Производные элементарных функций и правила нахождения производных

При нахождении производных функций руководствуются следующими основными правилами дифференцирования.

Правило 1. Производная постоянной величины равна нулю. , где

Правило 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. , где

Правило 3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

. Обращаем внимание на то, что некоторые слагаемые могут быть отрицательными. Перед ними сохраняется знак минус.

Правило 4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции.

Правило 5. Производная частного двух дифференцируемых функций (при условии, что знаменатель не обращается в ноль) равна дроби, числитель которой представляет собой разность между произведением производной первой функции на вторую функцию и произведением первой функции на производную второй функции, а знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби.

Правило 6. Производная сложной функции. Если  и  – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

 или в другой форме записи .

Как определить, что имеем дело со сложной функцией? Если в выражении, от которого ищем производную, независимая переменная встречается только один раз, то функция сложная. Если же независимая переменная встречается более одного раза, то функций несколько, и при нахождении производной сначала следует воспользоваться правилами 3–5. Например, функция  является сложной, независимая переменная  в ней встречается один раз. А функция  представляет собой сумму двух слагаемых.

При нахождении производных функций следует помнить о порядке выполнения арифметических действий: приоритет перед остальными действиями имеют возведение в степень и извлечение корня (помним, что корни можно заменять степенями), далее рассматривают умножение и деление и в последнюю очередь сложение и вычитание.

Исходя из определения производной, вычислены производные элементарных функций.

1) , где

Отметим, что:

а)

б) при нахождении производных от корней корень заменяют соответствующей степенью и определяют производную от степенной функции

2)	В частности
3)	В частности
4)	5)
6)	7)
8)	9)
10)	11)

 

Рассмотрим примеры нахождения производных функций.

Пример 1. .

В этом случае удобно представить дробь в виде суммы дробей, почленно поделив числитель на знаменатель, а затем искать производные от полученных слагаемых.

Пример 2.

Распишем выражение по правилу для нахождения производной от произведения функций, далее найдем производные от элементарных функций

Пример 3.

Сначала запишем правило для нахождения производной частного, а затем найдем производные элементарных функций.

Пример 4.

Здесь мы имеем дело со сложной функцией (независимая переменная  встречается в выражении один раз). Если ввести обозначения вложенных функций, то получим следующее:

Тогда производную этой сложной функции с учетом приоритета действий можно записать так:

В результате имеем:

Иногда бывает проще понять процесс нахождения производной сложной функции, ассоциируя его с раскрыванием матрешки. Раскрывая внешнюю матрешку, мы оставляем нетронутым все, что у нее внутри. Так же и с отысканием производной сложной функции: сперва найдем производную от внешней функции, опираясь на приоритет арифметических действий, оставив внутренние функции нетронутыми, затем следующую и так до тех пор, пока не дойдем до независимой переменной. При этом все найденные производные перемножаются. В рассмотренном примере это выглядит так:

 

Результат получили такой же.

Пример 5.

В этом случае найти производную сразу не удастся. Сначала прологарифмируем выражение, получим: . По правилам логарифмирования степень подлогарифмического выражения можно поставить перед логарифмом, тогда: . Теперь можно искать производную. В ходе решения учтем, что :

Рассмотрим примеры нахождения дифференциалов функций.

Пример 1.

Дифференциал функции находим по формуле

Пример 2.

Умение находить дифференциал функции потребуется при решении интегралов и дифференциальных уравнений.

Рассмотрим пример приблизительного вычисления значений функции.

Пример 1. Пусть дана функция , где . Получить формулу для приблизительных вычислений значений данной функции и вычислить по ней значения  и .

 Общая формула для приближенных вычислений значений функции имеет вид . Определим эту вид формулы для нашей функции. Для этого найдем производную функции . Преобразуем в исходной формуле корень в степень и воспользуемся формулой для нахождения производной степенной функции:

; , где .

Для всех достаточно малых  приращение функции в точке  будет равно:

.

Тогда значение функции в точке  будет приблизительно равно:

.

По полученной формуле произведем приблизительные вычисления.

Найдем . Представим подкоренное выражение в виде суммы  и : . Тогда:

Найдем . Представим подкоренное выражение в виде суммы  и : . Тогда:

 

Производные высших порядков

Пусть функция  определена на некотором интервале (a, b), и пусть в каждой точке этого интервала она имеет производную . Эту производную называют первой производной или производной первого порядка для данной функции. Эта производная сама может являться функцией , определенной на интервале (a, b). Если функция  имеет на этом интервале производную в точке , то эту производную называют второй производной или производной второго порядка для функции  и обозначают . Аналогично эта производная может являться функцией , определенной на интервале (a, b). Если и она имеет на интервале (a, b) в точке  производную, то эту производную называют третьей производной или производной третьего порядка для функции  и обозначают . Такие же рассуждения можно провести для производной любого порядка.

В общем случае n-ой производной функции или производной n-го порядка в точке  называют производную от производной (n-1)-го порядка в этой точке:

.

Производные порядков выше первого называют производными высших порядков. Порядок таких производных указывают в круглых скобках, чтобы не путать их со степенями функций. Производные высших порядков можно обозначать и через дифференциалы. Например,  или  – производная второго порядка функции ;  или  – третья производная функции .

Рассмотрим примеры нахождения производных высших порядков.

Пример 1. . Найдем все возможные производные высших порядков для этой функции.

Видим, что эта функция имеет ненулевые производные для первых трех порядков, а производные 4-го и более высоких порядков будут равны нулю.

Пример 2. . Найдем 100-ю производную этой функции.

Заметим, что выражения найденных производных имеют схожие элементы, и можно записать общую формулу для определения производной n-го порядка:

.

Тогда сотая производная исходной функции будет равна:

.

Но так красиво бывает далеко не всегда. Довольно часто функция, являющаяся производной очередного порядка, становится более сложной чем та, от которой эту производную нашли.

Пример 3. . Найдем несколько первых производных этой функции.

Как видим, производные более высоких порядков этой функции становятся все более сложными.

 

1.5. Задания для самостоятельного решения

I. Найдите производные функции одной переменной

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)
23)	24)
25)	26)
27)	28)
29)	30)

 

II. Найдите дифференциалы функций одной переменной

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

 

III. Найдите приближенное значение функции  в точке , если известно, что:

1) ,	,
2) ,	,
3) ,	,

IV. Найдите приближенно числовое значение функции  при заданном аргументе , если известно, что:

1) ,
2) ,
3) ,

 

V. Найдите производные указанных порядков для приведенных функций:

1)	Найти	2)	Найти
3)	Найти	4)	Найти
5)	Найти	6)	Найти
7)	Найти	8)	Найти

 

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ