Тема. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правило дифференцирования функций. Дифференцирование функций, заданных аналитически.

Лекция (занятия №24-25)

Тема. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правило дифференцирования функций. Дифференцирование функций, заданных аналитически.

 

План.

1. Определение производной функции.

2. Геометрический, механический смысл производной.

3. Дифференцируемость функции.

4. Схема вычисления производной.

5. Основные правила дифференцировки.

6. Производная сложной и обратной функций.

7. Производные элементарных функций.

 

Определение производной.

Производная играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

Рассмотрим функцию , заданную на некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную точку  и зададим в этой точке прирост  такой, что . При этом функция получит приращение  .

Определение 1. Если существует предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при , то этот предел называется производной функции  в точке

  (1)

 

Производная функции имеет несколько обозначений  Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например .

Рассматривая все значения x з (a,b), в которых существует, мы видим, что каждой точке x соответствует определенное значение . Итак,  есть некоторая функция от x, определяемая по исходной функции f применением Формулы (1). При вычислении производной мы всегда имеем дело с раскрытием неопределенности вида .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала (a,b), называется дифференцированной на этом интервале.

Определение 2. Функция имеет в точке x бесконечную производную, равную  или  , если в этой точке граница (1) бесконечная:

                 (1)

Определение 3. Правой производной функции называется величина

                                                                             (2)

Левой производной функции называется величина

                                                                           (3)

Для того чтобы существовала производная  , необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f в точке x справа и слева и были равны между собой. Тогда автоматически они равны.  Это справедливо и для бесконечных производных.

Дифференцируемость функции.

Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Прежде всего, отметим, что не любая непрерывная функция дифференцирована. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть, например, функцию  . В точке эта функция непрерывна, но не является дифференцированной (не существует производной, потому что не существует касательной).

Теорема 1. Если существует конечная производная функции  в точке x, то f(x) непрерывная в этой точке.

Доказательство. По условию теоремы, существует производная

а по определению предела это означает, что

где a бесконечно мала функция . Тогда,, где , де  бесконечно имела величина более высокого порядка малости по сравнению с.  Из последнего равенства получается, что,  а это значит, что  непрерывна в точке x.

Непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором интервале (a,b), то функция называется гладкой на этом промежутке. Если производная функции имеет конечное число точек разрыва первого рода, то такая функция называется кусочно-гладкой на данном интервале.

На рис. 2 приведена графическая иллюстрация некоторых возможных значений производной функции в точке x=0.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Сформулируйте определение производной.

2. Какой геометрический, механический и экономический смысл производной?

3. Что можно сказать о поведении функции, зная, что ее производная положительна? Отрицательная? Недодатна? Неотъемлемая? Сделайте рисунки для этих случаев, приведите примеры таких функций.

4. Дайте определение левой и правой производной.

5. Связь между существованием производной и непрерывностью функции?

6. Может ли функция иметь производную в точке, в которой она разрывная?

7. Функция в данной точке дифференцирована. Значит ли это, что она непрерывна в этой точке?

8. Почему равны производные суммы, разницы и произведения двух функций?

9. Выпишите вид производной доли двух функций.

10. Чему равна производная сложной функции? Выпишите формулу и приведите примеры.

11. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

12. Как определяются производные высших порядков?

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ.

Производная функции.

Дифференцирование функции.

Производные высших порядков.

Касательная. Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к кривой

Механический смысл производной

Кусочно-гладкая функция.

 

ЛИТЕРАТУРА.

1. М. С. Красс " Математика для экономических специальностей: Учебник”, М.: ИНФРА-М, 1999, с. 81-85, 87-94, 95-97.

2. “ Высшая математика для экономистов”, ред. Н. Ш. Кремера Н.: ЮНИТИ, 1998, с. 176-208.                                                    

3. В.В. Пак, Ю.Л. Носенко “Высшая математика” Д.: Сталкер, 1997, с. 111-124.

4.В. А. Курявцев, В. П. Демидович “Короткий курс высшей математики", г. Наука, 1975, гл. IX, X.

5. “Курс математики для техникумов, ч. 1”, ред. Н.М. Матвеева, М.: Наука, 1976, с. 103-116.

6. Ю. М. Почтман Основы математики: учебно-методическое пособие”, М.: МАУП, 1999, с. 39-44.

7. И. Л. Зайцев " элементы высшей математики (для техникумов)", М.: Наука, 1974, гл. 3.

Лекция (занятия №24-25)

Тема. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правило дифференцирования функций. Дифференцирование функций, заданных аналитически.

 

План.

1. Определение производной функции.

2. Геометрический, механический смысл производной.

3. Дифференцируемость функции.

4. Схема вычисления производной.

5. Основные правила дифференцировки.

6. Производная сложной и обратной функций.

7. Производные элементарных функций.

 

Определение производной.

Производная играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

Рассмотрим функцию , заданную на некотором интервале (a,b). Возьмем произвольную точку  и зададим в этой точке прирост  такой, что . При этом функция получит приращение  .

Определение 1. Если существует предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при , то этот предел называется производной функции  в точке

  (1)

 

Производная функции имеет несколько обозначений  Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например .

Рассматривая все значения x з (a,b), в которых существует, мы видим, что каждой точке x соответствует определенное значение . Итак,  есть некоторая функция от x, определяемая по исходной функции f применением Формулы (1). При вычислении производной мы всегда имеем дело с раскрытием неопределенности вида .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала (a,b), называется дифференцированной на этом интервале.

Определение 2. Функция имеет в точке x бесконечную производную, равную  или  , если в этой точке граница (1) бесконечная:

                 (1)

Определение 3. Правой производной функции называется величина

                                                                             (2)

Левой производной функции называется величина

                                                                           (3)

Для того чтобы существовала производная  , необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f в точке x справа и слева и были равны между собой. Тогда автоматически они равны.  Это справедливо и для бесконечных производных.