Определение векторного пространства Rn.

Определение векторного пространства Rn.

Множества всех действительных чисел (R).

n - мерным вектором называется а называется упорядоченный набор из n чисел (α1, α2, αn) и обозначается а=(α1, α2, …, αn). Числа α1, α2, αn называются координатами вектора а.

Множество всех n-мерных векторов обозначается Rn.

Вектор (о, о, …, о) называется нулевым Ѳ.

Векторы а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn называются равными, если α1= β1, α2= β2, …, αn = βn, при этом пишут а=в.

Действия с векторами: Пусть а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn, r ϵ Rn.

1) Сумма векторов а и в называется вектор с координатами (α1+ β1, α2+ β2, …, αn + βn) и обозначается а+в: а+в = (α1, α2, …, αn)+ (β1, β2, …, βn).

2) Произведение вектора а на число r, называется вектор с координатами (rα1,rα2,…, rαn) и обозначается rа: rа = r (α1, α2, …, αn)= (rα1,rα2,…, rαn)

Теорема: (свойства действий над векторами)

Пусть а, в ϵ Rn; k,l ϵ R. Тогда справедливо:

1) k(la) = (kl)a. 2) (k+l)a = ka+la. 3) k(a+в) = ka + kв. 4)1а=а. 5) 0а =. 6) kѲ = Ѳ

Множество Rn с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим векторным пространством. «число» = «скаляр»

Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Пусть Rn – арифметическое векторное пространство,

М с( включение) Rn.

Если М ≠ пустому множеству, то множество М называется системой векторов. Не исключается случай, когда М = Rn.

Множество М может быть как конечным, так и бесконечным.

Пусть а1, а2, …, аs ϵ Rn; r1, r2, …, rs ϵ Rn. Выражение вида: r1a1+r2a2+…+rsas называется линейной комбинацией а1, а2, …, аs.

Если два вектора в ϵ Rn справедливо равенство: в = r1a1+r2a2+…+rsas, то говорят, что вектор в линейно выражается чрез векторы а1, а2, …, аs.

Примеры: вектор в=(8,11) линейно выражается через векторы а1=(1,1), а2=(2,3), а3=(4,5) (в пространстве) ϵ R².

Действительно, т.к. 2а1+3а2+0а3 = 2(1,1)+3(2,3)+(0,0) = (2,2)+(6,9)+(0,0) = (8,11), то в = 2а1+3а2+0а3.

Пусть а1,а2,…,аs ϵ М, где М система векторов.

Очевидно, что 0а1+0а2+…+0аs=Ѳ. Возникает вопрос: при каких значениях r1, r2, …, rs ϵ R может выполняться равенство: r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ.

Система векторов а1, а2, …, аs называется линейно зависимой, если найдутся не все нулевые числа r1, r2, …, rs, что выполняется равенство r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ.

В противном случае система векторов а1, а2, …, аs называется линейно независимой. Если система векторов а1, а2, …, аs является линейно независимой, то равенство r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ справедливо в том и только в том случае, когда все числа r1, r2, …, rs = 0.

Базис и размерность векторного пространства. Ранг системы векторов.

Пусть М – система векторов арифметического векторного пространства Rn.

Векторы а1, а2, …, аs ϵ М, образуют базис система векторов М, если выполняются условия: любой вектор из М линейно выражается через векторы а1, а2, as, причем такое выражение для каждого вектора единственно. Единственность означает следующее: если в=k1а1+k2а2+…+ksаs, в=l1a1+l2a2+…+lsas, то k1=l1, k2=l2, …, ks=ls.

Для того, чтобы доказать, что векторы а1, а2, …, аs образуют базис системы векторов М нужно: 1) показать, что а1, а2, …, аs ϵ М. 2) показать, что любой вектор из М линейно выражается через векторы а1, а2, …, аs.

3) показать, что для любого вектора из М выражение через векторы а1, а2, …, as единственно.

Условие 3 можно ослабить. Теорема: Пусть через векторы а1, а2, …, аs любой вектор из М линейно выражается. Пусть также справедливо следующее: нулевой вектор единственным образом выражается через а1, а2, …, as; тогда и любой вектор из М единственным образом выражается через а1, а2, …, аs.

Док-во: пусть в ϵ М и в=k1a1+k2a2+…+ksas и в=l1a1+l2a2+…+lsas.

Т.к. в-в=Ѳ, то (k1a1+k2a2+…+ksas)- (l1a1+l2a2+…+lsas)=Ѳ;

(k1-l1)a1+(k2-l2)a2+…+(ks-ls)as=Ѳ.

Т.к. 0а1+0а2+…+0аs=Ѳ и по условию вектор Ѳ единственным образом выражается через a1, a2, …, as, то k1-l1=0, k2-l2=0, …, ks-ls=0, значит k1=l1, k2=l2, …, ks=ls. Следовательно, в единственным образом выражается через векторы а1, а2, …, as.

Далее, пусть M=Rn. Можно показать, что векторы e1=(1,0,0,…,0,0), e2=(0,1,0,…,0,0), e3=(0,0,1,…,0,0), …, e_n-1=(0,0,0,…,1,0), en=(0,0,0,…,0,1) образуют базис пространства Rn. Справедлива теорема: любые 2 базиса системы векторов содержат одинаковое количество векторов, то есть а1, а2, …, as и в1, в2, …, вt – базисы системы М, то s=t. Следствие: если а1, а2, …, as – базис пространства Rn, то s=n.

Количество базисных векторов в системе векторов называется рангом и обозначается rank. Если система векторов совпадает со всем пространством Rn, то вместо слова «ранг» используется слово «размерность», обозначение dim.

4. СЛУ. Элементарные преобразования в СЛУ. Методы Гаусса и Жордана-

Единичная, квадратная).

Множество действительных чисел R. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Размерностью матрицы называется пара чисел, обозначаемая mхn, где m – количество строк, n – количество столбцов. Общий вид матрицы следующий: A==(a_ij)_mxn.

Множество всех матриц размерности mxn обозначается Мmxn (R). Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны. При этом пишут А=В.

Нулевая матрица – это матрица размерности mxn, все элементы которой равны нулю. Нулевая матрица, и только она, имеет ранг=0. Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения вектор-строки слева. Единичная матрица – квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю. Матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов называется квадратной.

Сложение матриц, свойства.

Сумма матриц А и В ϵ Мmxn называется матрица А+В, которая получается путем сложения соответствующих элементов матриц А и В. Свойства сложения матриц: Пусть А, В, С ϵ Мmxn. 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+Ѳ=А, где Ѳ-матрица, элементами которой являются нули (нулевая матрица).

 

Умножение матриц, свойства.

Пусть А ϵ Мmxn, В ϵ Мnxk. А_i - i-я строка матрицы А, В^j – j-й столбец матрицы В. Тогда А_i=(a_i1, a_i2, …, a_in), B^j=. Произведение строки А_i на столбец B^j называется число, обозначаемое A_i*B^j, которое вычисляется по формуле: A_i*B^j = a_i1в_1j+a_i2в_2j+…+a_imв_nj. Произведение матрицы А на матрицу В называется матрица, обозначаемая А*В, элементы которой равны A_i*B^j для всех i=1,2,…,n; j=1,2,3,…,k. Свойстваумножения: Пусть А, В, С матрицы, α – число. 1) (АВ)С=А(ВС) 2) (αА)В=α(АВ) 3) (А+В)С=АС+ВС 4) С(А+В)=АС+ВС, НО! АВ не всегда = ВА.

 

Угол между плоскостями.

Пусть даны 2 плоскости:

α: А1х+В1у+С1z+Д1=0;

β: А2х+В2у+С2z+Д2=0.

К плоскостям α и β построим нормальные векторы n_α=(А1, В1, С1) и n_β=(А2, В2, С2). Угол между плоскостями α и β обозначается (α^β). Считается, что угол между плоскостями меняется от 0⁰ до 90⁰. Можно показать, что cos(α^β)=|cos(n_α; n_β)|. Тогда cos(α^β)=

 

Полярные координаты.

На плоскости можно ввести так называемую декартову систему координат.(рис.) На плоскости можно ввести и другие системы координат, одна из них называется полярной. Пусть на плоскости задан луч ОЕ (рис.). Луч ОЕ будем называть полярной осью, точку О - полюсом. Точка Е – единичная точка, отрезок ОЕ задает масштаб измерений на плоскости. Можем считать, что длина отрезка ОЕ равна единице. Выберем на плоскости произвольную точку М. Отрезов ОМ называется полярным радиусом точки М. Обозначаем длину ОМ=ρ. Будем считать, что ρ ≥ 0. Далее, между лучом ОЕ и отрезком ОМ можно определить угол, который обозначим φ. Будем считать, что φ ϵ R. По двум введенным характеристикам φ и ρ точка на плоскости определяется однозначно. Таким образом, веденная система координат на плоскости называется полярной. Пара чисел (φ, ρ) называется полярными координатами точки плоскости. В дальнейшем, полярная система и декартова система будут согласовываться следующим образом.(рис.) Точка О на плоскости является началом координат декартовой системы, и полюсом полярной системы. Оси ОЕ и Ох совпадают. Рассмотрим случай, когда М совпадает с полюсом О. В этом случае полярный радиус имеет длину, равную 0, т.е. ρ = 0. Если специально не оговорено, то считаем, что φ для точки М не определен. Вернемся к согласованным системам координат хОу (декартова) и ОЕ (полярная) если в системе ОЕ у точки М определены координаты (φ; ρ), то в системе хОу у точки М координаты находятся по формулам: (рис.). Обратно, пусть у точки М определены декартовы координаты (х, у). Полярные координаты точки М определяются по формулам: ρ =. cosφ = x/ρ, sinφ = y/ρ; cosφ = х/;. Справедливо: arcsin aϵ [-П/2; П/2]; arccos а ϵ [0; П].

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ). Множество решений ОСЛУ как подпространство в Rn, его размерность. Базис подпространства решений (фундаментальная система решений) и запись общего решения ОСЛУ в форме линейной комбинации с неопределёнными коэффициентами.

СЛУ вида

называется однородным. М-мн-во решений ОСЛУ.    Св-ва мн-ва М: 1. М - непустое мн-во. Одно из реш. ОСЛУ явл. реш. вида (0;0;…;0) значит, (0;0;…;0) ϵМ и поэтому М- непустое мн-во. 2. Сумма любых 2-х реш. ОСЛУ, как векторов, есть реш. этой системы. Значит, если (α1; α2;…;αn), (β1; β2;…;βn) ϵМ, то (α1+ β1; α2+; β2…;αn+ βn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0 и                     as1β1+as2β2+…+asnβn=0-верные числ. равенства. Отсюда получаем, что as1(α1+β1)+ as2(α2+β2)+…+ asn(αn+βn)=0-верное числ. равенство, значит (α1+β1; α2+β2;…; αn+βn) ϵМ.

3. Произведение любого реш. ОСЛУ, как вектора на число(скаляр) есть реш. этой системы. Это означ., что если (α1; α2;…;αn) ϵМ и r ϵR, то (rα1; rα2;…;rαn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0-верное числ. равенство. Отсюда as1(rα1)+ as2(rα2)+…+ asn(rαn)=0-верное числ. равенство. Значит, (rα1; rα2;…; rαn) ϵМ. При этом говорят, что мн-во М замкнуто относительно операций слож. векторов и умнож. вектора на скаляр. Заметим, что не все системы векторов обладают замкнутостью. Фундаментальной сист. реш. ОСЛУ(ФСРОСЛУ) назыв. базис(при усл. его существования) мн-ва реш. этой ОСЛУ.

 

Определение векторного пространства Rn.

Множества всех действительных чисел (R).

n - мерным вектором называется а называется упорядоченный набор из n чисел (α1, α2, αn) и обозначается а=(α1, α2, …, αn). Числа α1, α2, αn называются координатами вектора а.

Множество всех n-мерных векторов обозначается Rn.

Вектор (о, о, …, о) называется нулевым Ѳ.

Векторы а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn называются равными, если α1= β1, α2= β2, …, αn = βn, при этом пишут а=в.

Действия с векторами: Пусть а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn, r ϵ Rn.

1) Сумма векторов а и в называется вектор с координатами (α1+ β1, α2+ β2, …, αn + βn) и обозначается а+в: а+в = (α1, α2, …, αn)+ (β1, β2, …, βn).

2) Произведение вектора а на число r, называется вектор с координатами (rα1,rα2,…, rαn) и обозначается rа: rа = r (α1, α2, …, αn)= (rα1,rα2,…, rαn)

Теорема: (свойства действий над векторами)

Пусть а, в ϵ Rn; k,l ϵ R. Тогда справедливо:

1) k(la) = (kl)a. 2) (k+l)a = ka+la. 3) k(a+в) = ka + kв. 4)1а=а. 5) 0а =. 6) kѲ = Ѳ

Множество Rn с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим векторным пространством. «число» = «скаляр»