Тема 7. Нелинейное программирование и его применение в экономике

Транспортная задача становится нелинейной, если стоимость транспортировки единицы товара зависит от общего количества перевозимого товара. Задача о назначениях также становится нелинейной, если элементы матрицы соответствия не являются постоянными. В этой задаче также можно столкнуться с трудностью, вызванной требованием целочисленности.

И, наконец, все линейные задачи программирования становятся нелинейными, если ввести неопределенность и риск, если вероятности соответствующих величин (например, цены, возможности снабжения и так далее) не существуют и если функция цели учитывает риск при принятии различных решений.

Однако, есть класс задач, которые являются только нелинейными.

Задача о выборе портфеля ценных бумаг. Вкладчик хочет выбрать портфель ценных бумаг, при этом известны средние значения доходов от каждого вида ценных бумаг и ожидаемая дисперсия этих доходов. Требуется отыскать оптимальный портфель, обеспечивающий максимальный ожидаемый доход при минимальном рассеянии, и, следовательно, минимальном риске.

Задача об управлении запасами. Проблема управления запасами связана с необходимостью потребления некоторого ресурса, а тем самым с необходимостью иметь запас хранимого ресурса, неоднократного размещения и получения заказов на ресурс заданных объемов. Стратегия управления запасами должна отвечать, по крайней мере, на следующие два вопроса: какое количество хранимого запаса следует заказывать (размер заказа) и когда заказывать (точка заказа).

 

Пример 7.1. О выборе портфеля ценных бумаг. Портфель содержит несколько инвестиционных проектов, каждый из которых приносит различный доход (см. рисунок 47). Кроме того, можно наложить несколько ограничений, которые помогут снизить риск потерь и правильно распределиться капиталом.

В данной задаче используется модель кредитного союза – финансовой организации, которая принимает деньги от своих членов и выдает ссуды под проценты другим членам, выдает кредиты банкам и осуществляет некоторые виды инвестиций. Кроме того, правление может установить несколько своих правил. Эти правила и составляют ограничения для данной задачи:

1) Сумма инвестиций в предприятия, торгующие новыми автомобиля, должна быть по крайне мере, в 3 раза больше суммы инвестиций в предприятия, торгующие подержанными автомобилями, поскольку торговля подержанными автомобилями более рискованное дело.

2) Ссуды на автомобили должны составлять 15% от полной суммы портфеля.

3) Негарантированные ссуды должны составлять не более 25% от суммы портфеля.

4) Банковские кредиты должны составлять, по крайне мере, 10% от суммы портфеля.

5) Все инвестиции должны быть больше или равны нулю.

Рис. 47. Входные данные задачи

Решение. Положим изначально, что размер каждой инвестиции, что является переменными задачи, составляет 1 000 000. Рассчитаем доход от каждой инвестиции и его долю в общем портфеле.

Позаботимся о том, чтобы общая сумма инвестиций в любой момент времени не превышала стоимость портфеля, сформулировав соответствующее ограничение в окне поиска решения. Остальные заданные выше ограничения задачи имеют следующий вид:

1. C5>=C6*3
2. D14=0,15
3. E8<=0,25
4. E9>=0,10
5. Опция «Сделать переменные без ограничений неотрицательными».

Изменяемые ячейки – С5:С9, а цель задачи – максимизировать общий доход, указанный в ячейке D12 = D 10 / C 10. В окне поиска решения следует выбрать «Поиск решения нелинейных задач». Результат решения задачи приведен на рис. 48.

Рис. 48. Выходные данные задачи

Пример 7.2. Об управлении запасами. Машиностроительный завод покупает болты с гайками для сборочного участка, годовая потребность в которых составляет 50 тыс. штук в год. На данный момент имеется два предложения от разных поставщиков, условия которых приведены в таблице.

Таблица 29

Поставщик А		Поставщик В
Кол-во	Цена за шт., руб.	Кол-во	Цена за шт., руб.
до 5000	5	до 9999	4.8
5000 - 19999	4.6	10 000 - 29 999	4.5
от 20 000	4.4	от 30 000	4.3

Стоимость хранения для завода можно оценить в 38% от стоимости единицы хранения в год. Стоимость оформления одного заказа – 1000 руб. Спрос в течение года на данные болты равномерный.

Каков оптимальный размер заказа с учетом скидок каждого из поставщиков. Какого поставщика следует предпочесть?

Решение.

Спрос на болты по условию задачи известный и постоянный, следовательно, мы можем без ограничений использовать модель экономичного размера заказа EOQ. При этом все издержки будут определяться полными издержками хранения и заказа за год. Однако имеется система скидок на базовые цены, а это значит, что отклонение от экономичного размера заказа может оказаться выгодным, если полученные скидки превышают рост издержек хранения. Значит к сумме издержек хранения и заказа нужно добавить общие затраты на покупку болтов, чтобы иметь возможность корректно сравнивать разные предложения.

Так как в данной задаче нам необходимо рассчитать оптимальный заказ для шести цен и количественных диапазонов (2 поставщика и 3 диапазона действия цен у каждого) организуем данные, как показано в таблице (Рис. 49).

	A	B	C	D	E	F	G
1	h	S	D
2	38%	1000	50000
3		Поставщик A			Поставщик B
4	Порог скидки, макс.	4 999	19 999	1 000 000	9 999	29 999	1 000 000
5	Мин.	1	5 000	20 000	1	10 000	30 000
6	Цена	5	4.6	4.4	4.8	4.5	4.3
7	EOQ	=КОРЕНЬ(2*$C$2*$B$2/(B6*$A$2))
8	Реальный Q	=ЕСЛИ(И(B7>=B5;B7<=B4);B7;ЕСЛИ(B7<B5;B5;B4))
9	TH	=B8/2*$A$2*B6
10	TS	=$C$2/B8*$B$2
11	T	=B10+B9
12	Т+ТС	=B11+$C$2*B6

Рис. 49. Компьютерная модель задачи об оптимальном размере заказа

 

В верхних ячейках A 2: C 2 запишем общие данные: издержки хранения, издержки заказа и годовую потребность. В строках B 4: G 4 и B 5: G 5 запишем верхние и нижние границы диапазонов скидок. Число 1 млн. в ячейках D 4 и G 4 заменяет бесконечную границу диапазона и выбрано произвольно, для упрощения формул.

Для расчета экономичного размера заказа используем стандартную формулу . В нашей задаче величина H непостоянна, так как она зависит от цены товара, а цена может быть разной. Поэтому в расчетах вместо самой величины H будем использовать ее выражение через цену и издержки хранения в процентах h: H = h * C. С этой поправкой формула для EOQ и записана в ячейке B 7. Ссылки на издержки хранения h, годовую потребность D и издержки заказа S фиксированы, для удобства протягивания формулы вправо, для расчета EOQ для других цен закупки. После протягивания формулы получаем следующий результат (таблица 30).

Если мы теперь сравним полученные значения EOQ с диапазонами количеств закупаемых болтов, для которых действуют те цены, по которым мы считали EOQ, то обнаружим несколько несоответствий.

Таблица 30

Порог скидки, макс.	4 999	19 999	1 000 000	9 999	29 999	1 000 000
мин.	1	5 000	20 000	1	10 000	30 000
Цена	5	4.6	4.4	4.8	4.5	4.3
EOQ	7 254.8	7 563.6	7 733.6	7 404.4	7 647.2	7 823.0

 

Например, при покупке болтов у поставщика A по цене 5 руб. за штуку оптимальная величина заказа равна примерно 7255 штук. Но такая цена действует только при покупке менее 5000 штук. Если мы будем закупать болты партиями по 7255 штук, то их цена будет только 4,6 руб. Это конечно неплохо, но мы ведь хотели выяснить, какую партию болтов лучше всего выбрать, если покупать их по цене 5 руб.!

Ясно, что выбирать размер партии мы должны только внутри диапазона от 1 до 5000 штук. Какой же размер выбрать? Здесь нужно вспомнить, как выглядит график зависимости суммы издержек хранения и заказа от размера заказа. А именно, график этот показывает гладкую функцию без перегибов с одним минимумом. Это значит, что чем ближе размер заказа к EOQ, тем меньше издержки и наоборот. Следовательно, в тех случаях, когда мы не можем выбрать размер заказа равным EOQ, мы должны взять реально возможную величину заказа, наиболее близкую к экономичному размеру заказа.

В случае с покупкой болтов по цене 5 руб. – это верхняя граница диапазона, т.е. 4999 штук.

Поэтому в таблицу 30 кроме строки для расчета EOQ добавлена строка “Реальный Q ” – реальный размер заказа (таблица 31). В этой строке мы будем записывать тот размер заказа, который выбираем на самом деле. Конечно, в жизни мы можем выбирать реальный размер заказа, отличный от теоретически оптимального не только из-за диапазонов действия цен. Скажем, во втором столбце EOQ равен 7563,6 и попадает в диапазон действия цены 4,6 руб. – от 5000 до 19999. Но не можем же мы заказать дробное число болтов! Значит, как минимум надо выбрать реальный размер заказа, как округленное до целых значение EOQ. Кроме того, часто бывает, что штучный товар фасуется в стандартную тару. В этом случае нужно заказывать партию так, чтобы получалось целое число коробок или ящиков и т.п. Могут быть и другие причины, заставляющие отклоняться от теоретической величины оптимального заказа. Поэтому не существует никакой стандартной формулы для реального Q.

В сложных случаях реальный Q можно проставить вручную с учетом известных вам условий. А в нашей задаче можно написать и формулу, так как выбор достаточно прост. Такая формула и записана в ячейке B 8.

Формулы для расчета TH, TS и T очевидно нет нужды комментировать. Полная величина издержек включает в себя не только T, но и сумму, истраченную на покупку годового запаса болтов. Годовой запас здесь взят потому, что издержки хранения и заказа тоже вычислены в расчете на год. Все вновь введенные формулы так же, как и формула для EOQ, протягиваются вправо на все шесть ячеек. В результате получаем следующую таблицу (таблица 31).

Таблица 31

	Поставщик A			Поставщик B
Порог скидки, макс.	4 999	1 9 999	1 000 000	9 999	2 9 999	1 000 000
мин.	1	5 000	2 0 000	1	1 0 000	30 000
Цена	5	4.6	4.4	4.8	4. 5	4.3
EOQ	7 254.8	7 563.6	7 733.6	7 404.4	7 647.2	7 823.0
Реальный Q	4 999	7 564	2 0 000	7 404	1 0 000	30 000
TH	4 749	6 611	1 6 720	6 753	8 550	24 510
TS	10 002	6 611	2 500	6 753	5 000	1 667
T	14 751	1 3 221	1 9 220	1 3 506	1 3 550	26 177
Т+ТС	264 751	2 43 221	2 39 220	25 3 506	23 8 550	241 177

 

В последней строке таблицы выведены наименьшие возможные издержки при покупке болтов по каждой из шести предложенных цен. Из этих шести значений издержек наименьшей оказывается 238 550 руб., которая получается при покупке болтов у поставщика B партиями по 10 тыс. штук по цене 4,5 руб. за штуку.

Из таблицы видно, что покупка болтов по меньшей цене, но более крупными партиями по 20-30 тыс. штук оказывается чуть дороже, так как предлагаемые скидки полностью съедаются потерями от замораживания капитала при такой политике закупок.