Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой и плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

 

Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

 

 

Условие принадлежности прямой к плоскости
Прямая: Плоскость: A X + B Y + C Z + D = 0 Очевидно, что координаты точки x1 y1 z1 должны удовлетворять уравнению плоскости: A X1 + B Y1 + C Z1 + D = 0 И условие параллельности прямой и плоскости должно выполняться: A L + B M + C N = 0 Эти два условия определяют принадлежность прямой к плоскости.

 

Эллипс и его свойства.

Эллипс - геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и = 2c (называемыхфокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

F1F2=2c

По определению эллипса . Преобразуем это уравнение:

Разделим обе части этого уравнения на  получим:

=>  =>  - Каноническое уравнение

  e= называется эксцентриситетом.

коэффициент сжатия эллипса

X= или  - Директриса

F1F2=2c – расстояние между фокусами.

D= a - ex

D1=a + ex – фокальные радиусы

 

Гипербола и ее свойства.

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Свойство 1

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Свойство 2

Гипербола имеет центр симметрии..

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Прямые с уравнениями и называются асимптотами гиперболы.

.

.

F1F2=2c – расстояние между фокусами.

. Фокальный параметр.

X= - Директриса

 

 

Парабола и ее свойства.

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид:

.

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .

 

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы

Директриса и фокус имеют координаты (-p/2 и p/2).

Эллипс симметричен относительно осей координат

Эллипс имеет точки пересечения с осями координат:.

Эллипс содержится в прямоугольнике:.

D1=D2=x+p/2