Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження

Можна вважати, що центрально стиснуті стрижні втрачають свою несучу здатність від втрати стійкості раніше, ніж від втрати міцності, так як критичне напруження завжди менше границі текучості або границі міцності:

,

де — для пластичних матеріалів;

— для крихких матеріалів.

Необхідно нагадати, що для стрижнів малої гнучкості важко говорити про явище втрати стійкості прямолінійної форми стрижня, як це має місце для стрижнів середньої й великої гнучкості. Несуча здатність стрижнів малої гнучкості визначається міцністю матеріалу.

Критичне напруження для центрально стиснутих стрижнів середньої і великої гнучкості представляє, мабуть, більшу небезпеку, чим границя текучості для пластичних матеріалів або границя міцності для крихких матеріалів при простому розтяганні. Очевидно, що при практичному рішенні питання про стійкість стрижня не можна допустити виникнення в ньому критичного напруження, а варто прийняти відповідний запас стійкості.

Щоб одержати допустиме напруження, на стійкість, потрібно вибрати коефіцієнт запасу . Тоді

.

(29)

Коефіцієнт запасу на стійкість завжди приймають трохи більше основного коефіцієнта запасу на міцність . Це робиться тому, що для центрально стислих стрижнів ряд обставин, неминучих на практиці (ексцентриситет додатка стискаючих сил, початкова кривизна й неоднорідність стрижня), сприяють поздовжньому вигину, у той час як при інших видах деформації ці обставини майже не позначаються. Коефіцієнт запасу стійкості для сталей вибирають у межах 1,8—3,0; для чавуну — у межах 5,0—5,5; для дерева — 2,8...3,2. Помітимо, що менші значення приймають при більшій гнучкості.

Напруження, що допускається, на стійкість і допускається напруження, що, на міцність при стиску взаємно зв'язані. Складемо їх відношення:

, або .

(30)

Позначивши

,

Одержимо

.

(31)

Тут — коефіцієнт зменшення основного допустиме напруження, при розрахунку на стійкість. Цей коефіцієнт для кожного матеріалу можна обчислити при всіх значеннях гнучкості й представити у вигляді таблиці або графіка залежності від . Значення коефіцієнта для сталей, чавуну й дерева наведені в табл. 14.2. Користуючись аналогічними таблицями, можна досить просто розраховувати стрижні на стійкість.

Складемо умову стійкості стиснутих стрижнів:

.

(32)

Так як

, а ,

та умова стійкості приймає вид

.

(33)

Таблиця 2

Гнучкість,	Коефіцієнт				Гнучкість,	Коефіцієнт
	Ст2, Ст3, Ст4	Ст5	Чавун	Дерево		Ст2, Ст3, Ст4	Ст5	Чавун	Дерево
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100	1,00 0,99 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75 0,69 0,60	1,00 0,98 0,95 0,92 0,89 0,86 0,82 0,76 0,70 0,62 0,51	1,00 0,97 0,91 0,81 0,69 0,57 0,44 0,34 0,26 0,20 0,16	1,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,71 0,60 0,48 0,38 0,31	110 120 130 140 150 160 170 180 190 200	0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19	0,43 0,36 0,33 0,29 0,26 0,24 0,21 0,19 0,17 0,16	— — — — — — — — — —	0,25 0,22 0,18 0,16 0,14 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08

 

При розрахунку на стійкість місцеві ослаблення перетину практично не змінюють величину критичної сили, тому в розрахункові формули вводиться повна площа поперечного переріза.

Розглянемо два види розрахунку на стійкість стиснутих стрижнів — перевірочний і проектувальний.

Перевірочний розрахунок стиснутих стрижнів. Порядок перевірочного розрахунку на стійкість при використанні таблиці коефіцієнтів наступний:

1) виходячи з відомих розмірів і форми поперечного переріза, визначаємо найменший осьовий момент інерції , площа , обчислюємо мінімальний радіус інерції

і гнучкість

;

2) по таблиці знаходимо коефіцієнт і обчислюємо допустиме напруження, на стійкість по формулі

;

3) порівнюємо дійсне напруження з допустимим напруженням, на стійкість :

Приклад 1. Перевірити на стійкість стиснуту дерев'яну колону (рис. 10) квадратного поперечного переріза довжиною , якщо основне допустиме напруженя , а стискаюча сила .

Рис. 10. До прикладу 1

Рішення.

Визначаємо наступні величини:

площа –– ;

момент інерції –– ;

радіус інерції — ;

наведену довжину –– ;

гнучкість –– .

По табл. 14.2 інтерполяцією знаходимо, що

.

Тоді

;

.

Так як , то стійкість колони забезпечена.

Проектувальний розрахунок. У розрахунковій формулі на стійкість

, або ,

(34)

є дві невідомі величини — коефіцієнт і шукана площа брутто поперечного переріза. Тому при підборі перетинів доводиться користуватися методом послідовних наближень, варіюючи величину коефіцієнта . Звичайно в першій спробі беруть . Приймаючи яке-небудь із цих значень , визначають необхідну площу й підбирають перетин. Підібраний перетин перевіряють і встановлюють фактичне значення . Якщо значно відрізняється від , то й напруга відрізняється від що допускається. Тоді варто повторити розрахунок, тобто зробити другу спробу, прийнявши середнє по величині значення між і .

.

(35)

У результаті другої спроби встановлюють . Якщо потрібно третя спроба, то

і т.д. Звичайно при підборі перетинів потрібно не більше двох-трьох спроб.

Приклад 2. Підібрати по сортаменту двотавровий поперечний переріз стрижня довжиною , що перебуває під дією центрального стискаючого навантаження . Обидва кінці стрижня затиснені. Матеріал — СтЗ. Основне допустиме напруження .

Визначаємо розрахункову довжину стрижня:

Підбираємо поперечний переріз шляхом послідовних наближень.

Перша спроба: приймаємо ; необхідна площа поперечного переріза

По сортаменті підбираємо двотавр № 27 із площею й мінімальним радіусом інерції . Гнучкість стрижня

.

По табл. 2 при лінійній інтерполяції

.

Перейдемо до другого наближення, прийнявши . Необхідна площа поперечного переріза стрижня.

.

По сортаменті підбираємо двотавр № 24а із площею й мінімальним радіусом інерції . Гнучкість стрижня

.

По табл. 2 знаходимо коефіцієнт

.

Переходимо до третього наближення, прийнявши

.

Обчислюємо необхідну площу:

.

По сортаменті підбираємо двотавр № 24 із площею й мінімальним радіусом інерції . Гнучкість стрижня

.

Для коефіцієнт

.

Обчислюємо напруження:

.

Перенапруження становить

.

Остаточно приймаємо для стрижня двотавр № 24.

Про вибір матеріалу й раціональних форм поперечних перерізів для стиснутих стрижнів

Для стрижнів великої гнучкості , коли критичні напруження не перевищують межі пропорційності матеріалу, модуль пружності є єдиною механічною характеристикою, що визначає опір стрижня втраті стійкості. У цьому випадку недоцільно застосовувати сталь підвищеної міцності, тому що модулі для різних сталей практично однакові.

Для стрижнів малої гнучкості застосування спеціальних високосортних сталей доцільно, тому що в цьому випадку підвищення границі текучості стали збільшує критичні напруження, а отже, і запас стійкості.

З економічної точки зору найбільш раціональна така форма поперечного переріза стрижня, при якій величина найменшого радіуса інерції при певній площі є найбільшою. Для зручності порівняння різних перетинів введемо безрозмірну характеристику

,

яку можна назвати питомим радіусом інерції. Нижче наведені значення для деяких перетинів:

Перетин
Трубчастий перетин Трубчастий перетин Куточок Двотавр Швелер Квадрат Коло Прямокутник	2, 25-1,64 1, 2-1,00 0, 5-0,3 0, 41-0,27 0, 41-0,29 0,289 0,283 0,204

де .

Аналіз даних показує, що найбільш раціональні трубчасті тонкостінні перетини. Настільки ж раціональне й коробчасті тонкостінні перетини. Однак варто помітити, що при проектуванні тонкостінних трубчастих і коробчастих перетинів необхідно передбачати постановку діафрагм (ребер жорсткості) на певних відстанях по довжині стрижня. Ці діафрагми перешкоджають появі місцевих деформацій (покороблених стінок). Найменш раціональні суцільні прямокутні перетини.

При розрахунку стиснутих стрижнів на стійкість варто прагнути до того, щоб вони були равностійкими у всіх напрямках. Для цього проектувати перетини треба так, щоб головні моменти інерції були по можливості однаковими. Трубчасті перетини раціональні і з цього погляду. Цьому критерію задовольняють також квадратні й круглі перетини. Нераціонально застосовувати двотаврові перетини й перетини у вигляді прямокутника. Однак якщо наведені довжини в головних площинах різні, той і головний моменти інерції також варто проектувати різними, для того щоб величини гнучкостей стрижня в обох головних площинах були однаковими або хоча б близькими між собою. Якщо не вдається зробити гнучкості однаковими, то розрахунок варто вести по максимальній гнучкості.

 

Питання для самоконтролю

 

 

1. Як проводиться розрахунок на стійкість стержнів за допомогою

коефіцієнта поздовжнього згину?

 

 

Заняття № 67

Лабораторна робота № 5. Визначення критичної сили стиснутого стрижня.

 

Заняття № 68

 

Тема: 2.9. Розрахунки на витривалість

План

1. Виникнення змінних напружень. Цикли напружень. Амплітуда циклу, коефіцієнт асиметрії циклу.

2. Втомлене руйнування. Крива витривалості. Границя витривалості.

 

Студент повинен знати: Формули для визначення прогину і кутів обертання поперечних перерізів.

Студент повинен вміти:  розрахунки на жорсткість при прямому згині. 

 

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 2 ] §§ 4,1 - 4,2; [12] §§ 4.2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА