Приложения определенного интеграла

Задача 9. Пользуясь однократным интегралом, вычислить площадь области, ограниченной линиями:

Решение. Начать следует с построения области, площадь которой требуется найти.

1) ‑ гипербола, ‑ ось О х, ‑ прямые параллельные оси О у (рис.1).

Рис.1

Так как область интегрирования прилегает к оси О х, то для нахождения площади области следует воспользоваться формулой где ‑ уравнение линии, ограничивающей область сверху. Тогда

2) ‑ парабола, которая пересекает ось О х в точках , и имеет вершину в точке , – прямая, являющаяся биссектрисой 1 и 3 координатных углов (рис.2).

Рис.2

Так как область заключена между двумя линиями, то для нахождения её площади следует воспользоваться формулой

уравнение линии, ограничивающей область сверху, а снизу. Для нахождения пределов интегрирования нужно найти абсциссы точек пересечения параболы и прямой, решив совместно эти уравнения.

Задача 10. Решить задачу:

1) Скорость движения точки м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

2) При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

Решение. 1) Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от

t ₁ до t ₂, вычисляется по формуле

Скорость точки равна нулю в момент начала движения и в момент остановки. Для нахождения момента остановки точки надо решить уравнение:

откуда Тогда

 

2) Работа, произведенная переменной силой при перемещении по оси материальной точки от до находится по формуле

При решении задачи используется закон Гука F= k x, где F - сила (в Н), х - абсолютное удлинение (в м), вызванное силой F, а k-коэффициент пропорциональности (в Н/м).

Зная величину сжатия пружины (0,05 м) и произведенную при этом работу (25 Дж), воспользоваться формулой работы:

откуда (Н/м). Теперь по этой же формуле найти:

Кратные интегралы

Повторный интеграл

Задача 11. Вычислить повторный интеграл:

Решение. Сначала вычисляется внутренний интеграл, где у является переменной, а х постоянной:

Полученный результат подставить под знак внешнего интеграла и проинтегрировать его по переменной х.

Таким образом,

Двойной интеграл

Задача 12. Привести двойной интеграл

по области D к повторному двумя способами и вычислить его.

Решение. Вычисление двойного интеграла начинается с изображения области интегрирования. Все линии, ограничивающие область, необходимо построить и подписать (рис.3).

Рис. 3

Следующий шаг – переход от двойного интеграла к повторному. Для этого необходимо выбрать порядок интегрирования в повторном интеграле, т.е. или .

Чтобы выбрать наиболее удобный для вычисления порядок интегрирования, надо посмотреть, относительно какой оси нет «узлов» (то есть точек стыка различных линий). В нашем случае относительно оси О х нет «узлов», поэтому в таком порядке как будет один повторный интеграл.

Для того чтобы найти внешние пределы интегрирования, нужно спроецировать крайние точки области на ось, дифференциал которой стоит под знаком внешнего интеграла. В нашем случае ─ на ось О х, т.к. имеет место . Получим

Внутренние пределы показывают, как изменяется у. Для их определения внутри отрезка [0; 1] провести стрелку параллельно оси О у и ответить на вопрос чему равен у на линии входа и линии выхода (в данном случае вход на линии , выход на линии ). Таким образом,

1) Сначала вычисляется внутренний интеграл, где y является переменной, а х постоянной:

2) Затем вычисляется внешний интеграл, подставив в него результат вычисления внутреннего интеграла.

При расстановке пределов вторым способом получается следующий результат

Геометрические приложения двойного интеграла

Задача 13. Пользуясь двойным интегралом, найти площадь плоской области D, ограниченной указанными линиями:

Решение. Площадь с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

Начать следует с изображения области, площадь которой требуется найти. На рис.4

Рис. 4

 

 

 

 

Криволинейный интеграл