Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Функции множества на полукольце. Меры. Свойства меры
1. Функции множества
Функцией множества назовем функцию, определенную на каком-либо семействе множеств. Пусть - некоторое семейство множеств. Функция множества называется: а) неотрицательной, если для любого б) аддитивной, если для любых непересекающихся множеств , для которых , будет в) счетно аддитивной, если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств , для которых , будет
.
2. Меры
Наиболее важной функцией множества является мера. Определение. Мерой называют неотрицательную счетно-аддитивную функцию, определенную на полукольце (принимающую, возможно, значение ), не равную тождественно . Если — полукольцо подмножеств и — мера на , то называют конечной, если и и -конечной, если , где и . Отметим, что мера пустого множества равна нулю, так как . Отсюда вытекает аддитивность меры: . Примеры мер. 1) и на полукольце определим следующую функцию . Покажем, что — -конечная мера. Вначале установим счетную аддитивность . Пусть — попарно непересекающиеся множества из , для которых , то есть для некоторых . Тогда для произвольного из свойств длины имеем: " . Следовательно, ряд с неотрицательными членами сходится и его сумма не превосходит . Теперь покажем, что . Для этого возьмем произвольное и пусть , (). Тогда — компактное множество и . Ввиду компактности существует конечное подсемейство такое, что . Из неравенства длина длина выводим , Поэтому . Итак, . и — мера на . Из равенства и условия () заключаем о -конечности . 2) Аналогично проверяется, что если на полукольце подмножеств определим функцию так, что то — -конечная мера. 3) Пусть — произвольное (непустое) множество, характеристическая функция множества , — произвольное счетное множество в и — последовательность неотрицательных чисел. Для положим . Тогда — мера на . Определенная таким образом мера называется дискретной или атомной.
3. Свойства меры
Пусть — мера, определенная на некоторой -алгебре подмножеств . Отметим ее свойства. 1) Если , и , то . Доказательство следует из равенства и аддитивности меры. 2) (Монотонность меры). Если и , то . Доказательство следует из свойства 1. 3) Если — конечное или счетное семейство множеств из и таково, что , то и, в частности,
. Доказательство. Пусть ; — семейство попарно непересекающихся множеств из и . Если , то . Ввиду счетной аддитивности и монотонности . 4) Если — конечное или счетное семейство попарно непересекающихся множеств из и , то . Доказательство. Согласно счетной аддитивности и монотонности меры . 5) (Непрерывность снизу). Если — возрастающая последовательность множеств, то есть из , то . Доказательство. Если , то множества () попарно непересекающиеся и . Тогда 6) (Непрерывность сверху). Пусть — убывающая последовательность множеств, то есть из такая, что хотя бы одно из имеет конечную меру. Тогда В частности, если , то . Доказательство. Пусть . Тогда для . Последовательность множеств () — возрастающая, следовательно, Отсюда . Для окончания доказательства стоит только заметить, что . Если при любом , то свойство 6 может не выполняться, например, для , , а .
ЛЕКЦИЯ 6
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-01; просмотров: 335; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.214.37 (0.012 с.) |