Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта

При оптимизации многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом естественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных x_i, в той или иной степени влияющих на объект.

 Методика регрессионного анализа основана на предположении, что учтены все или, по крайней мере, все существенные факторы, иначе полученная математическая модель окажется неадекватной в изучаемом диапазоне изменения переменных. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания может потребовать непомерного объема экспериментальной и вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических, экономических и прочих ограничений.

Возникает необходимость предварительного отсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий x_i, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию.

Если число всех возможных факторов, влияющих на объект, не превышает 6–7, то для предварительного изучения объекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента. Однако при большом числе рассматриваемых факторов методы ПФЭ и даже ДФЭ, предназначенные для тщательного изучения поверхности отклика, оказываются слишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов. В случае изучения более 8–10 факторов, если эксперименты не дороги и если заведомо известно, что лишь немногие переменные являются существенными, следует применять метод случайного баланса (МСБ).

Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых переменных z_i только небольшое их число (например, 10...15 %) являются действительно существенными, остальные могут быть отнесены к "шумовому полю" (рис. 2)

Рисунок 2 - «Шумовое поле»

Под "шумовым полем" обычно понимают случайные помехи ε, о которых ничего или почти ничего неизвестно, и малозначимые или незначимые переменные (линейные и парные взаимодействия), которые нет смысла контролировать. Постулируется, что для успешного применения МСБ рассматриваемые переменные, расположенные в порядке убывания вкладов, вносимых ими в общую дисперсию отклика, должны образовывать быстро затухающую кривую (рис. 2). Вклады существенных факторов должны намного (минимум на порядок) превышать погрешность измерения, определяемую шумовым полем. Кроме того, предполагается, что объект управляем, что между отдельными составляющими дисперсии функции отклика и входными переменными может быть установлено соответствие, что опыты воспроизводимы, а отдельные измерения случайны и независимы друг от друга, т.е. выполняются теоретические предпосылки регрессионного анализа.

Основная идея метода заключается в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические ортогональные выборки из ПФЭ, берутся случайные выборки. Тогда вектор-столбцы матрицы планирования можно считать не коррелированными (не связанными) или слабо коррелированными друг с другом. Совместные оценки оказываются смешанными случайным образом. Появляется возможность с высокой надежностью выделить и независимо оценить все доминирующие переменные.

МСБ использует так называемые перенасыщенные планы, при которых выполняется условие:

u+1>N

(10)

2.1. Построение матрицы планирования.

Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытов выполняют на основе предпосылки, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом. Все линейные факторы z_i (i = l, 2,..., n) разбивают на группы, при этом стремятся заведомо взаимодействующие факторы включить в одну группу. Если же нет априорных сведений о физике процесса, то разбивку факторов по группам можно производить формально, с использованием таблицы (или программы) случайных чисел. Затем для каждой группы составляют МП на основе ПФЭ или ДФЭ. Все групповые МП должны иметь одинаковое количество строк, чтобы их можно было впоследствии состыковать. Число N строк каждой матрицы должно удовлетворять условию (21) и равенству

N=2^p

(11)

Причем р выбирается обычно наименьшим, при котором выполняется неравенство N>n, где п – число линейных факторов. План отсеивающего эксперимента образуют путем стыковки групповых МП случайным смешиванием их строк.