Единственность меры Лебега на прямой

 

1. Приближение измеримых по Лебегу множеств

открытыми и замкнутыми множествами

 

Рассмотрим функцию

,

определяемую равенством

.

Лемма 4.1. Функция является полуметрикой на .

Доказательство. Проверим выполнение всех свойств полуметрики:

1) ,

2) .

Первое равенство очевидно. Для доказательства неравенства треугольника отметим, что

или ,

поэтому

.

Следовательно, из монотонности меры

Отметим, что только в том случае, когда множества и различаются на множество меры нуль. Такие множества называют -эквивалентными. Полуметрика на классах -эквивалентных множеств станет метрикой.

Теорема 4.1. Для любого множества и любого существует открытое множество , для которого

.

Доказательство. Пусть сначала . Имеем , , с . По теореме 3.1 для всякого

,

поэтому найдутся такие две последовательности полуинтервалов , что

.

Положив

.

получим: — открытое, и

.

Тогда

.

Если же , то положим . Имеем . Как уже доказано, существует последовательность открытых множеств таких, что

.

Если , то открыто, и , поэтому

.

Теорема доказана.

Следствие 4.1. Для любых и , существует такое , что

.

Доказательство. Напомним, что элементами являются конечные объединения непересекающихся полуинтервалов (теорема 1.2). По теореме 4.1 существует открытое множество с составляющими интервалами :

,

для которого

.

Существует такое, что

.

поэтому в качестве множества можно взять следующее:

.

Имеем

.

Теорема 4.2. Для всякого

. (4.1)

Доказательство. Пусть сначала — ограниченное в множество, , . Множество измеримо по Лебегу и . По теореме 4.1 существует такое открытое множество , что и . Положим . Множество — замкнутое и ограниченное (компактное). Имеем и

.

Отсюда следует (4.1) для ограниченного множества.

Если не ограничено, то положим , . Каждое и ограничено, поэтому найдется компактное множество такое, что . Тогда

. (4.2)

Так как , то из (4.2) следует (4.1) и в этом случае.

Следствие 4.2. Если и , то для любого найдется компактное множество такое, что .

 

2. Единственность меры Лебега на прямой

 

Теорема 4.3. Пусть — ненулевая мера на , инвариантная относительно сдвигов интервалов (для всякого интервала и произвольного ), для которой . Тогда существует такое , что при любом .

Доказательство. Из инвариантности относительно сдвигов интервалов следует инвариантность относительно сдвигов точек, т.е. , . Тогда, ввиду , . Пусть . Если , то

.

Значит, . Обозначим меру через . В силу инвариантности относительно сдвигов интервалов

.

Действительно,

.

С учетом аддитивности и непрерывности меры , . Итак, -конечные меры и совпадают на полукольце . Вследствие единственности продолжения меры с полукольца на -алгебру, и совпадают на . Следовательно, при любом . Теорема доказана.

 

ЛЕКЦИЯ 8