Отдельные задачи теплопроводности при стационарном

Режиме

В технике часто возникают задачи определения температурного поля тела и установления законов передачи теплоты. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье ¾ соответствующие тепловые потоки. Следует отметить, что аналитическое решение поставленной задачи возможно только для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях эта задача решается численными или экспериментальными методами.

Рассмотрим несколько тел простой формы — таких, как плоская стенка и полая труба — в случае стационарного распространения теплоты, для которых уравнение теплопроводности значительно упрощается.

4.2.7.1. Теплопроводность через плоскую и цилиндрическую стенки.

Рассмотрим однородную плоскую однослойную стенку толщиной d, (рис. 4.4), имеющую неограниченную длину и ширину.

На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен l. При стационарном режиме ¶t/¶t=0 и отсутствии внутренних источников теплоты q_v=0 и с учетом того, что в этом случае температура будет изменяться только в направлении оси ОХ, дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид

                                         (4.22)

Интегрируя уравнение (4.22), находим

                                         (4.23)

 

Рис. 4.4. Температурное поле плоской однослойной стенки

После второго интегрирования получаем общий вид уравнения распределения температур в плоских стенках:

t=C₁x+C₂.                                    (4.24)

Постоянные С₁ и С₂ в уравнении (2.24) определяются из граничных условий:

при х=0                    t=t₁,                 C ₂= t ₁;

при х=d                    t=t₂,                

Подставляя значения постоянных С₁ и С₂ в уравнение (4.24), получаем уравнение распределения температуры в рассматриваемой плоской однослойной стенке

                                         (4.25)

Уравнение (4.25) является уравнением прямой линии.

Плотность теплового потока, проходящего через стенку в соот-ветствии с законом Фурье, q = -l¶t/¶n. Учитывая, что

, получим .            (4.26)

Отношение d/l (Вт/(м²×К)) называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина d/l (м²×К/Вт) — тепловым или термическим сопротивлением стенки. Последнее представляет собой изменение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Тепловой поток, который передается через полную поверхность стенки,

, Вт.                       (4.27)

Для многослойных стенок уравнение имеет вид

.                         (4.28)

Величина  называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

При сравнении переноса теплоты через многослойную стенку и стенку из однородного материала удобно ввести в рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности l_экв многослойной стенки. Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина которой D равна толщине многослойной стенки , а термическое сопротивление равно термическому сопротивлению рассматриваемой стенки, т.е.:

.

Отсюда

                             (4.29)

Из уравнения (4.29) следует, что эквивалентный коэффициент теплопроводности l_экв зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.

Графически распределение температур по сечению многослойной стенки представляется ломаной линией; температуры на границе соприкосновения слоев можно определить уравнением

                             (4.30)

При рассмотрении стационарного процесса теплопроводности в цилиндрической однослойной стенке (трубе) с внутренним радиусом r₁ и наружным r₂ (рис. 4.5) получаем уравнение распределения температуры:

или

.                    (4.31)

 

Рис. 4.5. Температурное поле однослойной цилиндрической стенки

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим. В случае плоской стенки плотность теплового потока остается одинаковой для всех изотермических поверхностей и градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность изменяется, т. к. величина поверхности зависит от радиуса (H=2pr l), что приводит к изменению градиента температуры.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность величиной Н в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье

.

Подставляя значение градиента температуры и поверхности, получаем

, Вт.                           (4.32)

Из уравнения (4.32) следует, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется заданными граничными условиями.

Тепловой поток (4.32) может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности.

Расчетная формула для плотности теплового потока, проходящего через единицу длины трубы, запишется:

, Вт/м.                          (4.33)

Тепловой поток, отнесенный к единице трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Как видно из уравнения (4.33), при неизменном отношении d₂/d линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки.

Тепловой поток через единицу внутренней поверхности запишется:

, Вт/м.                (4.34)

Тепловой поток через единицу наружной поверхности запишется:

, Вт/м.               (4.35)

На основании полученного уравнения теплового потока на единицу длины трубы (4.33) можно получить уравнение теплового потока многослойной цилиндрической стенки. В этом случае необходимо выразить разности температур слоев из указанного уравнения, а затем, аналогично примеру с плоской стенкой, сложить полученные результаты. В результате получаем уравнение теплового потока многослойной цилиндрической стенки:

, Вт/м.                      (4.36)

Величина, стоящая в знаменателе, называется полным термическим сопротивлением многослойной цилиндрической стенки. Уравнение (4.36) может быть использовано для определения температур на границах любого слоя:

.                         (4.37)

Таким образом, полученные уравнения температурного поля и теплового потока позволяют определить температуры в любой требуемой точке тела (пластины или цилиндра) и определить величину теплового потока.

Температурное поле для шаровой стенки имеет вид

.                          (4.38)

Тепловой поток определяется по уравнению

, Вт.      (4.39)

Указанные уравнения можно использовать для расчета температур в агрегатах и узлах автомобиля. Например, распределение температур по толщине двигателя или стенки кабины можно считать по уравнениям плоских стенок; карданных валов — по уравнениям цилиндрических стенок; заднего моста, главной передачи — по уравнениям шаровых стенок.

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

4.3.1. Основные понятия и определения

Конвективный теплообмен ¾ это процесс передачи теплоты между твердой поверхностью и окружающей средой, который осуществляется через ламинарный пограничный слой, образующийся в любом случае, а в остальном объеме перенос теплоты осуществляется конвекцией. Различают два вида конвекции: свободную (естественную) и вынужденную. При свободной конвекции жидкость движется за счет разности плотностей, при вынужденной ¾ за счет внешних сил (насос, вентилятор, ветер). Основным уравнением конвективного теплообмена в любом случае является уравнение Ньютона, сводящееся к утверждению, что количество теплоты пропорционально поверхности Н и разности температур Dt:

Q=aH(t₁ - t₂),                              (4.40)

где a ¾ коэффициент пропорциональности ¾ коэффициент теплоотдачи (Вт/(м²×К)), характеризует величину удельного теплового потока, передаваемого единицей поверхности при градиенте в один градус.

Коэффициент теплоотдачи можно представить в виде

,                                           (4.41)

где D — толщина ламинарного пограничного слоя.

В этом случае оказывается, что a зависит от большого количества факторов — аналогично D — и не имеет аналитического решения. Определение коэффициента теплоотдачи осуществляется экспериментально и это сообщает всему учению о конвективном теплообмене эмпирический характер. Применение теории подобия и теории размерностей дает возможность обобщить опытные данные и свести задачу конвективного теплообмена к зависимости параметров гидродинамического и теплового подобия и этим все учение о конвективном теплообмене приобретает полуэмпирический характер.

Теория размерностей

Теория размерностей используется в том случае, когда нет дифференциального уравнения, описывающего данный процесс. В условиях вынужденной конвекции величина коэффициента теплоотдачи является функцией по крайней мере шести независимых переменных: весовой скорости u, кг/(м²×с); линейного размера l; вязкости m, кг/(м×с); теплоемкости С, Дж/(кг×К); плотности r, кг/м³ и теплопроводности l, Вт/(м×К).

При экспериментальном определении a Вт/(м²×К) необходимо исследовать зависисмость a от шести переменных и провести число опытов , где А — число опытов с одной переменной, например, А = 10; n — число независимых переменных. Для данного примера оказывается, что число опытов равно одному миллиону, что является совершенно нереальным. Применение же теории размерностей приводит к сокращению независимых переменных. В условиях вынужденной конвекции коэффициент теплоотдачи является функцией

a = a(u, l, m, С, r, l).                            (4.42)

Полный дифференциал a равен:

.               (4.43)

Для перехода к безразмерным (относительным) величинам необходимо иметь переменные, не отсчитываемые от постоянного «нулевого» уровня. Разделим полученное уравнение на a и одновременно делим и умножаем каждое слагаемое на соответствующие значения (l / l; u/u; m/m и т. д.), тогда

.         (4.44)

Считаем, что соотношения частных производных являются постоянными:

; ; …; ,

тогда получим

.      (4.45)

Интегрируем полученное выражение:

ln a=i_u ln u+i _l ln l +…+i_l ln l+ln C₀.               (4.46)

Потенцируем и получим

.                 (4.47)

Необходимым условием общности полученного решения должно быть требование безразмерности постоянной С₀ или ее обратной величины:

.         (4.48)

Это уравнение не зависит от системы единиц, а в связи с тем, что С₀ является безразмерной, то все единицы измерений (справа) должны входить в это уравнение в «0» степени. Для исключения размерностей составим табл. 2.1.

Таблица 4.1

              Размерности и показатели степени при конвективном

Теплообмене

№ п/п

Наименование величины

Показатель степени

Размерности