Приклади постановок таких задач.

Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.

Рівняння коливань струни.

Розв ’ язок задачі Коші методом Даламбера

Питання для самоконтролю.

Лекція №1.

В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?

Від чого залежить розв ’ язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?

Приклади рівнянь еліптичного типу.

4. Як називається і до якого типу належить рівняння:

?

В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?

Записати формулу Даламбера, яка дає розв ’ язок одномірного однорідного хвильового рівняння.

Література:

А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.

Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.

П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальн ые главы ”, Киев, 1981.

О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

П.Е.Данко, А.Г.Попов “ Высшая математика в упражнениях и задачах ”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №1.

Тема: Основні задачі математичної фізики.

 

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:

де а_ij, b_i, c – задані функції змінних х₁, х₂, …, х₃ (n ³2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| a_lk|| - lE)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:

d₁₁dy²-2a₁₂dxdy+a₂₂dx²=0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так

Якщо а₁₂-а₁₁а₂₂>0, то інтеграли характеристичного рівняння j(х,у)=С₁ і y(х,у)=С₂ дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:

До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння DU=0 (Лапласа); DU=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: DU+kU=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:

 

Тема: Рівняння коливань струни.

 

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати, що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

 

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ¾М₁М₂ рівна її проекції на вісь 0Х, ¾М₁М₂=х₂-х₁. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.

Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2).

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути j та j+Dj. тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(j+Dj)-Tsinj. Так як кут j малий, то можна покласти tgj=sinj, і ми отримаємо:

(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай r - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде rDх. Прискорення елемента дорівнює . Отже, по принципу Даламбера будем мати:

Скорочуючи на Dх і позначаючи , получаємо рівняння руху .                                                                 (1)

Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u(0,t)=0,

u(l,t)=0.

Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути

.                        (2)

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією j(х).Таким чином, має бути

.                                 (3)

Умови (2) і (3) являються початковими умовами.

 

Тема: Розв ’ язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння

U_tt-a²u_xx=0 (t=y, a₁₁=-a², a₁₂=0, a₂₂=1),

Задовільняюче початковим умовам

U(x,0)=j(x); u_t(x,0)=y(x)

де j(х) і y(x) – задані у  функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння

A₁₁dt²-2a₁₂dxdt+a₂₂dx²=0

Прийме вид         -a²dt²+dx²=0,

або                         dx²-a²dt²=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0

інтеграли яких будуть x-at=C₁, x+at=C₂

введемо нові змінні

x=x-at, h=x+at.

Тоді

x_х=1, x_t=-a, h_x=1, h_t=a,

u_x=u_xx_x+u_hh_x=u_x+u_h,

u_xx=u_xxx_x+u_xhh_x+u_hxx_x+u_hhh_x=u_xx+2u_xh+u_hh,

u_t=u_xx_t+u_hh_t=-au_x+au_h,

u_tt=-au_xxx_t-au_xhh_t+au_hxx_t+au_hhh_t=a²u_xx-2a²u_xh+a²u_hh.

Підставивши u_xx, u_tt в вихідне рівняння, отримаємо

a²u_xx-2a²u_xh+a²u_hh-a²(u_xx+2u_xh+u_hh)=0,

-4a²u_xh=0,

u_xh=0.

Отримане рівняння можна записати як:

.

Звідси випливає, що u_h не залежить від x:

u_h=f^*(h),

де f^*(h) – довільна функція h.

Інтегруючи останню рівність по h при фіксованому x, маємо

.

де f₁(x) і f₂(h) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів x і h.

Враховуючи, що x=х-at і h=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді

u(x,t)=f₁(x-at)+f₂(x+at).

Визначимо функції f₁ і f₂ так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:

u(x,t)=f₁(x)+f₂(x)=j(x),

u_t(x,0)=-af¢₁(x)+af¢₂(x)=y(x).

Таким чином, для знаходження функцій f₁ і f₂ маємо систему рівнянь

f₁(x)+f₂(x)=j(x),

-af¢₁(x)+af¢₂(x)=y(x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо

де х₀ і С – постійні. Тоді

f₁(x)+f₂(x)=j(x),

.

Звідси знаходимо

,

і

.

Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f₁ і f₂, отримаємо

,

.

Ця рівність називається формулою Даламбера.

Раніше функцію u(x,t) ми записували як:

u(x,t)=f₁(x-at)+f₂(x+at),

де перший додаток

при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f₁(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.

Аналогічно функція

являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, щорозповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від¢ємному напрямку вісі 0Х.

В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.

 

Лекція №2

План

 

Рівняння теплопровідності.