Многослойная плоская стенка.

Рассмотрим для тех же условий многослойную плоскую стенку с толщиной слоев d₁, d₂,…, d_n с соответствующими коэффициентами теплопроводности l₁, l₂,…, l_n (рис.2.2.4). Здесь слои плотно прилегают друг к другу. В этом случае плотность теплового потока определяется по формуле:

,

где n - число слоев многослойной стенки;

t_c1 и t_c(n+1) - температуры на внешних границах многослойной стенки;

- полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки.

Рис.2.2.4. Распределение температур по толщине многослойной

плоской стенки

 

Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном режиме одинакова. А так как коэффициент теплопроводности l различен, то для плоской многослойной стенки распределение температур - ломаная линия.

Рассчитав тепловой поток через многослойную стенку, можно найти температуру на границе любого слоя. Для k-го слоя можно записать:

,

Однородная цилиндрическая стенка.

Задача о распространении тепла в цилиндрической стенке также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. температура изменяется только вдоль радиуса r, а по длине и по ее периметру остается неизменной.

В соответствии с законом Фурье, тепловой поток через однородную цилиндрическую стенку длиной l определяется по формуле (рис.2.2.5):

,

Тепловой поток Q через цилиндрическую стенку можно отнести к единице длины l:

,

где q_l - линейная плотность теплового потока, Вт/м;

 - линейное термическое сопротивление теплопроводности трубы.

Рис. 2.2.5. Изменение температуры по толщине однородной

цилиндрической стенки

 

При значениях d₂/d₁ близких к единице расчеты R_l  должны производиться с высокой точностью, т.к. при округлении d₂/d до одного знака после запятой погрешность вычисления логарифма будет больше 10%. С точностью до 4% при d₂/d₁ < 2 в практических расчетах рекомендуется пользоваться формулой для плоской стенки:

,

где d_cp=0,5(d₁+d₂) - средний диаметр трубы.

В толще однородной цилиндрической стенки температура изменяется по логарифмическому закону.

 

Многослойная цилиндрическая стенка.

Аналогично многослойной плоской стенке, полное термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки можно записать:

,

где d_i и d_i+1 - соответственно внутренний и внешний диаметры i_го слоя.

Тогда линейная плотность теплового потока будет:

,

Для многослойной цилиндрической стенки распределение температур - ломаная логарифмическая линия.

 

Теплопередача

 

В технике часто приходится рассчитывать стационарный процесс переноса теплоты от одного теплоносителя другому через разделяющую стенку. Такой процесс называется теплопередачей.

Плоская стенка.

Рассмотрим теплопередачу между двумя жидкостями через разделяющую из многослойную плоскую стенку. Здесь передача теплоты делится на три процесса:

1) В начале теплота передается от горячего теплоносителя t_ж1 к поверхности стенки путем конвективного теплообмена, который может сопровождаться излучением. Интенсивность процесса теплоотдачи характеризуется коэффициентом теплоотдачи a₁.

2) Затем теплота теплопроводностью переносится поочередно от одной поверхности стенки к другой, которая характеризуется коэффициентом теплопроводности l(l₁,…,l_n).

3) И, наконец, теплота опять путем конвективного теплообмена передается от поверхности стенки к холодной жидкости t_ж2. Этот процесс характеризуется коэффициентом теплоотдачи a₂ (рис.2.2.6).

Рис.2.2.6. Распределение температур при теплопередаче через

многослойную плоскую стенку

 

При стационарном режиме плотность теплового потока во всех трех процессах одинакова и может быть записана следующим образом:

по закону Ньютона - Рихмана

,

по закону Фурье

,

по закону Ньютона - Рихмана

,

где  и   - термическое сопротивление внешней теплоотдачи соответственно от горячего теплоносителя к стенке и от стенки к холодному теплоносителю.

Из вышеприведенных уравнений составив систему уравнений:

               ,                (2.2.3)

и сложив правые и левые части, получим уравнения теплопередачи через многослойную плоскую стенку:

или

,

где  - температурный напор, заданный условиями задачи;

R_k - термическое сопротивление теплопередачи от горячего теплоносителя к холодному.

Величина, обратная R_k, называется коэффициентом теплопередачи К:

,

Коэффициент теплопередачи К характеризует интенсивность процесса теплопередачи от горячего теплоносителя к холодному через разделяющую их стенку.

Тогда уравнение теплопередачи можно записать:

 или

Граничные температуры определяются из (2.2.3):

,

Очевидно, что для однослойной плоской стенки формулы справедливы, где ,  , t_c(n+1)=t_c2.

 

Цилиндрическая стенка.

Рассмотрим теплопередачу между двумя жидкостями через разделяющую их многослойную цилиндрическую стенку.

Аналогично теплопередаче через плоскую стенку, линейную плотность теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку при стационарном режиме можно записать:

по закону Ньютона - Рихмана

,

по закону Фурье

            ,

по закону Ньютона - Рихмана

,

где  и  - термические сопротивления внутренней и внешней теплоотдачи на единицу длины.

Аналогично получим линейную плотность теплового потока:

,

где R_lk - линейное термическое сопротивление, (м×К)/Вт.

K_l - линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(м×К)

,

Граничные температуры цилиндрической стенки определяются как

.