Стереометрия.Нахождение объемов тел.

ПЛАНИМЕТРИЯ.ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

Упражнение 1

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна 5. Один из его катетов равен 8. Найдите длину второго катета.

6

 

Упражнение 2

В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AB=8, sin⁡A=0,5. Найдите BC.

4

Упражнение 3

В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AC=4, BC=3. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

1

Упражнение 4

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

5

 

2. Планиметрия. Вычисление углов

Упражнение 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BAD равен 58∘. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

122

 

Упражнение 2

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 110∘. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

35

 

Упражнение 3

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

60

 

Упражнение 4

Угол ACB равен 42∘. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124∘. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

20

 

Планиметрия.Вычисление площадей.

Упражнение 1

Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

141,75

Упражнение 2

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

 

6

Упражнение 3

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

30

Упражнение 4

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а её боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

160

 

Стереометрия.Нахождение объемов тел.

Упражнение 1

Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если её высоту увеличить в четыре раза, оставив основание неизменным?

4

Упражнение 2

Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

75

Упражнение 3

Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды ABDA1.

1,5

Упражнение 4

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

1500

 

Стереометрия.Нахождение площади поверхности.

Упражнение 1

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

12

 

Упражнение 2

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

340

Упражнение 3

Объём первого куба в 8 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

4

 

30954

Упражнение 2

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 6 и 10. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

5

Упражнение 3

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 2 и 7.

а) Может ли их сумма быть равной 81?

да

нет

б) Может ли их сумма быть равной 197?

да

нет

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма составляет 2099?

7

6840

Упражнение 2

Таксист за месяц проехал 6000 км. Цена бензина составляет 20 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

10800

Упражнение 3

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

10875

Упражнение 4

В квартире установлен прибор учёта холодной воды (счётчик). Показания счетчика 1 сентября составляли 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за сентябрь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.

211,2

Упражнения

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8-12	40	18000
2	дровяная	10-16	48	19500
3	электрическая	9-15,5	15	15000

Упражнение 1

Установите соответствие между массами и номерами печей. Заполните таблицу, в поле ввода введите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи	3	1	2

312

Упражнение 2

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

15,4

Упражнение 3

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

4500

Упражнение 4

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

16200

Упражнение 5

Хозяин выбрал дровяную печь (левый рисунок). Чертёж передней панели печи показан на правом рисунке.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. правый рисунок). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

50

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Упражнение 1

Найдите корень уравнения (16)x−2=6x.

1

Упражнение 2

Найдите корень уравнения 57−7x=6.

3

Упражнение 3

Решите уравнение 27⋅81sin⁡x−12⋅9sin⁡x+1=0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;3π].

Укажите наименьший корень, принадлежащий данному отрезку, поделённый на число π. Например, если наименьшим корнем является число 23π17, в качестве ответа введите текст 23/17.

3/2 И 11/6

 

Укажите наибольший корень, принадлежащий данному отрезку, поделённый на число π. Например, если наибольшим корнем является число 23π17, в качестве ответа введите текст 23/17.

 

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ.

Упражнение 1

Решите неравенство log3⁡x⩽4+log1/3⁡x.

Укажите наименьшее решение неравенства. Если такого корня не существует, введите число −100.

-100

Укажите наибольшее решение неравенства. Если такого корня не существует, введите число 100.

9

Упражнение 2

Решите неравенство 23x−1⩾12x.

Укажите наименьший корень неравенства. Если такого корня не существует, введите число −100.

0,25

Укажите наибольший корень неравенства. Если такого корня не существует, введите число 100.

100

Упражнение 3

Решите неравенство log2⁡(4x2)+35log22⁡x−36≥−1. Выберите из списка все числа, которые являются корнями этого неравенства.

−100

−64

−6

−1

−12

0

12

1

6

64

100 0,25 и 100

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ.

Упражнение 1

Найдите значение выражения 2sin⁡7π8⋅cos⁡7π8.

-1/2

Упражнение 2

Найдите значение выражения 812,693,7.

27

Упражнение 3

Найдите значение выражения (96−24)⋅6.

12

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Упражнение 1

На конференцию приехали 2 учёных из Германии, 3 из Сербии и 7 из Швейцарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым окажется доклад учёного из Сербии.

0,25

Упражнение 2

На борту самолёта 15 мест рядом с запасными выходами и 24 места за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

0,13

Упражнение 3

В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Углеводороды».

0,24

Упражнение 4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем 36,8∘C, равна 0,92. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8∘C или выше.

0,08

 

РАЗВИТИЕ ТАЛАНТА

ЭТАПЫ ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Упражнение 1

Костя, Лиза, Миша и Никита собирали грибы в лесу. Кто-то из них собрал 14 грибов, другой — 17, третий — 19, четвёртый — 24. Известно, что:

• один из мальчиков собрал 14 грибов;
• Миша собрал грибов больше, чем Лиза;
• суммарное количество грибов, собранное Никитой и Мишей, делится на 3.

Кто сколько грибов собрал? 24,17,19,14

Костя собрал

14 грибов

17 грибов

19 грибов

24 гриба

нет ответа

Лиза собрала

14 грибов

17 грибов

19 грибов

24 гриба

нет ответа

Миша собрал

14 грибов

17 грибов

19 грибов

24 гриба

нет ответа

Никита собрал

14 грибов

17 грибов

19 грибов

24 гриба

Упражнение 2

В террариуме зоопарка есть питоны, удавы и анаконды (есть хотя бы по одной змее каждого из трёх видов; змей других видов в зоопарке нет). Известно, что среди любых 9 змей обязательно есть питон, а среди любых 11 змей обязательно есть удав. Какое наибольшее количество змей может быть в зоопарке?

17

Упражнение 3

Никита взял доску 4×4 и на каждую клетку поставил столбик из кубиков. На две клетки по 1 кубику, на две клетки по 2 кубика, на две клетки по 3 кубика, …, на две клетки по 8 кубиков. Потом он нарисовал, как выглядит конструкция спереди и справа (если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то Никита нарисует столбик из 8 кубиков). Сколько в сумме кубиков он поставил на 3 выделенные клетки?

21

Упражнение 4

Числа 1, 2, 3, 5, 9, 10 расставили в клетки фигуры, изображённой на рисунке, так, чтобы суммы чисел во всех столбцах (включая столбец из одной клетки) были равны. Какое число может стоять в самой верхней клетке? Укажите все возможные варианты.

1

2

3

5

9

10 2,3,5

Упражнение 5

У Василисы Премудрой есть 12 больших ларцов. В некоторых из них лежит по 11 средних ларцов. А в некоторых средних ларцах лежит по 11 маленьких ларцов. В ларцах больше ничего не лежит. Всего у Василисы 102 пустых ларца. Сколько всего ларцов у Василисы?

111

Упражнение 6

На лугу паслось 14 коров. Пастухи пригнали стадо овец. Овец оказалось больше, чем у коров ушей, но меньше, чем у коров ног. Сколько было овец, если их в 14 раз больше, чем пастухов?

42

Упражнение 7

Найдите любое решение ребуса

AB¯+A⋅CCC¯=237,

где A, B, C — три различные ненулевые цифры; запись AB¯ означает двузначное число, составленное из цифр A и B; запись CCC¯ означает трёхзначное число, состоящее только из цифр C.

В качестве ответа напишите трёхзначное число ABC¯.

152

Упражнение 8

В живом уголке стоят 5 клеток с канарейками (клетки стоят в один ряд). Известно, что в каждой клетке сидит хотя бы одна канарейка. Будем называть двух канареек соседками, если они сидят либо в одной клетке, либо в соседних. Оказалось, что у каждой канарейки есть либо 13, либо 19 соседок. Сколько канареек сидит в центральной клетке?

6

ПЛАНИМЕТРИЯ.ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

Упражнение 1

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна 5. Один из его катетов равен 8. Найдите длину второго катета.

6

 

Упражнение 2

В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AB=8, sin⁡A=0,5. Найдите BC.

4

Упражнение 3

В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AC=4, BC=3. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

1

Упражнение 4

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

5

 

2. Планиметрия. Вычисление углов

Упражнение 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BAD равен 58∘. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

122

 

Упражнение 2

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 110∘. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

35

 

Упражнение 3

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

60

 

Упражнение 4

Угол ACB равен 42∘. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124∘. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

20

 

Планиметрия.Вычисление площадей.

Упражнение 1

Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

141,75

Упражнение 2

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

 

6

Упражнение 3

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

30

Упражнение 4

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а её боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

160

 

Стереометрия.Нахождение объемов тел.

Упражнение 1

Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если её высоту увеличить в четыре раза, оставив основание неизменным?

4

Упражнение 2

Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

75

Упражнение 3

Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды ABDA1.

1,5

Упражнение 4

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

1500