Метод замены переменнойили метод подстановки

Суть метода заключается в том, что часть подынтегрального выражения обозначают новой переменной и выражают через нее дифференциал и оставшуюся часть подынтегрального выражения. Осуществляют подстановку такой замены под интеграл, после чего подынтегральное выражение должно упроститься и интеграл можно привести к табличному виду.

Обращаем внимание на то, что не всегда есть необходимость записывать оставшуюся часть подынтегрального выражения через новую переменную. Часто ее можно оставить в исходном виде, после подстановки она сокращается. Если это не происходить, тогда нужно выражать через новую переменную и ее. Но обязательно выражать через новую переменную дифференциал!

После того, как интеграл решен относительно новой переменной, возвращаются к исходной переменной и записывают ответ через нее.

Возможны случаи, когда после первой замены подынтегральное выражение упрощается, но полученный таким образом интеграл не удается привести к табличному виду, и потребуется еще замена с использованием другой переменной или решение иным способом.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Обозначим выражение  через новую переменную и выразим через нее дифференциал , для чего найдем дифференциалы от обеих частей в полученном выражении:

Подставим замены под интеграл, найдем его и вернемся к исходной переменной :

Пример 2.

Обозначим выражение  через новую переменную и выразим через нее дифференциал , для чего найдем дифференциалы от обеих частей в полученном выражении:

Подставим замены под интеграл, найдем его и вернемся к исходной переменной :

Пример 3.

Обозначим выражение  через новую переменную и выразим через нее дифференциал , для чего найдем дифференциалы от обеих частей в полученном выражении:

Подставим замены под интеграл: .

Видим, что сейчас под интегралом стоят две переменные. Выразим из первоначальной замены . Получим: . Подставим это выражение под интеграл:

Пример 4.

В этом случае решение интеграла отличается от предыдущих случает, так как потребует использование не только замены переменной, но и использования формулы дифференциала функции. Итак, сначала преобразуем подынтегральное выражение, помножив числитель и знаменатель на :

.

Теперь используем формулу дифференциала функции: . В числителе под интегралом стоит левая часть этой формулы: . Тогда , и мы можем заменить числитель подынтегрального выражение на . Получим:

.

Теперь введем подстановку: . Тогда:

.

Пример 5.

Обозначим  через новую переменную и выразим через нее дифференциал , для чего найдем дифференциалы от обеих частей в полученном выражении:

Подставим замены под интеграл:

 

Решение интеграла по частям

Метод интегрирования по частям вытекает из правил дифференцирования и свойств неопределенных интегралов.

Возьмем произведение двух функций  и найдем дифференциал этого произведения:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Используя свойство 2 неопределенных интегралов, имеем . Тогда получим:

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Суть метода интегрирования по частям заключается в том, что часть подынтегрального выражения, не содержащую дифференциал переменной, обозначают через функцию  . Тогда оставшаяся часть подынтегрального выражения, в которую входит дифференциал переменной, будет  . Согласно формуле интегрирования по частям, еще потребуется найти функцию   и дифференциал  . После чего все величины подставляют, приравнивая исходный интеграл к правой части указанной формулы. При удачном выборе функции  и  интеграл в правой части упрощается и его можно привести к табличному виду одним из описанных выше способов. Но бывают случаи, когда новый записанный интеграл правой части формулы требуется еще раз взять по частям или применить другой метод интегрирования.

Рассмотрим примеры интегрирования по частям.

Пример 1.

Введем обозначения функции  и  найдем соответственно  и , после чего воспользуемся формулой интегрирования по частям. При отыскании функции  следует каждый раз осуществлять проверку, находя дифференциал от подобранной функции и сравнивая его с .

.

После применения формулы интегрирования по частям получили интеграл более сложный, чем исходный. Это значит, что наша замена была неудачной. Не целесообразно степенную функцию (у нас это ) вводить в часть выражения, содержащую дифференциал , так как после отыскания функции  показатель степенной функции увеличится.

Введем другую замену:

 

.

Пример 2.

.

Замена опять проведена неудачно. Опять увеличился показатель степенной функции, но, кроме этого, под интегралом осталась тригонометрическая функция. Функция  сменилась на ковариантную ей функцию  . Работая с функциями  ,  ,  нужно смотреть, в сочетании с какими функциями они стоят в исходном интеграле, и какие замены целесообразно проводить.

Введем другую замену:

 

Пример 3.

Видим, что подынтегральное выражение упростилось (понизился показатель степенной функции). Чтобы совсем вывести степенную функцию из под интеграла, решим новый интеграл также по частям:

Пример 4.

Пример 5.

Видим, что в этом примере под интегралом стоят функции   и  , и какую бы из них мы не обозначали через  , под интегралом останется  и появится  . Тем не менее осуществим замену:

.

Теперь полученный интеграл также по частям с теми же заменами:

.

Объедим исходный интеграл и полученный результат:

.

Заметим, что в левой и правой частях этого равенства стоят одинаковые интегралы. Перенесем их в одну часть и сложим, как подобные слагаемые:

.

Таким образом, не имея возможности вычислить исходный интеграл, мы сумели найти, чему он будет равен.