дает раскрутиться спиралям, после чего спирали уничтожают друг друга (происходит нечто вроде аннигиляции частицы и античастицы).

Многие традиционные головоломки также имеют топологическую природу. Более того, топология берет начало в классической работе Леонарда Эйлера (1736), в которой великий математик подробно проанализировал головоломку о семи кенигсбергских мостах (их все нужно обойти, не побывав ни на одном дважды). Эйлер показал, что задача о мостах сводится к другой эквивалентной ей задаче о вычерчивании единым росчерком пера некоторой замкнутой кривой (предполагается, что след, оставляемый пером на бумаге, представляет собой непрерывную линию и ни один из участков замкнутой кривой не проходится дважды). Задачи такого рода часто встречаются в литературе по занимательной математике. Приступая к их решению, прежде всего необходимо отметить, в скольких узлах (узлами называются концы дуг, образующих кривую) сходится четное число линий и в скольких — нечетное. (Число «нечетных» узлов всегда четно; см. задачу 8 в главе 20.) Если все узлы «четны», то кривую можно начертить единым росчерком пера, начав и закончив обводить ее с любой точки. Если два узла нечетны, то кривую все же можно вычертить, но для этого нужно начать обводить ее с одного нечетного узла и закончить на другом нечетном узле. Если такая задача (с двумя нечетными узлами) имеет хоть какое-нибудь решение, то соответствующую кривую можно обойти по маршруту без самопересечений. Задача вообще не имеет решения, когда число нечетных узлов больше двух: нечетные узлы, очевидно, должны быть начальными и конечными точками пути, проходящего по всем звеньям кривой, а у любой непрерывной линии либо имеются две конечные точки, либо нет ни одной.

Помня эти эйлеровы правила, вы сумеете без труда решать головоломки, связанные с вычерчиванием кривых и обходом хитроумных маршрутов. Однако такие задачи, если осложнить их одним или двумя дополнительными условиями, нередко превращаются в труднейшие проблемы. Рассмотрим, например, сеть, изображенную на рис. 121.

 

Рис. 121 Как обойти все линии, совершив минимальное число поворотов?

 

Все ее узлы четны. Как мы уже знаем, такую сеть можно начертить, не отрывая пера от бумаги и не проходя ни по одному ее участку дважды. Усложним теперь задачу: разрешим проходить любой участок сети неограниченное число раз, а начинать и заканчивать обход сети в любых двух ее точках. Спрашивается, чему равно наименьшее число поворотов, которое необходимо совершить, чтобы побывать на всех без исключения участках сети?

Маршрут предполагается непрерывным, без прыжков; остановка и возвращение назад по одной и той же прямой считается поворотом.

В основе механических головоломок с веревочками и колечками нередко лежит топологическая теория узлов. Одна из лучших головоломок этого типа изображена на рис. 122.

 

Рис. 122 Мож но ли, не развязывая веревки, передвинуть кольцо в петлю В?

 

Ее нетрудно сделать самому из куска плотного картона, веревочки и колечка таких размеров, чтобы оно не проходило через центральное отверстие. Чем больше кусок картона и чем тяжелее веревочка, тем легче производить соответствующие манипуляции. Задача заключается в том, чтобы переместить кольцо из петли А в петлю В, не разрезая веревочки и не отвязывая ее концов.

Эту головоломку можно найти во многих старых сборниках занимательных задач, но обычно ее формулируют в крайне упрощенной форме: концы веревочки не привязывают, как это сделано у нас, к краям картона, а, пропустив через маленькие дырочки, прикрепляют к пуговицам, не позволяющим веревочке выскользнуть. В этом варианте задача имеет весьма неизящное решение: петлю X по очереди продевают в дырочки у краев картона и накидывают на пуговицы. Существует более хитроумное решение, в котором концы веревочки вообще никак не используются. Интересно заметить, что если один конец веревочки проходит под петлей X, а другой — над X (так, как показано на рис. 122 вверху), то задача не имеет решения.

Среди многих математических игр, имеющих любопытные топологические особенности, нельзя не назвать восточную игру го и широко распространенную детскую игру в точки и квадраты.

В последнюю играют так. На листке клетчатой бумаги точками отмечают вершины всех клеточек, образующих какой-нибудь прямоугольник. Играющие по очереди соединяют отрезками прямых любые две соседние точки. Если получающаяся ломаная во время очередного хода замыкается, образуя квадрат, то играющий ставит внутри него свою метку и ходит снова. После того как все линии проведены, победителем объявляется тот, кто сумел построить наибольшее число квадратов. Если игроки достаточно искусны, то игра в точки и квадраты при всей своей простоте может быть увлекательной, ибо, жертвуя квадратами в гамбите, игроки получают возможность с лихвой вознаградить себя построением большего числа квадратов в эндшпиле.

Хотя игра в точки и квадраты распространена ничуть не меньше, чем игра в крестики и нолики, подробный математический анализ ее до сих пор не был опубликован. Даже в том случае, когда «оперативным простором» служит квадрат размером 4x4 (из шестнадцати точек), игра отличается необычайной сложностью. Это — наименынее поле, на котором игра не может закончиться вничью, поскольку игрокам необходимо построить девять (нечетное число) квадратов. Существует ли выигрышная стратегия для первого или второго игрока, насколько мне известно, пока еще не установлено.

Замечательную игру, в которой также приходится соединять точки линиями, придумал профессор Д. Гейл. Я беру на себя смелость назвать ее игрой Гейла. На первый взгляд кажется, что игра Гейла очень похожа на упоминавшуюся в нашей книге топологическую игру в гекс. В действительности же игра Гейла (рис. 123) имеет совершенно иную природу.

 

Рис. 123 Топологическая игра Гейла.

 

На прямоугольном поле изображены узлы двух квадратных решеток, вдвинутых друг в друга: узлы одной решетки черные, а узлы второй — любого другого цвета (на рис. 123 последние показаны белыми кружками, а соединяющие их линии — пунктиром). Игрок А наносит ломаную черным карандашом. За один ход он соединяет отрезком прямой две соседние черные точки по вертикали или по горизонтали. Его цель — соединить непрерывной ломаной левый и правый края поля. Игрок В наносит свою ломаную цветным карандашом. Его задача заключается в том, чтобы соединить верхний и нижний края поля. Линии противников не должны пересекаться. За один ход каждый игрок может соединить лишь две соседние точки. Победителем считается тот, кто первым соединит непрерывной линией свои края поля. На рис. 123 показан случай, когда победителем стал игрок с цветным карандашом.

В игру Гейла можно играть на поле любых размеров, хотя на маленьких полях (меньших, чем поле на рис. 123) ситуация слишком легко поддается анализу, чтобы игра представляла интерес для кого-нибудь, кроме новичков. Можно доказать, что при любых размерах поля всегда существует стратегия, обеспечивающая верный выигрыш первому игроку. Доказательство проводится так же, как и доказательство существования выигрышной стратегии для первого игрока при игре в гекс. К сожалению, ни одно из доказательств не дает ни малейшего намека на то, как найти оптимальную стратегию.

* * *

В 1960 году в продаже появилась доска для игры Гейла, изображенная на рис. 123; называлась она «Bridgeit».[41] Точки на доске были выпуклыми и соединялись с помощью маленьких пластмассовых мостиков, длина которых позволяла соединять лишь две соседние точки. Это позволяло вносить в игру интересные изменения, подробное объяснение которых давалось в прилагаемой инструкции.

Каждый игрок ограничен определенным числом мостиков, например 10-ю мостиками. Если после того, как «построены» все 20 мостиков, ни одному из игроков не удалось добиться победы, игру продолжают, сдвигая при каждом ходе по одному мостику в новое положение.

В 1951 году, за семь лет до того, как игра Гейла была описана мной в Scientific American, профессор Клод Э. Шеннон построил первого робота, который с успехом играл в игру Гейла (сам Шеннон называл ее «Птичья клетка»). Робот играл превосходно, хотя и не совершенно. Основным элементом робота было несложное аналоговое вычислительное устройство на сопротивлениях. В 1958 году два инженера из Иллинойсского технологического института У. А. Дэвидсон и В. Ч. Лэфферти спроектировали другого робота, также игравшего в игру Гейла. Не зная ничего о машине Шеннона, они положили в основу своего проекта тот же принцип, что и Шеннон.

Принцип этот заключается в следующем. Цепь сопротивлений соответствует линиям, которые может провести во время игры один из игроков, например А (рис. 124).

 

Рис. 124 Электрическая схема робота, умеющего играть в топологическую игру Гейла.

 

Все сопротивления одинаковы. Когда А во время очередного хода проводит отрезок прямой, соответствующее этому отрезку сопротивление замыкается. Когда игрок В в свою очередь проводит отрезок прямой, он пересекает одну из «линий» А, и соответствующий этой линии участок электрической цепи размыкается. Таким образом, если выигрывает А, то замыкается вся цепь (то есть ее сопротивление падает до нуля), а если выигрывает В, то ток в цепи полностью прекращается (сопротивление становится бесконечным). Машина либо замыкает, либо размыкает то сопротивление, на котором происходит наибольшее падение напряжения. Если же таких сопротивлений оказывается два или больше, то выбор одного из них производится случайным образом.

В действительности Шеннон построил в свое время две машины для игры в «Птичью клетку». В его первой модели роль сопротивлений играли маленькие лампочки, и та лампочка, которая светилась ярче других, показывала, куда нужно делать очередной ход.

Поскольку решить, какая из ламп светится ярче, во многих случаях было довольно затруднительно, Шеннон построил вторую модель, в которой лампочки накаливания были заменены неоновыми лампами, а цепь была рассчитана так, что светиться могла только одна лампа (остальные лампы в это время были заперты). Делая ход, игроки поворачивали выключатели, которые в начале игры находились в нейтральном положении. Один из игроков поворачивал выключатели в положение «включено», другой — в положение «выключено».

Робот Шеннона, делая первый ход, почти всегда выигрывает.

Из нескольких сот сыгранных партий, в которых машине принадлежал первый ход, она проиграла лишь две. Оба проигрыша были обусловлены неполадками в вычислительном устройстве и нарушениями правил игры со стороны человека-игрока. Если же первый ход принадлежал человеку, то ему не составляло труда обыграть машину, но стоило лишь игроку совершить хоть сколько-нибудь значительную ошибку, как машина тут же выигрывала.

 

Ответы  

Задачу с вычерчиванием сети можно решить с 13-ю поворотами.

Начать нужно со второго узла слева в основании большого треугольника. Двигаясь вверх и вправо, дойдем до его боковой стороны, после чего повернем налево, а дойдя до другой стороны, двинемся вправо и вниз к основанию треугольника. Достигнув основания, снова повернем вверх и вправо, а дойдя до боковой стороны треугольника, повернем налево и будем двигаться до тех пор, пока не достигнем другой боковой стороны. Отсюда, повернув направо и вниз, спустимся на основание треугольника, после чего, повернув направо, пройдем основание до правой нижней вершины, откуда по кругу опишем периметр большого треугольника и остановимся в третьем слева узле на его основании. Из этого узла повернем вверх и налево (до узла, расположенного посредине левой боковой стороны большого треугольника), затем, повернув направо, двинемся по горизонтали к среднему узлу на правой боковой стороне, а дойдя до него и повернув влево и вниз, спустимся на основание треугольника.

Головоломка с колечком и веревочкой решается так. Растянем центральную петлю настолько, чтобы через нее можно было протащить кольцо. Продев кольцо через центральную петлю, прижмем его к лицевой стороне картона, а сами, ухватив выходящую из центрального отверстия двойную веревочку, потянем ее на себя. Из отверстия покажется двойная петля. Проденем в нее кольцо и, потянув с обратной стороны за веревочку, снова упрячем двойную петлю за картон (веревочка при этом снова займет исходное положение). После этого нам останется лишь продеть кольцо в центральную петлю, и головоломка решена!

 

Глава 23. ЧИСЛО φ-ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

 

Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число π — отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число φ («фи») известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число тг. Сходство между числами π и φ этим не исчерпывается: подобно π, φ обладает свойством возникать в самых неожиданных местах (см., например, решение задачи о круглом пятне в гл. 28).

Геометрический смысл φ ясен из рис. 125. Отрезок прямой разделен на два отрезка А и В, которые, как говорят, образуют «золотое сечение» отрезка А + В: длина всего отрезка (А + В) находится в таком же отношении к длине отрезка А, как и длина отрезка А к длине отрезка В. Отношение каждой пары отрезков и равно числу φ. Если длина отрезка В равна 1, то значение φ нетрудно вычислить из уравнения

 

которое можно записать в виде обычного квадратного уравнения А² — А — 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен

 

 

Это число одновременно выражает длину отрезка А и значение величины φ. Его десятичное разложение имеет вид 1,61803398… Если за единицу принять длину А, то длина В будет выражаться величиной, обратной φ; то есть 1/φ. Любопытно, что 1/φ = 0,61803398.

 

Рис. 125 Золотое сечение: А относится к В так же, как А + В относится к А.

 

Число φ  — единственное положительное число, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы.

Подобно числу π, φ можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер φ:

 

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом φ. Буква φ — первая греческая буква в имени великого Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах. Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в «золотом отношении» к наименьшему соседнему отрезку.

Многие математики, жившие в средние века и в эпоху Возрождения, были настолько увлечены исследованием необычайных свойств числа φ, что это походило на легкое помешательство. Примером тому могут служить слова Кеплера, которые Г. С. М. Коксетер приводит в качестве эпиграфа к главе о золотом сечении в своей книге «Введение в геометрию»:[42]

 

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — теорема Пифагора, другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».

 

В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом φ, называли «божественной пропорцией» или, следуя Евклиду, «средним и крайним отношением». Термин «золотое сечение» вошел в употребление лишь в девятнадцатом веке.

Много замечательных свойств числа φ, проявляющихся у различных плоских и пространственных фигур, было собрано в трактате Луки Пачоли, вышедшем в 1509 году под названием «De Divina Proportione» («О божественной пропорции») с иллюстрациями Леонадро да Винчи.[43] Число φ выражает, например, отношение радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника.

Расположив три золотых прямоугольника (то есть прямоугольники, стороны которых находятся в «золотом отношении») так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), мы увидим, что вершины «золотых» прямоугольников совпадают с 12-ю вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12-и граней правильного додекаэдра (рис. 126 и 127).

 

Рис. 126 Вершины «золотых» прямоугольников совпадают с вершинами икосаэдра.

 

Рис. 127 Вершины тех же «золотых» прямоугольников, что и на рис. 126, совпадают с центрами граней додекаэдра.

 

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники (рис. 128).

 

Рис. 128 Логарифмическая спираль, образованная «вращающимися квадратами».

 

(Тем самым будет построен пример совершенного квадрируемого прямоугольника бесконечного порядка. Подробно о квадрируемых прямоугольниках рассказывается в главе 32.) Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей. Разумеется, «вращающиеся квадраты», как их принято называть, могут не только закручивать, но и раскручивать спираль. Для этого лишь требуется строить не уменьшающиеся, а все увеличивающиеся квадраты.

Логарифмическая спираль возникает и во многих других геометрических построениях, связанных с числом φ. Один из изящных способов вычерчивания логарифмической спирали основан на использовании равнобедренного треугольника, стороны которого находятся в золотом отношении к основанию (рис. 129).

 

Рис. 129 Логарифмическая спираль, образованная «вращающимися треугольниками».

 

Углы при основании такого треугольника равны 72°, что вдвое больше угла при вершине, равного 36°. Именно из таких золотых треугольников построена пентаграмма. Точка пересечения биссектрисы угла при основании с противолежащей стороной делит эту сторону в среднем и крайнем отношении, при этом весь треугольник разбивается на два меньших треугольника, один из которых подобен исходному. В свою очередь этот треугольник также можно разбить на два еще меньших треугольника, проведя в нем биссектрису угла при основании, и т. д. Продолжая неограниченно этот процесс, мы получим бесконечную последовательность вращающихся треугольников, чьи вершины, так же как и вершины вращающихся квадратов, описывают логарифмическую спираль. Полюс этой спирали лежит на пересечении двух медиан, проведенных пунктиром.

Логарифмическая спираль — единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе. Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделенная внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотреть под микроскопом, мы увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики и мы разглядывали бы ее с большого расстояния.

Логарифмическая спираль тесно связана с числами Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…; каждое последующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих). Числа Фибоначчи часто встречаются в живой природе. Обычно в качестве примера приводят расположение листьев на черенке, лепестков некоторых цветков и семян в плодах. И здесь дело не обходится без числа φ, поскольку отношение двух последовательных членов ряда Фибоначчи тем ближе к числу φ, чем дальше мы продвинемся от начала ряда.

Так, 5/3 уже дает хорошее приближение к φ (прямоугольник с отношением сторон 5:3 трудно отличить от золотого прямоугольника), еще лучшее приближение дает 8/5, но его превосходит отношение 21/13, равное 1,615. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи.

Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20…), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу φ: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.

Это нетрудно понять, если воспользоваться вращающимися квадратами. Начнем с двух небольших квадратов любых размеров, например с квадратов А и В на рис. 130.

 

Рис.   130 Квадраты, показывающие, что отношение последующего члена любого аддитивного ряда к предыдущему стремится к числу φ.

 

Сторона квадрата С равна сумме сторон квадратов А и В; сторона квадрата D равна сумме сторон квадратов В и С; сторона квадрата Е — сумме сторон квадратов С и D и т. д. Независимо от длин сторон двух первых квадратов вращающиеся квадраты образуют прямоугольник, который все меньше и меньше отличается от золотого.

Тесную связь между числом φ и числами Фибоначчи наглядно демонстрирует классический геометрический парадокс. Если на бумаге в клеточку начертить квадрат 8 х 8 и разрезать его на 4 части так, как показано на рис. 131, то из этих частей можно составить прямоугольник, площадь которого равна 65 единичным клеткам, а не 64, как у исходного квадрата.

 

Рис. 131 Парадокс, основанный на свойствах произвольного аддитивного ряда.

 

Парадокс объясняется просто: части квадрата неплотно примыкают друг к другу вдоль диагонали и между ними остается узкий зазор. Его площадь равна «лишней» клетке. Заметим, что длины сторон трапеций и треугольников, на которые разрезали квадрат, выражаются числами Фибоначчи. На самом деле парадокс будет возникать и в том случае, если квадрат разрезан на трапеции и треугольники, длины которых выражаются членами любого аддитивного ряда, хотя при этом в одних случаях построенный из частей квадрата прямоугольник будет иметь бблыную, а в других — меньшую площадь по сравнению с квадратом в зависимости от того, как примыкают части вдоль диагонали: есть ли между ними зазор или они перекрываются. Это обстоятельство связано с тем, что отношение последующего члена аддитивного ряда к предыдущему то превосходит φ, то становится меньше этого числа.

Площадь прямоугольника, составленного из частей разрезанного квадрата, в точности совпадает с площадью квадрата лишь в одном случае: если длины сторон трапеций и треугольников взяты из членов аддитивного ряда 1, φ, φ+1, 2φ+1, 3φ + 2… (другой — «мультипликативный» — способ записи того же ряда выглядит так: 1, φ, φ², φ³, φ⁴….). Это единственный аддитивный ряд, в котором отношение любых двух последовательных членов постоянно (и, конечно, равно φ). Это тот самый «золотой» ряд, которым тщетно стремятся стать все аддитивные ряды.

Обширная литература, посвященная числу φ и связанным с ним вопросам, не менее эксцентрична, чем литература о квадратуре круга, так или иначе затрагивающая свойства другого иррационального числа — π. [Добавим несколько замечаний, взятых из книги Н. von Baravalle «Geometrie als Sprache der Formen».

Связь φ с числом Фибоначчи иллюстрируется лучше всего таким образом. Если взять разложение 1/φ в цепную дробь

 

и построить «подходящие дроби», откидывая «хвосты», то можно получить ряд чисел:

 

Продолжая в том же духе, получим ряд подходящих дробей:

 

В этом ряду каждый знаменатель становится числителем у следующей дроби. Числители и знаменатели образуют ряд Фибоначчи:

 

Так как приближение к 1/φ можно начинать с любых двух чисел, то читатель сразу увидит разгадку следующего фокуса.

Попросите двух человек написать на длинной бумажке два любых числа одно под другим, а третьего — подсчитать и записать их сумму. Перегните бумажку, оставив видными только два последних числа, и опять попросите написать их сумму; опять перегните бумажку и повторите просьбу сложить два числа. Повторив эту операцию раз 10–15, попросите разделить предпоследнее число на последнее (с точностью, скажем, до трех знаков). Результат вы можете предсказать заранее: он будет 0,618!

Наконец, составим последовательность равенств:

 

И здесь коэффициенты — члены ряда Фибоначчи!]

Классическим примером может служить объемистый (457 страниц) труд Адольфа Цейзинга «Der goldene Schnitt» («Золотое сечение»), опубликованный в 1881 году. Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение дает наибольший художественный эффект и доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Именно в золотом сечении, по Цейзингу, кроется ключ к пониманию всей морфологии (в том числе строения человеческого тела), искусства, архитектуры и даже музыки. В том же духе выдержаны и книги «Nature's Harmonic Unity» («Гармоническое единство природы») С. Колмена A913) и «The Curves of Life» («Кривые жизни») Т. Кука A914).

Вряд ли будет преувеличением сказать, что экспериментальная эстетика берет свое начало с попыток Густава Фехнера эмпирически обосновать взгляды Цейзинга. Немецкий физиолог измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные планки, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от φ. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытуемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различным соотношением сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, провести поперечную линию и превратить вертикальную палочку в крест, выбрав место пересечения перекладин по своему усмотрению, и т. д. И здесь многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к числу φ. Разумеется, основополагающие работы Фехнера были грубы, и более поздние исследования, проводимые в аналогичном направлении, позволяли прийти лишь к более расплывчатому утверждению о том, что большинство людей отдают предпочтение прямоугольнику, занимающему промежуточное положение где-то между квадратом и прямоугольником, у которого основание вдвое больше высоты.

Американец Джей Хэмбридж, скончавшийся в 1924 году, написал много книг, в которых отстаивал понятие «динамической симметрии», понимая под этим применение геометрии (ведущей роли числа φ в искусстве, архитектуре, проектировании мебели и даже типографских шрифтах. В наши дни мало кто принимает его работы всерьез, хотя время от времени какой-нибудь знаменитый художник или архитектор так или иначе использует золотое сечение.

Например, Джордж Беллоуз иногда брал золотое сечение за основу композиции своих картин. Холст, на котором написана «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника.

Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. Над столом как бы плавают в воздухе части огромного додекаэдра.

Много размышлял на тему о числе φ Фрэнк А. Лонк. Его брошюры обычно издавало фортеановское общество Т. Тэйера. Кстати сказать, это же общество выпустило и логарифмическую линейку, на которой среди прочих замечательных констант было нанесено число φ (общество прекратило свое существование в 1959 году, после смерти Тэйера). Лонк подтвердил одну из любимых теорий Цейзинга, измерив рост 65 женщин и сравнив полученные данные с расстоянием от пупка соответствующей особы до пола. Среднее значение этого отношения оказалось равным 1,618… и было названо автором «относительной постоянной Лонка». «Субъекты, у которых отношение данных измерения не совпадало с указанной постоянной, — писал Лонк, — при опросе неизменно сообщали о том, что перенесли в детстве вывих бедра или стали жертвой несчастного случая, повлекшего за собой деформацию тела». Лонк оспаривал широко распространенное мнение о том, что десятичное разложение числа π имеет вид 3,14159…. Он произвел более точные вычисления, возведя в квадрат число φ, умножив результат на 6 и поделив затем полученное число на 5. По его подсчетам, значение π выражается десятичным числом 3,14164078644620550.

В заключение этой главы я приведу интересную задачу, связанную с числом φ и эмблемой «Свободной Франции» (организации, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль) — лотарингским крестом, изображенным на рис. 133.

 

Рис. 133 Лотарингский крест. Чему равна длина отрезка ВС?

 

Крест этот составлен из 13 единичных квадратов. Задача состоит в следующем: через точку А нужно провести прямую так, чтобы площадь заштрихованной части креста была равна площади той его части, которая лежит по другую сторону прямой. Чему равна длина отрезка ВС, если считать, что прямая проведена правильно (на рис. 133 умышленно показано неверное положение прямой, чтобы читатель, взглянув на чертеж, не мог отгадать истинное решение).

* * *

Много интересных писем пришло в редакцию Scientific American в связи со статьей о числе φ. Читатели обращали внимание на то, что в большинстве математических книг и журналов отношение длин отрезков, образующих золотое сечение суммарного отрезка, принято обозначать не буквой φ, а другой греческой буквой — τ («тау»). Это действительно так, но во многих нематематических книгах то же отношение обозначено буквой φ, и именно этот символ чаще всего встречается в занимательной литературе.

Один из читателей для вычисления числа φ с точность до 2878 десятичных знаков воспользовался компьютером. На всю работу компьютеру понадобилось меньше четырех минут. Для любителей числовых курьезов сообщаем, что среди первых 500 цифр встречается необычная последовательность 177111777.

Другой читатель сообщил, что отношение длин пунктирных диагоналей на рис. 128 и пунктирных медиан на рис. 129 равно числу φ.

Стифен Барр, сын Марка Барра, давшего числу φ его название, прислал мне оттиск статьи своего отца, опубликованной в лондонском Sketch в 1913 году. В этой статье содержится следующее обобщение этого замечательного числа. Если построить аддитивный ряд, в котором каждый член (начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих, то предел отношения последующего члена ряда к предыдущему будет равен 1,8395… Аналогичный предел для аддитивного ряда, в котором каждый член, начиная с пятого, равен сумме четырех предыдущих, равен 1,9275…. В общем случае

 

где n — число слагаемых, которые необходимо взять для получения следующего члена ряда, а х — предел отношения последующего члена ряда к предыдущему. При n = 2 мы получаем обычные числа Фибоначчи с х = φ. При n, стремящемся к бесконечности, х стремится к 2.

Теория Цейзинга относительно расстояний от пупка до пола время от времени встречается и в современных книгах. Например, в книге Матила Гика[44] мы читаем: «Можно с уверенностью утверждать, что, измерив указанное отношение для большого числа мужчин и женщин, мы в среднем получим для него значение 1,618».

Смысл этого утверждения столь же неясен, сколь и смысл утверждения о вычислении «среднего отношения длины клюва птицы к длине ее ноги». По какой группе людей следует производить усреднение: по случайным образом выбранным жителям Нью-Йорка, Шанхая или по случайной выборке из населения всего земного шара? Положение усугубляется тем, что во всем мире и даже в небольших районах земного шара наблюдается сильное смешение типов телосложения.