Функции множества на полукольце. Меры. Свойства меры

 

1. Функции множества

 

Функцией множества назовем функцию, определенную на каком-либо семействе множеств.

Пусть - некоторое семейство множеств. Функция множества называется:

а) неотрицательной, если для любого

б) аддитивной, если для любых непересекающихся множеств , для которых , будет

в) счетно аддитивной, если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств , для которых , будет

 

.

 

2. Меры

 

Наиболее важной функцией множества является мера.

Определение. Мерой называют неотрицательную счетно-аддитивную функцию, определенную на полукольце (принимающую, возможно, значение ), не равную тождественно .

Если — полукольцо подмножеств и — мера на , то называют конечной, если и и -конечной, если , где и .

Отметим, что мера пустого множества равна нулю, так как

.

Отсюда вытекает аддитивность меры:

.

Примеры мер.

1) и на полукольце определим следующую функцию . Покажем, что — -конечная мера.

Вначале установим счетную аддитивность . Пусть — попарно непересекающиеся множества из , для которых , то есть для некоторых . Тогда для произвольного из свойств длины имеем: "

.

Следовательно, ряд с неотрицательными членами сходится и его сумма не превосходит .

Теперь покажем, что . Для этого возьмем произвольное и пусть , (). Тогда — компактное множество и . Ввиду компактности существует конечное подсемейство такое, что . Из неравенства длина длина выводим

,

Поэтому . Итак,

.

и — мера на .

Из равенства и условия () заключаем о -конечности .

2) Аналогично проверяется, что если на полукольце подмножеств определим функцию так, что

то — -конечная мера.

3) Пусть — произвольное (непустое) множество,

характеристическая функция множества , — произвольное счетное множество в и — последовательность неотрицательных чисел. Для положим

.

Тогда — мера на . Определенная таким образом мера называется дискретной или атомной.

 

3. Свойства меры

 

Пусть — мера, определенная на некоторой -алгебре подмножеств . Отметим ее свойства.

1) Если , и , то

.

Доказательство следует из равенства и аддитивности меры.

2) (Монотонность меры). Если и , то .

Доказательство следует из свойства 1.

3) Если — конечное или счетное семейство множеств из и таково, что , то и, в частности,

.

Доказательство. Пусть ; — семейство попарно непересекающихся множеств из и . Если , то . Ввиду счетной аддитивности и монотонности

.

4) Если — конечное или счетное семейство попарно непересекающихся множеств из и , то .

Доказательство. Согласно счетной аддитивности и монотонности меры

.

5) (Непрерывность снизу). Если — возрастающая последовательность множеств, то есть из , то

.

Доказательство. Если , то множества () попарно непересекающиеся и

.

Тогда

6) (Непрерывность сверху). Пусть — убывающая последовательность множеств, то есть из такая, что хотя бы одно из имеет конечную меру. Тогда

В частности, если , то .

Доказательство. Пусть . Тогда для . Последовательность множеств () — возрастающая, следовательно,

Отсюда . Для окончания доказательства стоит только заметить, что .

Если при любом , то свойство 6 может не выполняться, например, для , , а .

 

 

ЛЕКЦИЯ 6