Обработка результатов совместных измерений

 

При совместных измерениях полученные значения используются для построения зависимостей между измеряемыми величинами. Рассмотрим многофакторный эксперимент, по результатом которого должна быть построена зависимость . Предположим далее, что зависимость ,то есть параметр состояния есть линейная комбинация из входных факторов. В процессе эксперимента проводится n совместных измерений для нахождения коэффициентов a_j.

В этом случае искомые величины определяются в результате решения системы линейных уравнений:

 

 (3.3.1)

 

где a_j - искомые коэффициенты зависимости, которую необходимо определить, - измеряемые значения величин.

В предположении, что система уравнений (3.3.1) является точной, но значения y_j получены с погрешностями, запишем:

 

 (3.3.2)

 

где  - погрешность измерения y_j,тогда

 

. (3.3.3)

 

Для решения задачи мы вынуждены использовать значения . При этом, если число измерений  больше числа неизвестных в уравнении (3.3.1),то система (3.3.1) не имеет однозначных решений. Поэтому уравнения системы (3.3.1) иногда называют условными.

Оценим случайную погрешность совместных измерений. Пусть погрешность  имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Измерения  независимы. В этом случае по аналогии с обработкой прямых измерений может быть построена функция максимального правдоподобия:

 

 

. (3.3.4)

 

Для нахождения экстремума функции правдоподобия (3.3.4) воспользуемся уже известной процедурой. Прологарифмируем (3.3.4) и найдём значения, при которых функция достигает экстремума. Условие максимума функции (3.3.4) является:

 

. (3.3.5)

 

Таким образом (3.3.5) отвечает требованиям метода наименьших квадратов. Следовательно, при нормальном распределении случайной погрешности оценки по методу максимального правдоподобия и по методу наименьших квадратов совпадает.

Для нахождения оценки a_j=a_0j удовлетворяющей (3.3.5) необходимо добиться равенства нулю всех частных производных этой функции по a_j. Для каждого значения j эта оценка будет находиться из следующего уравнения:

 

. (3.3.6)

 

Система уравнений (4.3.6) является линейной относительно a_j и называется системой нормальных уравнений. Число уравнений в системе всегда совпадает с числом a_j.

Система (3.3.) решается методом определителей

 

,

 

Где D - определитель матрицы ,а определитель D_j получается из определителя D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Для нахождения оценки дисперсии результатов  найдем условие максимума после логарифмирования и подставим  (см. (3.1.8-3.1.10)), получим

 

.

 

Глава 4. Представление результатов измерений