Экономический анализ транспортных задач

Проведем экономический анализ задачи на конкретном при­мере.

Пример 3. Три склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Величины спроса трех мага­зинов розничной торговли на это изделие равны 3, 5 и 6т.

Какова минимальная стоимость транспортировки от по­ставщиков к потребителям? Провести анализ решения при условии, что единичные издержки транспортировки в усл. ед. даны в матрице

Решение. Запасы складов: = 21 т, потребности магазинов: = 14 т, имеем открытую задачу. Введем фиктивный магазин со спросом b _4ф = 7 т и тарифом 20 усл. ед. (табл. 23.12).

Оценки свободных клеток:

 

Оценки Δ₃₂ = Δ₃₄ = 0, задача имеет альтернативный оп­тимум, и одно из решений имеет вид

 

Минимальная стоимость транспортных расходов

Итоговое распределение перевозок, а также значения оце­нок свободных клеток, которые называют теневыми ценами, можно использовать при проведении экономического анализа. Теневая цена показывает, на сколько увеличится общая сто­имость транспортных расходов, если в пустую клетку помес­тить одно изделие. Например, если придется осуществить пе­ревозку одного изделия с торгового склада 2 в розничный ма­газин 3, то увеличение стоимости составит |Δ₂₃| = | - 13| = 13 усл. ед., что больше, чем тариф груза клетки (2,3), рав­ный 8 усл. ед. Дополнительное увеличение стоимости транспортных расходов появляется в связи с перераспределением пе­ревозок. Составим цикл распределения перевозок с помещени­ем груза в пустую клетку (2, 3):

В клетку (2, 3) помещаем груз 4 т, в (1, 3) вместо 1т — 5т, в (2, 2) вместо 4т — пустая клетка.

Изменение расходов составит 4 ∙ 20 – 4 ∙ 10 + 8 ∙ 4 – 4 ∙ 5 = 72 усл. ед. или на одно изделие 72: 4 = 13 усл. ед.

Если теневая цена клетки равна нулю (Δ₃₂ = 0), то зада­ча имеет альтернативный оптимум. Перераспределим грузы относительно клетки (3, 2):

Еще одно оптимальное решение задачи имеет вид

Минимальная стоимость транспортных расходов

Аналогичный анализ можно провести и по остальным сво­бодным клеткам.

Теневые цены свободных клеток можно использовать в ка­честве индикаторов изменений стоимости транспортировки од­ного изделия или тарифа.

Например, теневая цена пустой клетки (3, 3) равна |Δ₃₃| = | - 2| = 2, а фактическая цена транспортировки одного изде­лия — 7 усл. ед. Следовательно, для того чтобы использование данной клетки в распределении перевозок привело к снижению общих транспортных расходов, нужно, чтобы тариф этой клет­ки был не более 7 – 2 = 5 усл. ед.

Проведем стоимостный анализ изменений в занятых клет­ках. При снижении тарифа увеличение числа изделий в данной клетке выгодно. Если же тарифы занятых клеток возрастают, то при достижении ими определенного значения использование этой клетки является нежелательным и необходимо произвести перераспределение грузов.

В качестве примера определим допустимые изменения та­рифа занятой клетки (1, 3). Тариф клетки равен 5 усл. ед. за одно изделие. Уменьшение этой величины не повлияет на объ­ем перевозок, так как указанное количество изделий в клетке удовлетворяет всю потребность магазина 3.

Если тариф клетки (3,1) становится больше 5 усл. ед., то при составлении циклов будет задействована пустая клетка (2, 3) с |Δ₂₃| = 13 или (3, 3) с |Δ₃₃| = 2. В обоих циклах клетка (1, 3) будет иметь знак "—" и любое увеличение тарифа повле­чет снижение теневой цены пустой клетки (2, 3) или (3, 3).

Изменение объема перевозок будет иметь место в случае, если тариф клетки (1,3) возрастет более чем на 2 усл. ед. и превысит 7 усл. ед. При этом теневая цена клетки (3,3) станет положительной и окажется невыгодным использование клетки (1.3).

Таким образом, для получения оптимального распределе­ния перевозок тариф клетки (1,3) должен изменяться в диапа­зоне от 0 до 7 усл. ед. Внутри указанного промежутка происхо­дит лишь изменение общей стоимости транспортных расходов, а распределение перевозок не меняется.

Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач

Алгоритм и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических за­дач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов с_ij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

~ оптимальное закрепление за станками операций по обра­ботке деталей. В них c_ij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нуж­но использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспорт­ная задача требует нахождения минимума, то значения c_ij берутся с отрицательным знаком;

~ оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеет­ся т механизмов, которые могут выполнять т различ­ных работ с производительностью c_ij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо на­значить, чтобы добиться максимальной производитель­ности;

~ задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;

~ увеличение производительности автомобильного транс­порта за счет минимизации порожнего пробега. Умень­шение порожнего пробега сократит количество автомо­билей для перевозок, увеличив их производительность;

~ решение задач с помощью метода запрещения перевозок. Используется в том случае, если груз от некоторого по­ставщика по каким-то причинам не может быть направ­лен одному из потребителей. Данное ограничение мож­но учесть, присвоив соответствующей клетке достаточ­но большое значение стоимости, тем самым в эту клетку не будут производиться перевозки.

Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования

На предприятии имеются три группы станков, каждая из которых может выполнять пять операций по обработке дета­лей (операции могут выполняться в любом порядке). Макси­мальное время работы каждой группы станков соответственно равно 100, 250, 180 ч. Каждая операция должна выполняться соответственно 100, 120, 70, 110, 130 ч.

Определить, сколько времени и на какую операцию нужно использовать каждую группу станков, чтобы обработать мак­симальное количество деталей.

Производительность каждой группы станков на каждую операцию задана матрицей

Решение. Воспользуемся алгоритмом решения закрытой транспортной задачи (табл. 23.13).

Так как в задаче требуется найти максимум, а согласно алгоритму транспортной задачи находится минимум, тарифы умножим на (—1).

Находим потенциалы свободных клеток:

Клетка (1;2). -8+0-(-5)=-3.

Клетка (1;3). -13+0-(-11)=-2 и т.д.

 

Так как Δ₁₄ = 3 > 0, перераспределим грузы, получим

 

Полученное перераспределение грузов занесем в табл. 23.14.

Оценки свободных клеток составляют

 

 

Найденное решение является оптимальным, так как все оценки свободных клеток отрицательные.

Таким образом, на первой группе станков целесообразно выполнять операции 1 и 4 продолжительностью 40 и 60 ч со­ответственно, на второй группе — операции 1, 2 и 3 продолжи­тельностью 60, 120 и 70 ч соответственно, на третьей группе — операции 4 и 5 продолжительностью 50 и 130 ч соответственно. При этом максимальное число обработанных деталей составит 5 170 шт.

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие транспортные задачи, заданные распреде­лительной таблицей.

5. Требуется спланировать перевозку строительного мате­риала с трех заводов к четырем строительным площадкам, используя железнодорожную сеть. В течение каждого кварта­ла на четырех площадках требуется соответственно 5, 10, 20, 15 вагонов строительных материалов. Возможности различных заводов соответственно равны 10, 15 и 25 вагонов в квартал. Условия задачи даны в табл. 23.15. Числа на пересечении строк и столбцов таблицы означают стоимость перевозки одного ва­гона (усл. ед.).

6. Решить транспортную задачу, заданную распредели­тельной табл. 23.16, причем перевозки от 2-го поставщика ко 2-му потребителю и от 3-го поставщика к 1-му потребителю временно закрыты (в таблице эти тарифы обозначены боль­шим числом М > 0).

7. В трех пунктах производства имеется одинаковая про­дукция в объеме 200, 170, 130 т. Эта продукция должна быть доставлена потребителям в количестве 50, 220, 80, 110 и 140 т. Стоимости перевозок единицы продукции от каждого постав­щика к каждому потребителю заданы матрицей

В связи с неплатежеспособностью перевозки от первого пункта производства до первого пункта потребления и от вто­рого пункта производства до третьего пункта потребления вре­менно закрыты. Составить оптимальный план перевозок, при котором суммарные затраты на них минимальные.

8. Фирма получила заказы на три вида выпускаемой ею продукции (бокалы, чашки и вазы), которые необходимо изго­товить в течение следующей недели. Размеры заказов: бока­лы — 4000 шт., чашки — 2400 шт., вазы — 1000 шт.

Участок по изготовлению имеет три станка, на каждом из которых можно делать любой из заказанных видов продукции с одинаковой производительностью. Однако единичные затра­ты по каждому виду продукции различны в зависимости от используемого станка и заданы табл. 23.17.

Кроме того, известно, что производственные мощности 2-го и 3-го станков на следующую неделю составят 3000 шт., а 1-го станка — 2000 шт.

Используя модель транспортной задачи, найти план произ­водства для заказанных видов продукции, имеющий наимень­шую стоимость.