Кривые второго порядка на плоскости: эксцентриситет и директрисы.

Эксцентриситет обозначается e или E. Считается, что 1) для эллипса Е=с/а <1; 2) для гиперболы Е=с/а >1; 3) для параболы Е=1. Для эллипса и гиперболы вводится понятие директрисы. В этом случае директрисами являются прямые х=а/Е.

 45. Поверхности второго порядка в пространстве.

Пусть в пространстве задана система координат хуzО. Поверхностью 2го порядка называется множество точек с координатами (х, у, z), координаты которых удовлетворяют ур-ю: а11х²+а22у²+а33z²+а12ху+а13хz+а23уz+а1х+а2у+а3z=0, где а11, а22, а12, а13, а23 одновременно не равны нулю. К классическим поверхностям 2го порядка относятся поверхности вращения, цилиндры и конусы. 1) поверхность вращения. Задание: кривая, лежащая в плоскости; прямая (ось вращения). Через точку М и ось вращения проводится плоскость, перпендикулярная оси вращения. В этой плоскости точка М вращается по окружности, центр которой расположен на оси вращения. Таким образом поступаем с каждой точкой данной прямой; получается поверхность, называемая поверхностью вращения. 2) цилиндрическая поверхность (цилиндр). Задание: кривая, лежащая в плоскости; прямая (направляющая цилиндра). Через точку М проводим прямую, параллельную направляющей цилиндра. Таким образом поступаем с каждой точкой кривой и получаем цилиндрическую поверхность. 3) коническая поверхность (конус). Задание: кривая, лежащая в плоскости; точка(вершина конуса). Через точку М и вершину конуса проводим прямую. Таким образом поступаем с каждой точкой кривой и получаем коническую поверхность. Также к классическим поверхностям 2го порядка относят эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. 1) эллипсоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением:  Проекциями эллипсоида на координатные плоскости являются эллипсы. Например, в плоскости хОу получаем эллипс 2) гиперболоид. а)однополостный гиперболоид. Данная поверхность в системе координат хуzO задается уравнением:.В плоскости хОу (т.е. где z=0) получаем эллипс и уОz получаем гиперболу и. При пересечении поверхностей плоскости параллельной хОу в сечении образуется эллипс. б) двуполостный гиперболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением: В плоскости хОz и уОz получаем гиперболы: и -

Заметим, что |z|с. При |z|с в сечении поверхности с плоскостью, параллельной плоскости хОу, получаем эллипс. 3) параболоиды. а) эллиптический параболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением:: Заметим, что z c. В сечениях поверхности плоскостям, параллельным поверхности хОу, получаем эллипсы. В плоскости хОz и уОz получаем параболу и. 6) гиперболический параболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением

 

Полярные координаты.

На плоскости можно ввести так называемую декартову систему координат.(рис.) На плоскости можно ввести и другие системы координат, одна из них называется полярной. Пусть на плоскости задан луч ОЕ (рис.). Луч ОЕ будем называть полярной осью, точку О - полюсом. Точка Е – единичная точка, отрезок ОЕ задает масштаб измерений на плоскости. Можем считать, что длина отрезка ОЕ равна единице. Выберем на плоскости произвольную точку М. Отрезов ОМ называется полярным радиусом точки М. Обозначаем длину ОМ=ρ. Будем считать, что ρ ≥ 0. Далее, между лучом ОЕ и отрезком ОМ можно определить угол, который обозначим φ. Будем считать, что φ ϵ R. По двум введенным характеристикам φ и ρ точка на плоскости определяется однозначно. Таким образом, веденная система координат на плоскости называется полярной. Пара чисел (φ, ρ) называется полярными координатами точки плоскости. В дальнейшем, полярная система и декартова система будут согласовываться следующим образом.(рис.) Точка О на плоскости является началом координат декартовой системы, и полюсом полярной системы. Оси ОЕ и Ох совпадают. Рассмотрим случай, когда М совпадает с полюсом О. В этом случае полярный радиус имеет длину, равную 0, т.е. ρ = 0. Если специально не оговорено, то считаем, что φ для точки М не определен. Вернемся к согласованным системам координат хОу (декартова) и ОЕ (полярная) если в системе ОЕ у точки М определены координаты (φ; ρ), то в системе хОу у точки М координаты находятся по формулам: (рис.). Обратно, пусть у точки М определены декартовы координаты (х, у). Полярные координаты точки М определяются по формулам: ρ =. cosφ = x/ρ, sinφ = y/ρ; cosφ = х/;. Справедливо: arcsin aϵ [-П/2; П/2]; arccos а ϵ [0; П].

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ). Множество решений ОСЛУ как подпространство в Rn, его размерность. Базис подпространства решений (фундаментальная система решений) и запись общего решения ОСЛУ в форме линейной комбинации с неопределёнными коэффициентами.

СЛУ вида

называется однородным. М-мн-во решений ОСЛУ.    Св-ва мн-ва М: 1. М - непустое мн-во. Одно из реш. ОСЛУ явл. реш. вида (0;0;…;0) значит, (0;0;…;0) ϵМ и поэтому М- непустое мн-во. 2. Сумма любых 2-х реш. ОСЛУ, как векторов, есть реш. этой системы. Значит, если (α1; α2;…;αn), (β1; β2;…;βn) ϵМ, то (α1+ β1; α2+; β2…;αn+ βn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0 и                     as1β1+as2β2+…+asnβn=0-верные числ. равенства. Отсюда получаем, что as1(α1+β1)+ as2(α2+β2)+…+ asn(αn+βn)=0-верное числ. равенство, значит (α1+β1; α2+β2;…; αn+βn) ϵМ.

3. Произведение любого реш. ОСЛУ, как вектора на число(скаляр) есть реш. этой системы. Это означ., что если (α1; α2;…;αn) ϵМ и r ϵR, то (rα1; rα2;…;rαn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0-верное числ. равенство. Отсюда as1(rα1)+ as2(rα2)+…+ asn(rαn)=0-верное числ. равенство. Значит, (rα1; rα2;…; rαn) ϵМ. При этом говорят, что мн-во М замкнуто относительно операций слож. векторов и умнож. вектора на скаляр. Заметим, что не все системы векторов обладают замкнутостью. Фундаментальной сист. реш. ОСЛУ(ФСРОСЛУ) назыв. базис(при усл. его существования) мн-ва реш. этой ОСЛУ.